微分中值定理与导数应用技术.doc

微分值定理与导数(偏导数)的应用
导数的几何应用:切线斜率
偏导数的几何应用
i. 若空间曲线Г的参数方程为 且不能都为零.则切向量（切线的方向向量）
曲线在点处的切线方程为 =
法平面（过切点与切线垂直的平面）的方程为：

ii. 若空间曲线Г的方程为，Г的参数方程可看成，
所以
曲线在点处的切线方程为
法平面方程为
iii. 若空间曲线Г的方程为 ，利用隐函数求导法则，
切向量可取为
曲线在点处的切线方程为
法平面方程为
曲面的切平面与法线：设是曲面上的一点，则∑在点的切平面的法向量为，切平面方程为：
法线方程
特别地，曲面在点处的法向量为：
（向下的法线方向）
或 （向上的法线方向）
注意: 求曲线切线的关键在于找到切向量；求曲面切平面的关键在于找到法向量.
方向导数与梯度：
（1）如果函数(或)在所考虑的点处可微分，那末函数在该点沿着方向的方向导数为 （或）.
注意: 可微是方向导数存在的充分条件，（或）为给定向量的单位向量.
(2)函数(或)的梯度为
（或）.
若(或)为可微函数，则方向导数与梯度关系为

当方向与梯度的方向一致时，取最大值.即梯度的方向是函数在该点增长最快的方向;方向与梯度的方向相反时，取最小值，故梯度反方向是函数在该点减少长最快的方向.
注意: （1）梯度是一个向量，方向导数是数.
（2）在任意给定方向上的投影就是该方向的方向导数，因此，当 时，.
例题
例1求在处的切线与法平面方程.
解：方程组两边对求导，得:
将代入上式,得:，解之得：.
故切向量为，切线方程为
法平面方程为即.
例2 求曲面与平面平行的切平面方程.
分析：先求曲面切平面的法向量. 由于已知曲面的切平面与所给平面平行，因此切平面的法向量与所给平面的法向量对应成比例.
解：的切平面的法向量为，的法向量为，故只需 即 此时.
所以，所求切平面方程为，即.
例3求曲线在点处的切线及法平面方程，其中例例4. 求二元函数在点沿方向的方向导数及梯度，并指出在该点沿哪个方向减少得最快？
解：

