长春市第二中学——参数方程4-4.doc

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1. 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,都是某个变数的函数并且对于的每一个允许值，由方程组所确定的点都在这条曲线上，那么方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数的变数叫做参变数,简称参数；相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.
2. 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程,如果知道变数x,y中的一个与参数t的关系，例如，把它代入普通方程,求出另一个变数与参数的关系，那么就是曲线的参数方程.
3. 圆心在，半径为的圆的参数方程为（为参数)。
4. 各种圆锥曲线的参数方程
A。 椭圆的参数方程：
椭圆的一个参数方程为(为参数);
椭圆的一个参数方程为（为参数）；
B. 双曲线的参数方程
双曲线的参数方程，.
C. 抛物线的参数方程
抛物线的参数方程为，（t为参数）。 由于，因此参数几何意义是抛物线上的点与抛物线的顶点连线的斜率的倒数。
5. 直线参数方程
A. 直线参数方程的标准式
因为直线参数方程(为参数）中参数的系数的平方和总为1，即，并且参数具有明显的几何意义，我们称这种形式的方程为直线参数方程的标准式。
B. 直线参数方程的一般式
直线参数方程(为参数)中参数t的系数，，我们称这种形式的方程为直线参数方程的一般式. 当且仅当时，一般式中参数t才具有直线参数方程的标准式中所具有的几何意义.
三、例题与练习（※老师与学生共同分析，学生写出详细的解答步骤※）
例1. 已知曲线C的参数方程为（为参数).
(1）判断点，,与曲线C的位置关系；
（2）试求当时，曲线C上的点的坐标。

练习. 已知曲线C的参数方程为（为参数).
（1)判断点，与曲线 C的位置关系；
（2）试求当时,曲线C上的点的坐标.

例2. 如图,平行四边形一条对角线的两端为两点,点D在直线上移动，求点B的轨迹的参数方程。

练习 经过一个伸缩变换后，圆变为椭圆，求这个伸缩变换.

练习。 在中，为直角，,如图，当顶点A、B分别在、正半轴上移动时，求顶点P在第一象限的轨迹方程。

练习. 设飞机以匀速做水平飞行,若在飞行高度处投弹（设炸弹的初速度等于飞机的速度）。
(1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程;
（2）试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标(g取）

例3。 将下列参数方程化为普通方程. 并说明方程表示的曲线。
（1） (为参数）;
(2） （t为参数,)
（3)（为参数)。

练习。 将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表示的曲线：
（为大于零的常数，t为参数）.

例4。 求方程的参数方程：
(1)设，为参数；(2)以过点的直线斜率为参数.

练习。 求抛物线的参数方程。
(1）设，t为参数；
(2）设，k为参数.

例5。 已知点Q是圆上的动点,定点，若点M分所成的比为1：2，求点M的轨迹的参数方程。

练习。 已知，Q是圆上一动点,求PQ中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么样的曲线？

例6. 如果实数满足，求：
(1）的最小值;
（2)的最值.

练习. 圆的直径上有两点C、D，且,为圆上一点，求的最大值.

例7。 如图所示，已知M是椭圆在第一象限上的一点，,是椭圆的两个顶点，为原点,求四边形的面积的最大值.

练习。 在椭圆上找一点,使这一点到直线的距离最小.

例8。 已知分别是椭圆的右顶点和上顶点,动点C在该椭圆上运动，求的重心G的轨迹的普通方程.

练习. 已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上不在轴上的点，求的重心G的轨迹的普通方程.

例9。 求证：双曲线上任一点到两渐近线的距离的乘积是一个定值。

练习. 求点到双曲线的最小距离（即双曲线上任一点与点距离的最小值)。

例10。 已知抛物线上存在两点关于直线对称，求的取值范围。

练习。 已知点,是曲线（为参数)上任一点,设P到直线的距离为,求的最小值。

例11。 设抛物线的准线为。 焦点为F，顶点为为抛物线上任一点于点Q. 求与的交点M的轨迹方程。

练习. 过双曲线上的一定点作双曲线的弦,当弦变动时,求动弦的中点的轨迹方程。

例12. (1)化直线的方程为标准形式的参数方程（参数为t）。 并说明参数和的几何意义；(2）化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并说明的几何意义.

练习。 已知直线的方程为,点在直线上,写出直线的参数方程，并求点 P到点和点的距离。

例13。 已知直线过点，斜率为，直线和抛物线相交于两点，设线段的中点为M. 求:
(1)两点间的距离；
（2）点的坐标. 线段的长.

练习. 已知直线过点，且与轴和轴的正半轴分别交于两点。 求的值最小时的直线的方程.

例14。 已知椭圆和点,过点作椭圆的弦，若使是弦的三等分点，求弦所在直线的方程.

练习. 已知直线交抛物线于、两点，在线段上取一点Q，使成等比数列，求Q点的轨迹方程。