上海中学2014学年第二学期期中考试高一数学试题含答案word版.doc

上海中学2014学年第二学期期中考试
（时间 90 分钟，满分 100 分）
高一年级数学试卷
2014年3月
一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）
1．若，则与具有相同终边的最小正角为 。
2. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 。
3．已知角的终边经过点，则 。
4. 函数的定义域为 。
5．若，则 。
6．若，化简： 。
7.已知，则 。
8.在中,,则这个三角形的形状是 。

9．在中,已知，则这样的三角形的有____ ___个。

10．在内，使的成立的的取值范围是 。

11．凸函数的性质定理为：如果函数在区间上是凸函数，则对内的任意
，有.函数在
区间上是凸函数，则在中，的最大值为 。

12．方程的解可视为函数的图像与函数的图像的交点的横
坐标，方程的实数解的个数为 。
二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）
13．“”是“”成立的 ( )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件。
14．函数的单调递减区间是 ( )
（A） （B）
（C） （D）
15．下列函数中，周期为的偶函数是 ( )
（A） （B） （C） （D）
16．设函数的定义域为，值域为，则以下结论中错误的是 （ ）
（A）的最小值为 （B）的最大值为
（C）不可能等于， （D）不可能等于，

三、解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）
17．（本题满分6分）三角比内容丰富，公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。请你完成以下问题：
（1）计算：，。

（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

18. （本题满分10分）定义：。已知。
（1）求的值； （2）求的值。

19.（本题满分10分）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论.
问 题
结 论（不需要过程）
分数
求的定义域

求函数的周期

写出的单调区间（指明是增还是减）

写出在区间范围内的值域

写出图像的所有对称中心

20．（本题满分10分）已知扇形的半径为3，圆心角，过弧上的动点作平行于的直线交于点，设。
（1）求的面积关于的函数解析式；
（2）为何值时，有最大值？并求出该最大值。

21．（本题满分12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出在区间上的图像。
解：
性质
理由
结论
得分
定义域

值域

奇偶性

周期性

单调性

对称性

作图

参考答案

一、填空题（每题3分，满分36分，请将正确答案直接填写在相应空格上）
1．若，则与具有相同终边的最小正角为。
2. 已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为。
3．已知角的终边经过点，则
4. 函数的定义域为 。
5．若，则 。
6．若，化简：。
7.已知，则。
8.在中,,则这个三角形的形状是 钝角三角形 。

9．在中,已知，则这样的三角形的有____1___个。

10．在内，使的成立的的取值范围是 。

11．凸函数的性质定理为：如果函数在区间上是凸函数，则对内的任意
，有.函数在
区间上是凸函数，则在中，的最大值为 。
12．方程的解可视为函数的图像与函数的图像的交点的横
坐标，方程的实数解的个数为。
二、选择题（每小题4分，满分16分，每小题只有一个正确答案，请将正确答案的代号填写在题后括号内）
13．“”是“”成立的 ( B )
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）非充分非必要条件。

14．函数的单调递减区间是 ( A )
（A） （B）
（C） （D）
15．下列函数中，周期为的偶函数是 ( B )
（A） （B） （C） （D）
16．设函数的定义域为，值域为，则以下结论中错误的是 （ D ）
（A）的最小值为 （B）的最大值为
（C）不可能等于， （D）不可能等于，

三、解答题（共5小题，满分48分，解答要有详细的论证过程与运算步骤）
17．（本题满分6分）三角比内容丰富，公式很多。若仔细观察、大胆猜想、科学求证，你也能发现其中的一些奥秘。请你完成以下问题：
（1）计算：
（直接写答案, 别忘记把计算器设置成“角度”呦！）
（2）根据（1）的计算结果，请你猜出一个一般性的结论：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．
（用数学式子加以表达，并证明你的结论，写出推理过程．）
解：（1）
（2）猜想：其中
证明：
又，所以等式左边=

18. （本题满分10分）定义：。已知。
（1）求的值； （2）求的值。
解：（1）……2分， ……4分
（2）由知，，又……6分
当时，，
当时，。 ……10分

19.（本题满分10分）请研究与函数相关的下列问题，在表中填写结论.
解：
问 题
结 论
求的定义域

求函数的周期
周期依次为
写出的单调区间（指明是增还是减）
增区间
写出在区间范围内的值域

写出图像的所有对称中心

20．（本题满分10分）已知扇形的半径为3，圆心角，过弧上的动点作平行于的直线交于点，设。
（1）求的面积关于的函数解析式；
（2）为何值时，有最大值？并求出该最大值。

20．（1）在中，由正弦定理得：，
即，∴。
。
（2），
故当，即时，。

21．（本题满分12分）函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、对称性等，请选择适当的探究顺序，研究函数的性质，并在此基础上填写下表，作出在区间上的图像。
解：
性质
理由
结论
得分
定义域

定义域
1分
值域

值域
2分
奇偶性

偶函数
1分
周期性

周期
2分
单调性

在上递减，
在上递减

2分
对称性
，，……
关于直线对称
2分
作图

2分

8