导数与微分（四）函数与微分.doc

DDY整理许多实际问题中常常要求函数的增量。例如：一块正方形铁板，受热后边长由 增加到 ，（见图）问它的面积增加了多少？设边长为 ，则正方形面积 ，显然，铁板受热后增加的面积对应函数的增量 ，即 由两部分组成，第一部分 是 的线性函数，它的系数 是函数 在 处的导数；第二部分 当 时是 的高阶无穷小，即 ；这样 当 很小时， 问题：是否对于任一函数 都是如此呢？第一节中提到的增量公式回答了这一问题。如果函数 在 处可导，则有增量公式其中 称为函数增量 的线性主部，也叫做函数 在点 处的微分， 是 的高阶无穷小，当 很小时， 。定义 ：设函数 在 处可导，则增量 的线性主部 称为 在 处的微分，记作 或 ，即 。注 ：（1）规定 ，所以 的微分记作 ，所以 ，因此，导数也叫做微商。（2）由定义知 在 处可微必可导，可导也必可微。（3）当 很小时，有 。所以可用微分作近似计算（ 很小）见图，对曲线 上的点，当变量 有增量时，可得曲线上另一点，过点 作曲线的切线 ，它的倾角为 ，则 即 所以，当 是曲线 上的点的纵坐标的增量时， 就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量。1. 由基本导数公式可得基本微分公式，书中168页的表要背下来。2. 函数和、差、积、商的微分法则（C为常数）3.复合函数微分法（微分形式的不变性）设 可微（1）当u为自变量时， （2）当 时， 求 的微分 时，可先求出 再写出微分，也可利用微分法则和微分形式的不变性。例1 设 ，求 解 法一 法二 例2 设 ，求 解 法一 法二 例3 设 ，求当 时的微分。解 例4 求下列函数的微分（1） （2） 可导解 （1） （2） 例5 填空（1） ，（2） 解 （1）因为 ，即 填 。（2）因为 ，所以填 由微分的定义知，当 很小时，有 ，也即下面的近似计算公式（1）或 （ 很小） （2）例6 有一批半径为1cm的球，为了提高球面的光洁度，要镀上一层铜，厚度为0.01cm，估计一下每只球需要用多少克铜（铜的比重是 ）？解 设球体积为 ，半径为 ，则 ，现 ，求体积的对应改变量 ，所以每只球需要铜约为 例7 求 的近似值。解 将 化成弧度， ，设 ，则 ，取 ，利用公式（2）在（2）式中令 ，则（2）成为此式说明当 在 的邻域内可导时， 可表示成 的线性函数。如果 ，可得近似公式（ 很小）利用上式可推出书中151页的几个近似公式。如：； ； ； 。例8 求 的近似值。解 由于 ， ，利用上面第一式， 7