南京市2020-2021学年度第一学期期末调研测试高一数学试卷.docx

高一第一学期期末模拟试卷
高 一 数 学
一、单项选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．
1．若角 α 的终边经过点 P(3，a)(a≠0)，则
A．sinα＞0
B．sinα＜0
C．cosα＞0
D．cosα＜0
2．记函数 y＝ 4－x 的定义域为 A，函数 y＝ln(x－1)的定义域为 B，则 A∩B＝
2
A．(1，2)
B．(1，2]
C．(－2，1)
D．[－2，1)
4
x＋1
3．设实数 x 满足 x＞0，函数 y＝2＋3x＋
的最小值为
A．4 3－1
B．4 3＋2
C．4 2＋1
D．6
4．已知 a，b，m 都是负数，且 a＜b，则
1 1
a b
a b
b a
b＋m b
a＋m a
A． ＜
B． ＜
C．a＋m＞b＋m
D．
＞
5．有一组实验数据如下表所示：
t
1.9
1.5
3.0
4.0
4.0
7.5
5.1
6.1
18.0
v
12.0
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是
t －1
2
A．v＝2t－2
B．v＝
C．v＝log t
D．v＝log t
2
0.5
3
6．若函数 f(x)＝sin2x 与 g(x)＝2cosx 都在区间(a，b)上单调递减，则 b－a 的最大值是
π
π
π
2π
3
A．4
B．3
C．2
D．
sinx＋x
7．函数 f(x)＝cosx＋x 在[－π，π]上的图象大致为
2
y
y
1
1
π x
－π
－π
O
π x
－π
O
A
B
y
y
1
1
π
－π
O
x
O
π
x
C
D
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8．若函数 f(x)同时满足：①定义域内存在实数x，使得 f(x)·f(－x)＜0；②对于定义域内任意 x ，x ，当 x
1
2
1
≠x 时，恒有(x －x )· [f(x )－f(x )]＞0；则称函数 f(x)为“DM 函数”．下列函数中是“DM 函数”的
为
2
1
2
1
2
A．f(x)＝x3
B．f(x)＝sinx
C．f(x)＝e －
D．f(x)＝lnx
x 1
二、多项选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，不选或有选错的得 0 分．
．．．．．．．
9．关于函数 f(x)＝tan2x，下列说法中正确的是
π
π
2
A．最小正周期是2
B．图象关于点( ，0)对称
π
4
π π
D．在区间(－ ， )上单调递增
2 2
C．图象关于直线 x＝ 对称
π
10．已知曲线 C ：y＝sinx，C ：y＝sin(2x＋ )，下列说法中正确的是
1
2
3
π
A．把 C 向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 2 倍，得到 C
3
1
2
π
3
1
2
B．把 C 向左平移 个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的 倍，得到 C
1
2
1
2
1
π
3
π
6
C．把 C 上所有点的横坐标变为原来的 倍，再向左平移 个单位长度，得到 C
1
2
D．把 C 上所有点的横坐标变为原来的 倍，再向左平移 个单位长度，得到 C
2
1
2
11．我们知道，如果集合 A－Ì S，那么 S 的子集 A 的补集为 sA＝{x|x∈S，且 xÏA}．类似地，对于集合
A ， B ， 我 们 把 集 合 { x | x ∈ A ， 且 x Ï B } 叫 作 集 合 A 与 B 的 差 集 ，
记作 A－B．据此，下列说法中正确的是
A．若 A
Ì B，则 A－B＝Æ
B．若 B
Ì A，则 A－B＝A
－
－
C．若 A∩B＝Æ，则 A－B＝A
D．若 A∩B＝C，则 A－B＝A－C
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．设 x∈R，用[x]表示不
超 过 x 的 最 大 整 数 ， y ＝ [ x ] 也 被 称 为 “ 高 斯 函 数 ”， 例 如 ： [ － 3 . 5 ] ＝ － 4 ，
[2.1]＝2．已知函数 f(x)＝[x＋1]－x，下列说法中正确的是
A．f(x)是周期函数
B．f(x)的值域是(0，1]
D．" x∈R，[f(x)]＝0
C．f(x)在(0，1)上是增函数
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
．．．．．．．
13．已知幂函数 y＝x 的图象过点(2， 2)，则 α 的值为 ▲ ．
α
2 ＋1， x＜1，
ì x
ï
14．已知函数 f(x)＝
若 f(f(0))＝3a，则 a 的值为 ▲ ．
í
x ＋ax，x≥1，
ï 2
î
1
π
5π
6
π
3
15．已知 sin(α＋ )＝ ，则 sin( －α)＋sin ( －α)的值为 ▲ ．
2
6 3
16．地震震级是根据地震仪记录的地震波振幅来测定的，一般采用里氏震级标准．震级(M)是用据震中 100
