函数的单调性和奇偶性.docx

1.3《函数的单调性与奇偶性》教学设计
【教学目标】
1. 理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念；掌握增（减）函数的证明和判别；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；
2. 理解函数单调性的概念及证明方法、判别方法，理解函数的最大（小）值及其几何意义；
3. 理解奇函数、偶函数的概念及图象的特征，能熟练判别函数的奇偶性.
【导入新课】
1.通过对函数、、及的观察提出有关函数单调性的问题.
2．阅读教材明确单调递增、单调递减和单调区间的概念.
3.实践活动：取一张纸，在其上画出平面直角坐标系，并在第一象限任画一可作为函数图象的图形，然后按如下操作并回答相应问题：
① 以y轴为折痕将纸对折，并在纸的背面（即第二象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形；
问题：将第一象限和第二象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于y轴对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标一定相等.
② 以y轴为折痕将纸对折，然后以x轴为折痕将纸对折，在纸的背面（即第三象限）画出第一象限内图形的痕迹，然后将纸展开，观察坐标系中的图形：
问题：将第一象限和第三象限的图形看成一个整体，则这个图形可否作为某个函数y=f(x)的图象，若能请说出该图象具有什么特殊的性质？函数图象上相应的点的坐标有什么特殊的关系？
答案：（1）可以作为某个函数y=f(x)的图象，并且它的图象关于原点对称；
（2）若点（x，f(x)）在函数图象上，则相应的点（－x，－f(x)）也在函数图象上，即函数图象上横坐标互为相反数的点，它们的纵坐标也一定互为相反数.

新授课阶段
一、函数的单调性
增函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；
减函数：设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数.
例1 如图是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，及在每一单调区间上，是增函数还是减函数.
x
y

-5
5
x
y
-5
5
解：函数的单调区间有，
其中在区间，上是减函数，在区间上是增函数.
注意：1.单调区间的书写
2．各单调区间之间的关系
以上是通过观察图象的方法来说明函数在某一区间的单调性，是一种比较粗略的方法，那么，对于任给函数，我们怎样根据增减函数的定义来证明它的单调性呢？
例2 证明函数在R上是增函数.
证明：设是R上的任意两个实数，且，则，
.
所以，在R上是增函数.
例3 证明函数在上是减函数.
证明：设是上的任意两个实数，且，则
.
由，得，且.
于是.
所以，在上是减函数.
利用定义证明函数单调性的步骤：
（1） 取值；
（2） 计算、；
（3） 对比符号；
（4） 结论.
二、奇函数、偶函数的概念：
1．偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函数.
2．奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.
注意：
①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；
②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）.
（二）具有奇偶性的函数的图象的特征
偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称.
例4 （1）下面四个结论中，正确命题的个数是（ A ）
①偶函数的图象一定与y轴相交；②函数为奇函数的充要条件是；③偶函数的图象关于y轴对称；④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f（x）=0（x∈R）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【提示】①不对，如函数是偶函数，但其图象与轴没有交点；②不对，因为奇函数的定义域可能不包含原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数可以为f（x）=0〔x∈（－，）〕，答案为A.
（2）已知函数是偶函数，且其定义域为［］，则（　　）　
A．，b＝0 B．，b＝0 C．，b＝0 D．，b＝0
【提示】由为偶函数，得b＝0.又定义域为［］，∴ ，∴．故答案为A.
例5 判断下列函数的奇偶性：
（1）；(2)；
（3）；（4）.
解：（1）由，得定义域为，关于原点不对称，∴为非奇非偶函数.
(2) ，∴ ∴既是奇函数又是偶函数.
（3）由得定义域为，∴，
∵， ∴为偶函数.
（4）当时，，则，当时，，则，综上所述，对任意的，都有，∴为奇函数.
例6 若奇函数是定义在（，1）上的增函数，试解关于的不等式：.
解：由已知得，因f(x)是奇函数，故 ，于是.又是定义在（1，1）上的增函数，从而
， 即不等式的解集是.
例7 已知定义在R上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，又.
（1）求证：为奇函数；（2）求证：在R上是减函数；（3）求在[，6]上的最大值与最小值.
（1）证明：令，可得 ，从而，f(0) = 0.令，可得 ，即，故为奇函数.
（2）证明：设∈R，且，则，于是．从而.所以，为减函数.
（3）解：由（2）知，所求函数的最大值为，最小值为.，.于是，在[-3，6]上的最大值为2，最小值为 -4.
课堂小结
1. 单调递增、单调递减和单调区间的概念及判定方法.
2. 求函数最值的常用方法有：
（1）配方法：即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的最值.
（2）换元法：通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值.
（3）数形结合法：利用函数图象或几何方法求出最值.
3. 判断函数的奇偶性通常有两种方法，即定义法和图象法，用定义法判断函数的奇偶性时，必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称．单调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点，需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和奇偶性这两个性质.
作业
见同步练习部分
拓展提升
1.下列四个函数：① ; ②； ③ ; ④，其中在 上为减函数的是（ ）
（A）① （B）④ （C）①、④ （D）①、②、④
2.函数在和都是增函数，若，且那么（ ）
A． B． C． D．无法确定
3. 已知函数是定义在上的减函数，若，实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4．下列命题中，真命题是（ ）
A．函数是奇函数，且在定义域内为减函数
B．函数是奇函数，且在定义域内为增函数
C．函数是偶函数，且在（3，0）上为减函数
D．函数是偶函数，且在（0，2）上为增函数
5．若，都是奇函数，在（0，＋∞）上有最大值5，则在（－∞，0）上有（　　）
A．最小值－5　　B．最大值－5 C．最小值－1　　　D．最大值－3
6则a的范围为( )
　　　A． B． C． D．
7．函数)是单调函数的充要条件是( )
A． B． C． D．
8．已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．画出下列函数图象并写出函数的单调区间
（1） （2）

10．根据函数单调性的定义，证明函数 在 上是减函数．

11.设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，.
（1）求证：； （2）证明：时恒有；
（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围.

参考答案
1. A 2. D 3.B
4.C【提示】A中，在定义域内不具有单调性；B中，函数的定义域不关于原点对称；D中，当时，在（0，2）上为减函数，答案为C.
5.C【提示】、为奇函数，∴为奇函数.又有最大值5，　∴－2在（0，＋∞）上有最大值3.∴－2在上有最小值－3，∴在上有最小值－1．答案为C.
6.D【提示】21<0时该函数是R上的减函数.
7. A【提示】考虑对称轴和区间端点.结合二次函数图象.
8.D【提示】可转化为和在利用函数单调性可得.

9.解：(1) 即
如图所示，单调增区间为，单调减区间为.
（2）当，函数
当，函数，
即.
如图所示，单调增区间为，单调减区间为.

(1) (2)
10.证明：设，则
 ，，且在 与 中至少有一个不为0，不妨设 ，那么，，故 在 上为减函数.
11.解：(1)取m=0，n= 则，因为 所以.
(2)设则， 由条件可知，
又因为，所以.∴时，恒有.
（3）设则 =
=.因为所以所以即，又因为，所以，所以，即该函数在R上是减函数.
(4) 因为，所以，所以，所以.