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6．向量概念要理清，思考问题要严密
一、对向量的概念要理解透彻
【例1】► 给出下列说法：(1)零向量只与零向量相等；(2)零向量没有方向；(3)单位向量都共线；(4)共线的单位向量一定是相等向量；(5)单位向量大于零向量；(6)共线向量一定在同一条直线上；(7)若向量a，b是共线向量，向量b，c是共线向量，则向量a，c也是共线向量．其中正确说法的序号是________．
解析 由零向量是长度为0的向量，并且方向是任意的，即零向量有方向，所以(1)正确，(2)错误；因为单位向量的长度都是1，但方向是任意的，所以(3)错误；共线向量的方向可能相同，也可能相反，所以(4)错误；向量不能比较大小，所以(5)错误；共线向量是可以平移到同一条直线上，但不是一定在同一直线上，所以(6)错误；(7)中若向量b＝0时，向量a，c不一定共线，所以错误．故正确说法只有(1)．
答案 (1)
老师叮咛：如果对向量的有关概念不清楚，就造成有些说法判断错误，如不能将向量共线与直线重合区别开来，(6)就容易判断为正确；对零向量与任意一个向量平行遗忘，即可能将(7)也判断为正确，所以对向量的概念要逐个过关．
二、与向量的夹角有关的问题
【例2】► 若向量a＝(x,2x)，b＝(－3x,2)，且a，b的夹角为钝角，则实数x的取值范围是________．
解析 ∵a，b的夹角为钝角，∴a·b＝x·(－3x)＋2x·2＝－3x2＋4x＜0，解出x＜0或x＞，又由a，b共线且反向可得x＝－，所以得所求实数x的取值范围是∪∪.
答案 ∪∪
老师叮咛：注意向量的夹角是钝角与向量的数量积小于0不等价，只由a，b的夹角为钝角得到a·b＜0，但a·b＜0不能得a，b夹角为钝角，因为a，b的夹角为180°时也有a·b＜0，这一点如果遗忘，就会扩大x的范围，导致错误.
必考问题7 等差数列、等比数列
【真题体验】
1．(2012·苏州期中)在等差数列{an}中，a5＝3，a6＝－2，则a3＋a4＋…＋a8＝________.
解析 根据等差数列性质计算．因为{an}是等差数列，所以a3＋a4＋…＋a8＝3(a5＋a6)＝3.
答案 3
2．(2012·苏锡常镇调研)在等差数列{an}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是________．
解析 因为a8＝a1＋7d≥15，a9＝a1＋8d≤13，所以a12＝a1＋11d＝－3(a1＋7d)＋4(a1＋8d)≤7.
答案 (－∞，7]
3．(2012·南通调研)已知数列{an}的前n项和为Sn＝－2n2＋3n，则数列{an}的通项公式为________．
解析 根据通项公式an与Sn的关系求解．当n＝1时，a1＝S1＝－2＋3＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋3n)－[－2(n－1)2＋3(n－1)]＝5－4n，n＝1适合，所以数列{an}的通项公式是an＝5－4n.
答案 an＝5－4n
4．(2012·南京、盐城模拟)记等比数列{an}的前n项积为Tn(n
∈N*)，若am－1am＋1－2am＝0，且T2m－1＝128，则m＝______.
解析 由题意求出am，再利用等比数列的性质即可求解．由题意可得a－2am＝0，am≠0，解得am＝2.又T2m－1＝a1a2…a2m－2a2m－1＝a＝22m－1＝128，解得m＝4.
答案 4
5．(2011·江苏，13)设1＝a1≤a2≤…≤a7，其中a1，a3，a5，a7成公比为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为1的等差数列，则q的最小值是________．
解析 由题意知a3＝q，a5＝q2，a7＝q3且q≥1，a4＝a2＋1，a6＝a2＋2且a2≥1，那么有q2≥2且q3≥3.故q≥，即q的最小值为.
答案
【高考定位】
高考对本内容的考查主要有：
(1)数列的概念是A级要求，了解数列、数列的项、通项公式、前n项和等概念，一般不会单独考查；
(2)等差数列、等比数列是两种重要且特殊的数列，要求都是C级，熟练掌握等差数列、等比数列的概念、通项公式、前n项求和公式、性质等知识，理解其推导过程，并且能够灵活应用．
试题类型可能是填空题，以考查单一性知识为主，同时在解答题中经常与不等式综合考查，构成压轴题．
【应对策略】
认识数列在高考中的重要地位，对等差数列、等比数列从概念、公式、性质、推导等几个方面理解和掌握，并且能够将基础知识迁移到数列综合题中，在题中设计几个小题时，要充分认识各个小题的设计，实质就是解题路标，要尽可能应用前面小题的结论在后面问题中的应用，尤其前面小题是证明题时，更加如此.
必备知识
1．等差、等比数列的通项公式
等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；等比数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝amqn－m
2．等差、等比数列的前n项和
(1)等差数列的前n项和为
Sn＝＝na1＋d.
