函数单调性与奇偶性专题.docx

函数单调性和奇偶性专题
一． 知识点精讲：
一、单调性
1.函数的单调性定义：
一、函数单调性的定义及性质
（1）定义
对于给定区间上的函数，如果对任意，当，都有，那么就称在区间上是增函数；当，都有，那么就称在区间上是减函数．
与之相等价的定义：⑴，〔或都有〕则说在这个区间上是增函数（或减函数）。
其几何意义为：增（减）函数图象上的任意两点连线的斜率都大于（或小于）0。
（2）函数的单调区间
如果函数在某个区间上是增函数（或减函数），就说在这一区间上具有（严格的）单调性，这一区间叫做该函数的单调区间。如函数是增函数则称区间为增区间，如函数为减函数则称区间为减区间。单调性反映函数的局部性质。
一个函数在区间上都是增函数，但它在区间上不一定是增函数。
（3）判断单调函数的方法：
①定义法，其步骤为：①在该区间上任取，②作差、化积、定号；
②互为反函数的两个函数具有相同的单调性；
③奇函数在对称的两个区间上具有相同的单调性，而偶函数在对称的两个区间上却有相反的单调性；
④复合函数单调性的根据：设都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性是与单调性相同则是增函数，单调性相反则是减函数。
⑤几个与函数单调性相关的结论：
（ⅰ）增函数+增函数=增函数；减函数+减函数=减函数；
（ⅱ）增函数－减函数=增函数；减函数－增函数=减函数。
⑥如果在某个区间上是增函数（或减函数），那么..在区间的任意一个子区间上也是增函数（或减函数）。
（4）常见一些函数的单调性：
①一次函数，当时，在上是增函数；当时，在上是减函数．
②反比例函数，当时，在和上都是减函数；当时，在和上都是增函数．
③二次函数，当，在上是减函数，在上是增函数；当，在上是增函数，在上是减函数．
④当时，和在其定义域内为增函数，当，和在其定义域内为减函数。
二、奇偶性
①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。
②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）
二． 经典例题剖析：（不带答案版）
单调性:
例1．（1）函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是______.
（2）函数的单调区间_______；
变式：（1）函数的单调区间为
（2）设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
例2：（1）函数在上单调递减，则实数的范围_______；
（2）函数在上单调递增，则实数的范围_________。
变式：（1）已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是________.
例3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则,, 之间的大小关系是_______.
例4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于______.
例5： （1）用定义证明在上是减函数。
变式：用定义证明函数 在上的单调性。
例6：已知函数，常数）．若函数在上为增函数，求的取值范围．
变式：已知函数在区间上是增函数，求实数的范围。
例7： 设函数，判断在其定义域上的单调性。
例8：求（且）的单调区间。
例9：设为实数，函数，，求 的最小值．
奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4） （5）
变式：判断函数的奇偶性
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
例2：已知是偶函数，时，，求时的解析式.
变式：已知是奇函数，是偶函数，且，求、.
例3：若是偶函数，且在上增函数，又，求的解集。
例4：（1）定义在上的奇函数是减函数，解关于的不等式：。
（2）定义在上的偶函数在上单调递减，且成立，求的取值范围。
变式：（1）定义在上的偶函数，上为增函数，且成立，求的取值范围。
（2）定义在上的奇函数是减函数，且成立，求的取值范围。
例5：已知函数对任意都有，并且当时，。
（1）求证：在上是增函数；
（2）若,求满足条件的实数的取值范围。
变式：（1）设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数。试判断函数在区间上的单调性，并给予证明。
（2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的取值范围是___________.
例6：已知函数f（x）=x++m（p≠0）是奇函数，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.
变式：设为实数，函数。
（1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值
三． 经典例题剖析：（部分带答案版）
单调性:
例1．（1）函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是______.
解 由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1,2]．
（2）函数的单调区间_______；
【分析】对函数，是由向右平移1个单位得到，由反比例函数性质得，函数在上单调递增，特别注意：单调区间不能写成，可举反例说明；
【解】上单调递增；
变式：（1）函数的单调区间为
（2）设函数f(x)＝，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________．
【解析】由题意知g(x)＝函数图象如图所示，其递减区间是[0,1)．

例2：（1）函数在上单调递减，则实数的范围_______；
【分析】关于二次函数的单调性，注意看两个方面，即开口方向和对称轴，注意结合二次函数的图像解题.问题（1）中给定了函数在上单调递减，而图象开口向上，因此对称轴应在的右边，从而；
（2）函数在上单调递增，则实数的范围_________。
【分析】函数，由图象可知函数在的范围内，当递减，当递增，由题意在上单调递增得。
变式：（1）已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a的取值范围为________________．
【解析】 函数f(x)＝x2－2ax－3的图象开口向上，对称轴为直线x＝a，画出草图如图所示．
由图象可知，函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间[1,2]上具有单调性，只需a≤1或a≥2，从而a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．
（2）函数y=loga（2－ax）在［0，1］上是减函数，则a的取值范围是________.
【解析】题中隐含a＞0，∴2－ax在［0，1］上是减函数.∴y=logau应为增函数，且u=2－ax在［0，1］上应恒大于零.∴∴1＜a＜2.
例3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x－1，则,, 之间的大小关系是_______.
【解析】由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x≥1时，f(x)单调递增，而x＝1为对称轴，∴
例4．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a<b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2,2]的最大值等于______.
【解析】 f(x)在定义域内都为增函数，所以最大值6。
例5：用定义证明在上是减函数。
【证明】 设,，且，则