因此，方向导数取最大值方向即为梯度方向：，方向导数最大值为，而沿梯度的负方向，即的方向减小得最快.
例5 .设函数在点附近有定义，且，则
A．；
B．曲面在的法向量为
C．曲线在的切向量为
D．曲线在的切向量为
例6 .设是曲面在点处指向外侧的法向量，求在点处沿方向的方向导数.
微分中值定理
1.费马引理 设函数在点的某领域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有 （或），那么．
注 通常称导数等于零的点为函数的驻点（或稳定点，临界点）．
2.罗尔定理　如果函数满足（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导；（３），那么在内至少有一点，使得．
3.拉格朗日中值定理　如果函数满足（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使等式
（或写成）成立．
推论　如果函数在区间上的导数恒为零，那么在区间上恒为常数．
4．柯西中值定理　如果函数及满足（１）在闭区间上连续；（２）在开区间内可导，那么在内至少有一点，使等式
成立．
罗尔定理的应用
（1）证明方程最多只有个根。
特别地证明方程在区间上有且仅有唯一实根时，常利用零点原理来证明方程存在根，再利用罗尔定理证明根唯一.
例 证明方程有且仅有一实根.
（2）证明方程存在根：设在上连续；在内可导，且满足一些给定条件，证明：方程存在实根.（或存在使得.（其中））
方法 构造上连续；在内可导函数，使得，或，且任意都有，再由罗尔定理可证内至少有一点，使得（或，而，所以）．
一些常见的辅助函数选取：
①证明存在使得.
通常设，此时
例 设在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得.（令即可）
②证明存在使得，其中时，通常设，此时.
例 设，在上连续，在内可导，且，证明：存在一点，使得.（令）
③证明存在使得时，通常设，
此时，，而且处处大于零.
④ 证明存在（其中）使得，常设，此时.
例题
例 .设在上连续，在内可导，且，，
证明：1）存在，；
2）对任意的，存在，使得
分析：1)令，利用介值定理（零点原理）即可
2）要构造一个函数，使其导数中含有因子，
且，由于，是的导数，所以可设 .
例. 设函数在上连续且可导，又则对任意，存在，使
分析：所证为，所以，令
，如果，在上用罗尔定理，如果，则异号，所以存在，使，在上用罗尔定理
例：.设函数在上连续且可导，又则对任意，存在，使
分析：所证为，所以，令
，如果，在上用罗尔定理，如果，则异号，所以存在，使，在上用罗尔定理
拉格朗日中值定理和柯西中值定理的应用
例 设在上连续,在内可导, 且,证明:存在，
使
分析：所证表达式中含两个量，先将它们分离再考虑下面的证明，
等价于
上式右端是对和在上用柯西中值定理的形式，左端是对在上用拉格朗日中值定理的形式.
例 在上连续,在内可导, 且,证明: 存在，使
证明：所证等价于
在上满足拉格朗日中值定理条件，所以存在，使得，而，
所以存在，使
用拉格朗日中值定理证明等式与不等式
1）证明等式；（将所证明等式转化为，只需证明①，说明是常数；②确定在某一特殊点的值为，则）
2）证明不等式.（制造形式，其中满足拉氏定理条件，所以在内至少有一点，使得，再比较得到要证不等式）
例 求证:当时,
例 若函数在内满足，且，证明.
分析：所证等价于，即.令即可
注意：证明在区间上时，通常可以采用如下两种方法：
（ⅰ）证明在区间上；（ⅱ）如果，证明.
例 证明当时,．
分析：由于，所证等价于．
例 当时，证明：．
分析 由于，所证等价于.
令，则时，在区间上满足拉格朗日中值定理条件.
泰勒公式
1.泰勒中值定理　函数在含有的某个开区间内具有直到阶的导数，则对任意，有
，(其中称为余项).
注 ①，称为拉格朗日型余项，这里是与之间的某个值；
也常将拉格朗日型余项写为，
②，称为皮亚诺型余项.（常在利用泰勒公式计算极限时使用）
③当泰勒定理中时就得到了拉格朗日中值定理.
2.麦克劳林公式 在泰勒定理中令则得到麦克劳林公式：

或
3.常用的麦克劳林公式
.（其中或）

（其中或）

（其中或）

（其中或）

（其中或）
当很小时，在麦克劳林公式中，根据精确度要求，展开到适当的项，去掉余项，就可以得到一些常用函数的近似计算公式.
1.直接展开求函数按的幂展开的泰勒公式.
第一步：求（如果要写拉格朗日型余项还要求）；
第二步：求
第三步：写出按的方幂展开的泰勒公式
2.间接展开求函数按的幂展开的泰勒公式.
例 求按的方幂展开的带拉格朗日型余项的阶泰勒公式.
解
利用已知展式
3.利用泰勒公式求极限.
将极限式中的非多项式函数用泰勒公式展开，然后转化为关于的有理式的极限.
例 计算.
解

