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函数的单调性和奇偶性

（一）函数的定义及构成函数的三要素为 、 、 。
（二）函数的三种表示方法分别为 、 、 。
知识点一：函数的单调性
（一）增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有 ，那么就说f(x)在区间M上是增函数；
如果对于M内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有 ，那么就说f(x)在区间M上是减函数.
如果函数f(x)在区间M上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间M上具有 ，M称为函数f(x)的 .
要点诠释：
（1）“任意”和“都”；
（2）单调区间与定义域的关系——局部性质；
（3）单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
（4）不能随意合并两个单调区间.
（二）已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
知识点二：函数的奇偶性
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)= ，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)= ，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于 对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：
，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：
；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)= ；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)= ；
（6）函数f(x)为奇函数图像关于 对称；
　　 函数f(x)为偶函数图像关于 对称.
类型一：函数的单调性的证明
例1、证明函数上的单调性.
证明：

类型二：求函数的单调区间
例2、判断下列函数的单调区间；
（1）y=x2-3|x|+2； （2）
解：

举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
（1）y=|x+1|； （2）　　　　（3）.

类型三：单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例3、已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.
解：

例4. 求下列函数值域：
(1)y=2x-1/x+2； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；

(2)y=x2-2x+3；　 1)x∈[-1，1]； 2)x∈[-2，2].
例5、已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：（1）实数a的取值范围；（2）f(2)的取值范围.
解：

类型四：判断函数的奇偶性
例6、判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3）f(x)=x2-4|x|+3 （4）f(x)=|x+3|-|x-3| （5）
（6） （7）

举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
（1）； （2）f(x)=|x+1|-|x-1|；
（3）f(x)=x2+x+1；
（4）.
思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.
解：

【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
证明：

类型五：函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例7、已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
解：法一：

例8、f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.
解：

例9、设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)<f(a)时，求a的取值范围.
解：

类型六：综合问题
例10、定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a>b>0，给出下列不等式，其中成立的是 .
（1）f(b)-f(-a)>g(a)-g(-b)； （2）f(b)-f(-a)<g(a)-g(-b)；
（3）f(a)-f(-b)>g(b)-g(-a)； （4）f(a)-f(-b)<g(b)-g(-a).
答案：

例11、求下列函数的值域：
（1） （2） （3）

例12、已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.
（1）若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.
解：

例13、已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.
解：

例14、判断函数上的单调性，并证明.
证明：

（一）证明函数单调性的步骤：
（1）取值.设是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
（2）变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
（3）定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
（4）得出结论.
（二）函数单调性的判断方法：
（1）定义法；
（2）图象法；
（3）对于复合函数，若在区间上是单调函数，则在区间或者上是单调函数；若与单调性相同（同时为增或同时为减），则为 ；若与单调性相反，则为 .
（三）常见结论：
（1）若是增函数，则为 ；若是减函数，则为 ；
（2）若和均为增函数，则在和的公共定义域上为 ；
若和均为减函数，则在和的公共定义域上为 ；
（3）若且为增函数，则函数为 ，为 ；
若且为减函数，则函数为 ，为 .
（4）若奇函数在上是增函数，且有最大值，则在是 ，且有最 值 ；若偶函数在是减函数，则在是 .

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