函数的单调性奇偶性单元测试题.pdf

函数的的单调性及奇偶性单元测试函数的的单调性及奇偶性单元测试一、选择题一、选择题1 1若y f(x)为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是（）A.(a,f(a)B.(a,f(a)C.(a,f(a)D.(a,f(a)2 2下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是（）1A.y x B.y 3 x C.y y x2 4x3 3下列判断中正确的是（）Af(x)(x)2是偶函数 B。f(x)(x)2是奇函数Cf(x)x21在-5，3上是偶函数 D。f(x)3 x2是偶函数4 4若函数f(x)ax2bx c(a 0)是偶函数，则g(x)ax3bx2 cx是（）A奇函数 B。偶函数 C。非奇非偶函数 D。既是奇函数又是偶函数5 5已知函数 f(x)是 R 上的增函数,A(0,1)、B(3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)|f(1)，则 f(x)在 R 上不是减函数C.定义在 R 上的函数 f(x)在区间(,0上是减函数，在区间(0,)上也是减函数，则 f(x)在 R 上是减函数D.既是奇函数又是偶函数的函数有且只有一个9 9、奇函数f(x)在区间a,b上是减函数且有最小值m，那么f(x)在b,a上是（）A、减函数且有最大值m B、减函数且有最小值mC、增函数且有最大值m D、增函数且有最小值m1010设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递增；若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递增；若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)g(x)单调递减；若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)g(x)单调递减；其中正确的命题是（）A B。C。D。1111、定义在 R 上的偶函数 y=f(x)满足 f(x+1)=f(x),且在1,0上单调递增,设 a=f（3）,b=f(2),c=f（2）,则 a、b、c 的大小关系是Aabc（）BacbCbcaDcba1212定义在区间（，）上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在，)上图像与f(x)的图像重合.设，给出下列不等式：f(b)f(a)g(a)g(b)f(b)f(a)g(a)g(b)f(a)f(b)g(b)g(a)f(a)f(b)g(b)g(a)其中成立的是 ().二、填空题二、填空题1313已知函数 y=f(x)是 R 上奇函数，且当x0 时，f(x)=1，则函数 y=f(x)的表达式是1414.函数 y=x2-2ax+1,若它的增区间是2，+)，则 a 的取值是_;若它在区间2，+)上递增，则 a 的取值范围是_ _15.15.已知f(x)是奇函数，定义域为x|xR且x0,又f(x)在（0，+）上是增函数，且f(-1)=0,则满足 f(x)0 的 x 取值范围是_ _1616.若 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时为增函数，那么使 f()f(a)的实数 a 的取值范围1717有下列下列命题：偶函数的图象一定与 y 轴相交；奇函数的图象一定经过原点；定义在 R 上的奇函数f(x)必满足f(0)0；当且仅当f(x)0（定义域关于原点对称）时，f(x)既是奇函数又是偶函数。其中正确的命题有1818已知f(x)与g(x)是定义在 R 上的非奇非偶函数，且f(x)g(x)是定义在 R 上的偶函数，试写出满足条件的一组函数：f(x)=，g(x)=2020已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)x2 2x 3，则f(x)g(x)三、解答题三、解答题2121已知f(x)是一个定义在 R 上的函数，求证：（1）g(x)=f(x)+f(x)是偶函数；（2）h(x)=f(x)f(x)是奇函数.2222已知函数f(x)x22|x|（）判断并证明函数的奇偶性；（）判断函数f(x)在(1,0)上的单调性并加以证明2323、设函数f(x)对于任意x,y R,都有f(x y)f(x)f(y),且x 0时f(x)0,f(1)2。（1）求f(0)；（2）证明f(x)是奇函数；（3）试问在x3,3时f(x)是否有最大、最小值？如果有，请求出来，如果没有，说明理由；24.24.设函数f(x)在(,0)(0,)上是奇函数，又f(x)在（，）上是减函数，并且f(x)0，指出F(x)1在（，）上的增减性?并证明.f(x)2525.试判断函数f(x)x 选做题选做题：2在2，+)上的单调性xy3 x2,x1,2，2626已知函数f(x)x3,x(2,5.（1）在图 5 给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；（2）写出f(x)的单调递增区间2727、已知f(x)是定义在-1，1上的奇函数，当f(a)f(b)0.a,b1,1，且ab 0时有ab321-10-112345x图 5（1）判断函数f(x)的单调性，并给予证明；（2）若f(1)1,f(x)m22bm1对所有x1,1,b1,1恒成立，求实数 m 的取值范围.