特别地，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且常数项为0，即可设Sn＝an2＋bn(a，b为常数)．
(2)等比数列的前n项和
Sn＝
特别地，若q≠1，设a＝，
则Sn＝a－aqn.
3．等差数列、等比数列常用性质
(1)若序号m＋n＝p＋q，在等差数列中，则有am＋an＝ap＋aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am＋an＝2ap；在等比数列中，则有am·an＝ap·aq；特别的，若序号m＋n＝2p，则am·an＝a；
(2)在等差数列{an}中，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列，其公差为kd；其中Sn为前n项的和，且Sn≠0(n∈N*)；在等比数列{an}中，当q≠－1或k不为偶数时Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列，其中Sn为前n项的和(n∈N*)．
必备方法
1．对等差数列、等比数列的考查题型归纳，一般有三个方面：一是应用等差或等比数列的通项公式及其前n项和公式计算某些量和解决一些实际问题；二是给出一些条件求出首项和公差(或公比)，进而求得等差或等比数列的通项公式和前n项和公式，或者将递推公式变形转化为等差或等比数列问题间接地求得等差或等比数列的通项公式；三是证明一个数列是等差或等比数列；
2．证明一个数列是等差或等比数列的方法有两种，即定义法和中项法．
命题角度一 等差、等比数列中基本量的计算
[命题要点] 求等差、等比数列的基本量
【例1】► 设数列{an}是公差不为0的等差数列，Sn为其前n项的和，满足：a＋a＝a＋a，S7＝7.
(1)求数列{an}的通项公式及前n项的和Sn；
(2)设数列{bn}满足bn＝2an，其前n项的和为Tn，当n为何值时，有Tn＞512.
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] (1)先求出数列{an}的首项和公差，根据已知条件列出a1、d为未知数的方程组即可求解；
(2)由{an}成等差数列，得{2an}成等比数列．
解 (1)由{an}是公差不为0的等差数列，
可设an＝a1＋(n－1)d，则由
得
整理，得由d≠0解得，
所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－7，
Sn＝na1＋d＝n2－6n.
(2)由(1)得an＝2n－7，所以bn＝2an＝22n－7，
又＝＝4(n≥2)，b1＝2a1＝，
所以{bn}是首项为，公比为4的等比数列，
所以它的前n项和Tn＝
＝(4n－1)，于是由Tn＞512，
得4n＞3×47＋1，所以n≥8时，有Tn＞512.
求等差、等比数列通项与前n项和，除直接代入公式外，就是用基本量法，要注意对通项公式与前n项和公式的选择．
【突破训练1】 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，是公比为2的等比数列．
(1)证明：{an}是等比数列，并求其通项；
(2)设数列{bn}满足bn＝log3an，其前n项和为Tn，当n为何值时，有Tn≤2 012?
(1)证明 由题意，得＝2，(n≥2)
即1＋Sn＝4(1＋Sn－1)，同理，得1＋Sn＋1＝4(1＋Sn)．
两式相减，得Sn＋1－Sn＝4(Sn－Sn－1)，
即an＋1＝4an，＝4(n≥2)．
又a1＝3，所以{an}是首项为3，公比为4的等比数列，所以an＝3·4n－1＝3·22n－2.
(2)解 由(1)得an＝3·22n－2，所以bn＝log2(3·22n－2)
＝log23＋2(n－1)，所以{bn}是首项为log23，公差为2的等差数列，前n项和为Tn＝nlog23＋n(n－1)，于是由n2＜nlog23＋n(n－1)≤2 012，得n＜，又n∈N*，所以1≤n≤44，即n＝1,2,3，…，44时，Tn≤2 012.
命题角度二 与等差、等比数列有关的最值问题
[命题要点] (1)数列中最大项或最小项；
(2)数列前n项和的最大值或最小值．
【例2】► 等差数列{an}的首项是2，前10项之和是15，记An＝a2＋a4＋a8＋a16＋…＋a2n，求An及An的最大值．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] 由已知可求出公差d.进而得到An的表达式．
解 设等差数列{an}的公差为d，
由已知：解得a1＝2，d＝－，
An＝a2＋a4＋a8＋…＋a2n＝na1＋d[1＋3＋7＋…＋(2n－1)]
＝na1＋d(2＋22＋23＋…＋2n－n)＝2n－
＝(19n＋2－2n＋1)，
求An的最大值有以下两种解法．
法一 数列{a2n}的通项a2n＝a1＋(2n－1)d＝(19－2n)
令a2n＝(19－2n)＞0，得2n＜19(n∈N*)，
由此可得a21＞a22＞a23＞a24＞0＞a25＞…，
故使a2n＞0，n的最大值为4，
所以(An)max＝(19×4＋2－24＋1)＝.
法二 由An＝(19n＋2－2n＋1)，若存在n(n∈N*)，使得An≥An＋1，且An≥An－1，则An的值最大．
解得9.5≤2n≤19(n∈N*)，取n＝4时，An有最大值(An)max＝(19×4＋2－24＋1)＝.
