北师大版八年级数学下册-线段的垂直平分线---巩固练习(基础)--含答案解析.docx

线段的垂直平分线——巩固练习（基础）
【巩固练习】
一．选择题
1．如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，ED 是 AC 的垂直平分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E．已
知∠BAE=10°，则∠C 的度数为（ ）
A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
2．（2016 春•宿州校级期末）如图，在△ABC 中，DE 是边 AB 的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，
则△ADC 的周长为（ ）
A．14cm
B．13cm
C．11cm
D．9cm
3．（2015•达州）如图，△ABC 中，BD 平分∠ABC，BC 的中垂线交 BC 于点 E，交 BD 于点 F，
连接 CF．若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF 的度数为（ ）
A．48° B．36° C．30° D．24°
4．如图，已知直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，E 为 AB 上一点，且 CE=EB，ED⊥CB 于 D，
则下列结论中不一定成立的是（ ）
1
B．CE= AB
2
1
D．AC= AB
2
A．AE=BE
C．∠CEB=2∠A
5．如图，等腰△ABC 中，AB=AC，∠A=20°．线段 AB 的垂直平分线交 AB 于 D，交 AC 于 E，
连接 BE，则∠CBE 等于（ ）
1

A、80° B、70°
C、60° D、50°
6．如图所示，BE⊥AC 于点 D，且 AD＝CD，BD＝ED，若∠ABC＝54°，则∠E＝（ ）．
A．25° B．27° C．30° D．45°
二．填空题
7．（2015•徐州校级模拟）如图，在△ABC 中，AB=6cm，AC=4cm，BC 的垂直平分线分别角 AB、
BC 于 D、E，则△ACD 的周长为
cm．
8．如图，ΔABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线交 AC 于 P 点．
（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；
（2）若 AB＝5 cm，BC＝3 cm，则 ΔPBC 的周长＝_____．
9．如图，在△ABC 中，BC 边上的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D，交边 AB 于点 E．若△EDC
的周长为 24，△ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为 12，则线段 DE 的长为
．
10．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠A＝30°，CD＝2cm， AB 的垂直平分线MN 交 AC 于 D，
连结 BD，则 AC 的长是___________cm．
2

11．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB 的垂直平分线 MN 分别交 AC，AB 于点 D，E． 若∠CBD :
∠DBA ＝3:1，则∠A 的度数为________．
12．（2016 秋•乌拉特前旗期末）如图，△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB 的中垂线 DE 交 AC
于 D，交 AB 于 E，下述结论：（1）BD 平分∠ABC；（2）AD=BD=BC；（3）△BDC 的周长等于 AB+BC；
（4）D 是 AC 中点．其中正确的命题序号是
．
三．解答题：
13．（2015 秋•武昌区期中）如图，在△ABC 中，△ABC 的周长为 38cm，∠BAC=140°，AB+AC=
22cm，AB、AC 的垂直平分线分别交 BC 于 E、F，与 AB、AC 分别交于点 D、G，求：
（1）∠EAF 的度数；
（2）求△AEF 的周长．
14．如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 的中点，连接 AE、BE，BE⊥AE，延长 AE 交
BC 的延长线于点 F．求证：（1）FC=AD；（2）AB=BC+AD．
3

15．为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使 P 到该镇所属
A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相等（A、B、C 不在同一直线上，地理位置如
下图），请你用尺规作图的方法确定点 P 的位置．要求：写出已知、求作；不写作法，
保留作图痕迹．
【答案与解析】
一．选择题
1．【答案】B；
【解析】∵∠B=90°，∠BAE=10°∴∠AEB=80°,由垂直平分线的性质，AE=CE，∠EAC=∠C,
∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C,∴∠C=40°
2．【答案】B；
【解析】解：∵DE 是边 AB 的垂直平分线，
∴BD=AD，
∴△ADC 的周长为 AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm．
故选 B.
3．【答案】A；
【解析】解：∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵∠A=60°，
∴∠ACB=180°﹣60°﹣24°×2=72°，
∵BC 的中垂线交 BC 于点 E，
∴BF=CF，
∴∠FCB=24°，
∴∠ACF=72°﹣24°=48°，
故选：A．
4．【答案】D；
【解析】∵CE=EB，∴∠B=∠BCE．
∵∠ACB=90°，
∴∠ACE+∠BCE=90°，∠A+∠B=90°．
∴∠A=∠ACE．
∴AE=CE=EB．
故选项 A、B 都正确；
∵∠ACB=90°，ED⊥CB，
4