参考答案参考答案一、选择题一、选择题1 1C C解析：解析：y f(x)为偶函数，f(a)f(a)，点(a,f(a)在函数图像上，故选 C。2 2A A解析：解析：结合函数图象易知选 A3 3D D解析解析：若函数是奇函数或偶函数，则其定义域必关于原点对称，据此选 D。4 4A A解析解析：函数f(x)ax2 bx c(a 0)是偶函数，则f(x)f(x)在其定义域 R 上恒成立，由此可得b 0，从而易知g(x)ax3bx2 cx为奇函数，因为a 0，所以g(x)不可能为偶函数，故选 A。5 5D D解析解析：因为函数f(x)是 R 上的增函数,且 A(0,1)、B(3,1)是其图象上的两点，所以不等式f(x)1的解集为x 0,或x 3，从而|f(x+1)|ba，故选 D。1212C C解析：解析：采用特殊值法。根据题意，可设f(x)x,g(x)x，又设a 2,b 1，易验证与成立，故选 C二、填空题二、填空题13131f(x)01(x 0)(x 0)(x 0)。解析解析：参见第 6 题，同时注意到函数 y=f(x)是 R 上奇函数，必有f(0)0。1414a 2;a 2解析解析：函数 y=x2-2ax+1 图象的对称轴为直线x a，递增区间为a,)。若它的增区间是2，+)，则.a=2;；若它在区间2，+)上递增，则区间2，+)是区间为a,)的子区间，从而 a 的取值范围是 a 21515(1,0)(1,)解析解析：f(x)是奇函数，其定义域为x|xR 且 x0,且 f(-1)=0,f(1)0。又f(x)在（0，+）上是增函数，f(x)在(,0)上也是增函数，画出其草图，易知满足 f(x)0 的 x 取值范围是(1,0)(1,)。1616a 或a 解析：解析：f(x)是偶函数，且当x0 时为增函数，在区间(,0)上函数为减函数，结合函数图象可知使 f()f(a)的实数 a 的取值范围是a 或a 1717、解析：解析：偶函数的图象不一定与 y 轴相交，奇函数的图象也不一定经过原点，这要看x 0是否在函数的定义域中；易知、正确。1818 x+1，x-1选做题选做题1919 x2 x;x2 x2020 x2 2x 3解析：f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(x)g(x)x2 2x 3，f(x)g(x)(x)2 2(x)3,f(x)g(x)x2 2x 3 f(x)g(x)x2 2x 3三、解答题三、解答题2121证明证明：（1）g(x)f(x)f(x)f(x)f(x)g(x)g(x)是 R 上的偶函数h(x)f(x)f(x)f(x)f(x)h(x)h(x)是R 上的奇函数.2222解析解析：（）是偶函数定义域是 R，f(x)(x)22|x|x22|x|f(x)函数f(x)是偶函数（）是单调递增函数当x(1,0)时，f(x)x22x设1 x1 x2 0，则x1 x2 0，且x1 x2 2，即x1 x2 2 02)2(x1 x2)f(x1)f(x2)(x12 x2(x1 x2)(x1 x2 2)0f(x1)f(x2)所以函数f(x)在(1,0)上是单调递增函数2323、解：（1）令 x=y=0，f0 0，（2）令 x=-y，即得f0 fx f x，即证（3）x 0,f(x)0，由（2）知f(x)为奇函数，x 0,f(x)0,从而f(x)有最大值和最小值，fxmax f3 f1 f1 f1 6,fxmin f3 6设函数f(x)在(,0)(0,)上是奇函数，又f(x)在（，）上是减函数，并且f(x)0，指出F(x)1在（，）上的增减性?并证明.f(x)2424解；解；F(x)在(,0)上是增函数.证明过程如下：设x1 x2 0,则 x1 x2 0,F(x1)F(x2)f(x)在(0,)上是减函数,f(x1)f(x2)。又 f(x)是奇函数，f(x1)f(x2),f(x2)f(x1)0 f(x)0,x(0,),x1 x2 0,f(x1)f(x1)0,f(x2)f(x2)0,f(x1)f(x2)0,F(x1)F(x2)0,F(x1)F(x2)f(x2)f(x1)11f(x1)f(x2)f(x1)f(x2)F(x)在(,0)上是增函数2525.解：设2 x1 x2，则有f(x1)f(x2)x12222(x2)=(x1 x2)()x1x2x1x22x2 2x12)=(x1 x2)(1)x1 x2x1 x2 =(x1 x2)(=(x1 x2)(x1x2 2)x1x22 x1 x2，x1 x2 0且x1x2 2 0，x1x2 0，所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)所以函数y f(x)在区间2，+)上单调递增选做题选做题26.26.解：(1)函数f(x)的图像如右图所示；A(-1,2)3C(5,2)Ay（2）)函数f(x)的单调递增区间为-1，0和2，5、2727.(1)证明：令1x1x21，且 a=x1，b=x2则1-115B(2,-1)0-12xf(x1)f(x2)0 x1 x20，f(x)是奇函数f(x1)f(x2)0 即 f(x1)f(x2)x1 x2x1x2f(x)是增函数(2)解：f(x)是增函数，且 f(x)m22bm+1 对所有 x1,2恒成立f(x)maxm22bm+1 f(x)max=f(1)=1m22bm+11 即 m22bm0 在 b1,1恒成立y=2mb+m2在 b1,1恒大于等于 02m 0或m 2 2m(1)m 0，2m 0或m 2 2m1 m 0m 的取值范围是(-，202，)