千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示的．里氏震级的计算公式为 M＝lgA－
lgA ，其中A 是被测地震的最大振幅，A 是“标准地震”的振幅(使用标准地震振幅是为了修正测震仪
0
0
距实际震中的距离造成的偏差)．根据该公式可知，7.5 级地震的最大振幅是 6 级地震的最大振幅的 ▲
倍(精确到 1)．
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四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
．．．．．．．．
证明过程或演算步骤．
2x＋1
x－1
17． 已知集合 A＝{x|
＜1}，B＝{x|2x ＋(m－2)x－m＜0}．
2
（1）当 m＝1 时，求 A∪B；
（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数 m 的取值范围．
1
8
π
4
18．已知 sin(π＋α)cos(π－α)＝ ，且 0＜α＜ ．
π
2
（1）求 cosα＋cos( ＋α)的值；
（2）求 tanα 的值．
19． （1）计算：2log25＋(0.125) ＋log 9；
2
3
－
3
（2）已知 a＝log 3，b＝log 3，求证：ab＜a＋b＜0．
0.4
4
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20．已知函数 f(x)＝x|x－a|为 R 上的奇函数．
（1）求实数 a 的值；
π 7π
3 6
（2）若不等式 f(sin x)＋f(t－2cosx)≥0 对任意 x∈[ ， ]恒成立，求实数 t 的最小值．
2
21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度 h(单位：
π
4
cm)由关系式 h＝Asin(ωt＋ )确定，其中 A＞0，ω＞0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至
最低点所用时间为 1 s．且最高点与最低点间的距离为 10 cm．
0
0
（第 21 题图）
22． 对于定义在 D 上的函数 f(x)，如果存在实数 x ，使 得 f(x )＝x ，那么称 x 是函数 f(x)的一个不动点．已
0
0
0
0
知 f(x)＝ax ＋1．
2
（1）当 a＝－2 时，求 f(x)的不动点；
（2）若函数 f(x)有两个不动点 x ，x ，且 x ＜2＜x ．
1
2
1
2
①求实数 a 的取值范围；
②设 g(x)＝log [f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点．
a
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四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，
．．．．．．．．
证明过程或演算步骤．
2x＋1
x－1
17． 已知集合 A＝{x|
＜1}，B＝{x|2x ＋(m－2)x－m＜0}．
2
（1）当 m＝1 时，求 A∪B；
（2）已知“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求实数 m 的取值范围．
1
8
π
4
18．已知 sin(π＋α)cos(π－α)＝ ，且 0＜α＜ ．
π
2
（1）求 cosα＋cos( ＋α)的值；
（2）求 tanα 的值．
19． （1）计算：2log25＋(0.125) ＋log 9；
2
3
－
3
（2）已知 a＝log 3，b＝log 3，求证：ab＜a＋b＜0．
0.4
4
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20．已知函数 f(x)＝x|x－a|为 R 上的奇函数．
（1）求实数 a 的值；
π 7π
3 6
（2）若不等式 f(sin x)＋f(t－2cosx)≥0 对任意 x∈[ ， ]恒成立，求实数 t 的最小值．
2
21．如图，弹簧挂着的小球做上下振动，它在t(单位：s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度 h(单位：
π
4
cm)由关系式 h＝Asin(ωt＋ )确定，其中 A＞0，ω＞0，t∈[0，＋∞)．在一次振动中，小球从最高点运动至
最低点所用时间为 1 s．且最高点与最低点间的距离为 10 cm．
0
0
（第 21 题图）
22． 对于定义在 D 上的函数 f(x)，如果存在实数 x ，使 得 f(x )＝x ，那么称 x 是函数 f(x)的一个不动点．已
0
0
0
0
知 f(x)＝ax ＋1．
2
（1）当 a＝－2 时，求 f(x)的不动点；
（2）若函数 f(x)有两个不动点 x ，x ，且 x ＜2＜x ．
1
2
1
2
①求实数 a 的取值范围；
②设 g(x)＝log [f(x)－x]，求证：g(x)在(a，＋∞)上至少有两个不动点．
a
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