上述两种求An最值的方法都是运用函数思想．法一是直接研究子数列{a2n}．法二是研究An＝(19n＋2－2n＋1)的单调性求其最值．
【突破训练2】 已知等差数列{an}的首项a1≠0，公差d≠0，由{an}的部分项组成的数列ab1，ab2，…，abn，…为等比数列，其中b1＝1，b2＝2，b3＝6.
(1)求数列{bn}的通项公式bn；
(2)若数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn的值；
(3)求An＝Sn－的最小值．
解 (1)由a＝a1a6，
得(a1＋d)2＝a1(a1＋5d)，d2－3a1d＝0.
又d≠0，所以d＝3a1，所以q＝4，所以abn＝a1·4n－1.
又abn＝a1＋(bn－1)d＝a1＋(bn－1)3a1，
所以a1·4n－1＝a1＋(bn－1)3a1.
因为a1≠0，所以3(bn－1)＋1＝4n－1，故bn＝＋.
(2)Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＋…＋
＝(1＋4＋…＋4n－1)＋
＝·＋
＝.
(3)由Sn＝，
得An＝Sn－＝(4n－2 006n－1)，若存在n∈N*，
使得An≤An＋1，且An≤An－1，则An的值最小．
于是由
解得≤4n≤(n∈N*)，
取n＝5，(An)min＝.
命题角度三 等差、等比数列的探求
[命题要点] 假设存在问题，求解满足条件的数或式子
【例3】► 已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足a＝S2n－1，令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn.
(1)求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和Tn；
(2)是否存在正整数m，n(1＜m＜n)，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
[审题视点]
[听课记录]
[审题视点] (1)由等差通项与求和公式求解；(2)假设存在，转化为关于m，n的方程是否有整数解．
解 (1)n＝1时，由a＝S1＝a1，且a1≠0，得a1＝1.因为{an}是等差数列，所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)d，
Sn＝na1＋d＝n＋d.
于是由a＝S2n－1，得[1＋(n－1)d]2＝2n－1＋(2n－1)(n－1)d，
即d2n2＋(2d－2d2)n＋d2－2d＋1＝2dn2＋(2－3d)n＋d－1，
所以解得d＝2.
所以an＝2n－1，从而bn＝
＝＝
所以Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝＝.
(2)法一 T1＝，Tm＝，Tn＝，若T1，Tm，Tn成等比数列，则2＝，即＝.由＝，可得＝＞0，即－2m2＋4m＋1＞0，∴1－＜m＜1＋.
又m∈N*，且m＞1，所以m＝2，此时n＝12.
因此，当且仅当m＝2，n＝12时，数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．
法二 因为＝＜，故＜，即2m2－4m－1＜0，
∴1－＜m＜1＋，(以下同上)．
在一定条件下，判断某种数学对象是否存在，解答此类问题一般先假设要求(或证)的结论是存在的，然后利用有关概念、公理、定理、法则推理下去，如果畅通无限，则存在；如果推理过程中，有限或发生矛盾，则说明不存在．
【突破训练3】 (2012·苏北四市调研)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝pan－2n，n∈N*，其中常数p＞2.
(1)求证：数列{an＋1}为等比数列；
(2)若a2＝3，求数列{an}的通项公式；
(3)对于(2)中数列{an}，若数列{bn}满足bn＝log2(an＋1)(n∈N*)，在bk与bk＋1之间插入2k－1(k∈N*)个2，得到一个新的数列{cn}，试问：是否存在正整数m，使得数列{cn}的前m项的和Tm＝2 011？如果存在．求出m的值；如果不存在，说明理由．
【突破训练3】 解 (1)∵2Sn＝pan－2n，
∴2Sn＋1＝pan＋1－2(n＋1)，两式相减．
∴2an＋1＝pan＋1－pan－2，
∴an＋1＝an＋，
∴an＋1＋1＝(an＋1)，
∵2a1＝pa1－2，
且p＞2，∴a1＝＞0，∴a1＋1＞0，
∴＝≠0，
∴数列{an＋1}为等比数列．
(2)由(1)知an＋1＝n，
∴an＝n－1(n∈N*)
又∵a2＝3，∴2－1＝3，
∴p＝4，∴an＝2n－1.
(3)由(2)得bn＝log22n，即bn＝n，(n∈N*)，
在数列{cn}中，bk(含bk项)前的所有项的和是：
(1＋2＋3＋…＋k)＋(20＋21＋22＋…＋2k－2)×2＝＋2k－2.
当k＝10时，其和是55＋210－2＝1 077＜2 011，
当k＝11时，其和是66＋211－2＝2 112＞2 011，
又∵2 011－1 077＝934＝467×2，是2的倍数，
∴当m＝10＋(1＋2＋22＋…＋28)＋467＝988时，
Tm＝2 011，
∴存在m＝988，使得Tm＝2 011.
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