由于，，
则，即，所以在上是减函数。
变式：用定义证明函数 在上的单调性。
【证明】设、，且，则

，
又，所以，，
当、时，此时函数为减函数；
当、时，此时函数为增函数。
综上函数 在区间内为减函数；在区间内为增函数。
注 由于与0的大小关系不是明确的，因此要分段讨论。讨论的方法是令，则，解得。
例6：已知函数，常数）．若函数在上为增函数，求的取值范围．
【解析】设，则
，
要使函数在上为增函数，必须恒成立．
，还要，即恒成立．
又，，所以的取值范围是．
变式：已知函数在区间上是增函数，求实数的范围。
【答案】
以上例题都是用定义法判定函数单调性，基本方法是作差----化积----定号。
这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐，有时也可以利用函数单调性的性质来判断其他函数的单调性。
例7： 设函数，判断在其定义域上的单调性。
【解析】函数的定义域为.
先判断在内的单调性，由题可把转化为，又故，虽x的增大而减小，所以在上为减函数；
同理可判断在内也是减函数。故函数在和内是减函数（本题在内也是减函数）。
变式：已知，若，试确定的单调区间和单调性。
函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。
例8：求（且）的单调区间。
【解析】由题可得函数是由外函数和内函数符合而成。由题知函数的定义域是。内函数在内为增函数，在内为减函数。
①若，外函数为增函数，由同增异减法则，故函数在上是增函数；函数在上是减函数。
②若，外函数为减函数，由同增异减法则，故函数在上是减函数；函数在上是增函数。
小结：判断复合函数的单调性的一般步骤：
⑴合理地分解成两个基本初等函数；
⑵分别解出两个基本初等函数的定义域；
⑶分别确定单调区间；
⑷若两个基本初等函数在对应区间上的单调性相同，则为增函数，若为一增一减，则为减函数（同增异减）；
⑸求出相应区间的交集，即是复合函数的单调区间。
一分二求三定四交 同增异减确定区间
例9：设为实数，函数，，求 的最小值．
【解析】①当时，函数，
若，则函数在上单调递减，∴函数在上的最小值为；
若，函数在上的最小值为，且．
②当时，函数，
若，则函数在上的最小值为，且；
若，则函数在上单调递增，∴函数在上的最小值．
综上，当时，函数的最小值是，当时，函数的最小值是，当，函数的最小值是．
奇偶性
例1：判断下列函数的奇偶性：
（1） （2）
（3） （4） （5）
变式：判断函数的奇偶性
① ② ③ ④
⑤ ⑥ ⑦
例2：已知是偶函数，时，，求时的解析式.
变式：已知是奇函数，是偶函数，且，求、.
例3：若是偶函数，且在上增函数，又，求的解集。
【解析】。
例4：（1）定义在上的奇函数是减函数，解关于的不等式：。
【解析】不等式可化简为由于函数是奇函数因此
则有, 解得 或， 即
∴ 不等式f (1―a)＋f (1―a2)<0的解集是{a| -1<a<0}
（2）定义在上的偶函数在上单调递减，且成立，求的取值范围。
【答案】
变式：（1）定义在上的偶函数，上为增函数，且成立，求的取值范围。
【答案】或
（2）定义在上的奇函数是减函数，且成立，求的取值范围。
点评：函数的单调性和奇偶性结合应用是此类习题的一般解法，但在应用时要特别注意函数的定义域。
例5：已知函数对任意都有，并且当时，。
（1）求证：在上是增函数；
（2）若,求满足条件的实数的取值范围。
【解析】（1）设，，。
又，
故函数上是增函数。
（2）
。
由，得。
根据在上是增函数，可得，解得。
变式（1）设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数。试判断函数在区间上的单调性，并给予证明。
（2）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，且在(－∞，0)上单调递增，如果x1＋x2<0且x1x2<0，则f(x1)＋f(x2)的取值范围是___________.
【解析】由x1x2<0不妨设x1<0，x2>0.∵x1＋x2<0，∴x1<－x2<0.由f(x)＋f(－x)＝0知f(x)为奇函数．
又由f(x)在(－∞，0)上单调递增得，f(x1)<f(－x2)＝－f(x2)，所以f(x1)＋f(x2)<0.
例6：已知函数f（x）=x++m（p≠0）是奇函数，当x∈［1，2］时，求f（x）的最大值和最小值.
【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－x）=－f（x），∴－x－+m=－x－－m，∴2m=0，m=0.
（1）当p＜0时，据定义可证明f（x）在［1，2］上为增函数.∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.
（2）当p＞0时，据定义可证明f（x）在（0，］上是减函数，在［，+∞）上是增函数.
①当＜1，即0＜p＜1时，f（x）在［1，2］上为增函数，
∴f（x）max=f（2）=2+，f（x）min=f（1）=1+p.
②当∈［1，2］时，f（x）在［1，p］上是减函数.在［p，2］上是增函数.
f（x）min=f（）=2，f（x）max=max{f（1），f（2）}=max{1+p，2+}.
当1≤p≤2时，1+p≤2+，f（x）max=f（2）；当2＜p≤4时，1+p≥2+，f（x）max=f（1）.
③当＞2，即p＞4时，f（x）在［1，2］上为减函数，∴f（x）max=f（1）=1+p，f（x）min=f（2）=2+.
变式：设为实数，函数。
（1）讨论函数的奇偶性；（2）求函数的最小值

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