∴AC∥ED．
则∠A=∠DEB，∠CED=∠ACE．
又∠A=∠ACE，
∴∠CEB=2∠A．
故选项 C 正确；
当∠B=30°或∠A=60°时，选项 D 才成立．
故选 D．
5．【答案】C；
【解析】三角形垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等．
6．【答案】B ；
【解析】AC，BD 互为对方的中垂线，∠ABD＝∠CBD＝∠E＝54°÷2＝27°．
二．填空题
7．【答案】10；
【解析】解：∵DE 为 BC 的垂直平分线，
∴CD=BD，
∴△ACD 的周长=AC+CD+AD=AC+AD+BD=AC+AB，
而 AC=4cm，AB=6cm，
∴△ACD 的周长为 4+6=10cm．
故答案为：10．
8.【答案】70, 8；
【解析】由垂直平分线的性质，AP＝BP，∠A＝∠ABP＝35°，∠BPA＝110°，
∠BPC＝70°．ΔPBC 的周长＝BP＋PC＋BC＝ AP＋PC＋BC＝5＋3＝8cm．
9．【答案】6；
【解析】∵ED+DC+EC=24，①（AB+AC+BC）-（AE+ED+DC+AC）=12 即
BE+BD-DE=12．②∵BE=CE，BD=DC，∴①-②得，DE=6．
10．【答案】6；
【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半．AD＝DB＝4，AC＝4＋2＝6．
11．【答案】18°；
【解析】∠A＝∠ABD＝x，∠CBD＝3x，5x＝90°，x＝18°．
12．【答案】（1）（2）（3）；
【解析】解：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵DE 是 AB 的垂直平分线，
∴AD=BD，∠ABD=∠A=36°，
∴∠DBC=72°﹣36°=36°，
∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴BD=BC；
（1）BD 平分∠ABC 正确；
（2）AD=BD=CD 正确；
（3）△BDC 的周长=BC+CD+BD
5

=BC+CD+AD
=BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以 D 不是 AC 的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
三．解答题
13．【解析】
解：（1）∵DE、FG 分别垂直平分 AB、AC，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EBA=∠EAB，∠FAC=∠FCA．
设∠EBA=∠EAB=α，∠FAC=∠FCA=β，
∵∠BAC=140°，
∴α+β=40°，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=140°﹣40°=100°；
（2）△AEF 的周长=AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=38﹣22=16cm．
14．【解析】
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
ìÐ
ADC = ÐECF,
ï
DE = EC,
í
ï
ÐAED = ÐFEC,
î
∴△ADE≌△FCE（A．S．A），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE 且Ｆ是 BC 与 AE 延长线的交点
∴BE 是线段 AF 的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
15．【解析】
解：已知、B 村、C 村，
求作新建一个医疗点 P，使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相
等．
6

7

=BC+CD+AD
=BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以 D 不是 AC 的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
三．解答题
13．【解析】
解：（1）∵DE、FG 分别垂直平分 AB、AC，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EBA=∠EAB，∠FAC=∠FCA．
设∠EBA=∠EAB=α，∠FAC=∠FCA=β，
∵∠BAC=140°，
∴α+β=40°，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=140°﹣40°=100°；
（2）△AEF 的周长=AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=38﹣22=16cm．
14．【解析】
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
ìÐ
ADC = ÐECF,
ï
DE = EC,
í
ï
ÐAED = ÐFEC,
î
∴△ADE≌△FCE（A．S．A），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE 且Ｆ是 BC 与 AE 延长线的交点
∴BE 是线段 AF 的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
15．【解析】
解：已知、B 村、C 村，
求作新建一个医疗点 P，使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相
等．
6

7

=BC+CD+AD
=BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以 D 不是 AC 的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
三．解答题
13．【解析】
解：（1）∵DE、FG 分别垂直平分 AB、AC，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EBA=∠EAB，∠FAC=∠FCA．
设∠EBA=∠EAB=α，∠FAC=∠FCA=β，
∵∠BAC=140°，
∴α+β=40°，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=140°﹣40°=100°；
（2）△AEF 的周长=AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=38﹣22=16cm．
14．【解析】
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
ìÐ
ADC = ÐECF,
ï
DE = EC,
í
ï
ÐAED = ÐFEC,
î
∴△ADE≌△FCE（A．S．A），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE 且Ｆ是 BC 与 AE 延长线的交点
∴BE 是线段 AF 的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
15．【解析】
解：已知、B 村、C 村，
求作新建一个医疗点 P，使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相
等．
6

7

=BC+CD+AD
=BC+AC
=AB+BC，正确；
（4）AD=BD≠CD，所以 D 不是 AC 的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
三．解答题
13．【解析】
解：（1）∵DE、FG 分别垂直平分 AB、AC，
∴EA=EB，FA=FC，
∴∠EBA=∠EAB，∠FAC=∠FCA．
设∠EBA=∠EAB=α，∠FAC=∠FCA=β，
∵∠BAC=140°，
∴α+β=40°，
∴∠BAE+∠FAC=40°，
∴∠EAF=140°﹣40°=100°；
（2）△AEF 的周长=AE+AF+EF=BE+EF+FC=BC=38﹣22=16cm．
14．【解析】
证明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（两直线平行，内错角相等），
∵E 是 CD 的中点（已知），
∴DE=EC（中点的定义）．
∵在△ADE 与△FCE 中，
ìÐ
ADC = ÐECF,
ï
DE = EC,
í
ï
ÐAED = ÐFEC,
î
∴△ADE≌△FCE（A．S．A），
∴FC=AD（全等三角形的性质）．
（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的对应边相等），
∵BE⊥AE 且Ｆ是 BC 与 AE 延长线的交点
∴BE 是线段 AF 的垂直平分线，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已证），
∴AB=BC+AD（等量代换）．
15．【解析】
解：已知、B 村、C 村，
求作新建一个医疗点 P，使 P 到该镇所属 A 村、B 村、C 村的村委会所在地的距离都相
等．
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