注意 ①上面求极限过程中的几个都是的高阶无穷小，但它们并不相同，不能互相抵消，通常利用无穷小的和与积都还是无穷小，将几个无穷小量合计为一个新的无穷小量.
②为计算简单，展开的项应尽可能少，通常分子只要保证非余项部分运算非零即可，如分母也须展开，展到与分子相同阶数的展式即可.
4.利用泰勒公式证明. 通常用于证明与高阶导数有关的命题.
例 设在处具有三阶导数，且，，，
证明
证明：由已知的麦克劳林公式为,
所以.
函数单调性与极值以及曲线凹凸性
1.函数单调性的判定法：设函数在上连续，在内可导．如果在内（或），函数在上单调增加（或减少）.
2.曲线的凹凸性：如果，的图形是凹的；
如果，的图形是凸的．
（1）曲线凹凸性的判定：设在上连续，在内二阶可导，则在内：（1）（切线斜率增加），则在上的图形是凹的；
（2）（切线斜率减小），则在上的图形是凸的.
（2）拐点的定义：设在区间上连续，是的内点．如果曲线在经过点时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点为这曲线的拐点．
例题
例1 设有二阶连续导数，，则（ ）
（A） 不是的极值点，也不是曲线的拐点；
（B） 是的极值点，也是曲线的拐点；
（C） 是曲线的拐点；（D）是的极小值点.
3.函数的极值与最大值最小值
（1）极值的必要条件
一元函数极值的必要条件：若在点处可导，且在点处取极值，则必有.
多元函数极值的必要条件：若在点存在偏导数且达到极值，则必有.
可能成为极值点必为如下两类：①导数或偏导数为零点（驻点）；②函数有定义，但导数或偏导数不存在的点．
（2）极值的充分条件:
一元函数极值的充分条件：
充分条件①：在点两侧的增减性改变，则是的极值.
若在点左减右增，则是极小值；若在点左增右减，则是极大值。
充分条件②：若在的邻域内二阶可导，且，
则：（1）时，是极小值；（2）时，是极大值
二元函数极值存在的充分条件：函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又，令，
则（1）当时有极值，且当时有极大值，当时有极小值；
（2）当时没有极值；
(3)当时可能有极值，也可能没有极值.
条件极值：函数在条件下的极值：
拉格朗日乘数法 作辅助函数
解联立方程组 由这方程组解出，及，则，就是函数在附加条件下的可能极值点的坐标.
注意：这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形. 例如，要求函数在附加条件， 下的极值，可以先构成辅助函数.
函数的最大值和最小值：
一元函数在区间 上的最大值和最小值只可能在在内的驻点处或者函数有定义但导数不存在的点或区间端点处取到。
二元函数在上最大值和最小值只可能在在内的驻点处或者函数有定义但偏导数不存在的点或区域的边界点处取到。
求最值的方法：（1）求出一元函数在区间 上的所有驻点处或者函数有定义但导数不存在的点或区间端点对应的函数值，比较它们的大小即可。
所有驻点处的函数值及在的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值. 在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数的最大值（最小值）一定在的内部取得，而函数在内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点的函数值就是函数在上的最大值（最小值）.
例1设是由确定的函数，求的极值.
解：由于，方程两端分别对求导，
得， 令，，得，
代入，
解得或
方程（1）两端分别对求导得
方程（2）两端分别对求导得
所以 ， ，
故 又，从而函数在点取极小值. 其极小值为3.同理，得在（-9,-3）点取极大值. 其极大值为-3.
例2求函数在区域上的最大值.

4.求方程（连续）根的个数的通常方法：
（1）找出函数单调区间；（2）求出每个单调区间的端点函数值
（3）对每个单调区间利用零点原理进行讨论：①端点函数值异号，该单调区间内有且仅有一个零点；②端点函数值同号，该单调区间内没有零点；③端点函数值为零，且函数在该单调区间内不恒为0，该端点就函数在该单调区间内的惟一零点.
例 讨论为何值时，方程在内，（1）有相异的两实根；（2）有唯一的实根；（3）无实根．
解 设，定义域为，由，得驻点.
函数单调性如下表：

减
极小值
增
所以在单调减，内单调增，且，
，，
（1）当时，即当时，在内有相异的两实根；
（2）当时，即当时，在内有唯一的实根；
（3）当时，即当时，在内无实根．
5.不等式的证明
（1）利用单调性证明当或时， 或
例1 设，证明：；
证明：令，

令，，所以时，单调减，且在上连续，所以，所以，而此时，所以，而在上连续，，所以时，，所以在时单调减少，且在上连续，，所以时，即.
注意：①如果无法判断的符号，可以用的符号来判断的单调性，进一步判断出的符号. 如果还不能确定的符号，还需要利用更高阶的导数来判断的符号，进一步判断的符号.
（如果，而的符号已经确定，只需要判断的符号）
②如果在某个区间内，且至多有限点使有有限个点等于零，则在该区间上单调增，上面的方法仍然可以使用.
③如果要与区间端点函数值比较，必须有在该端点处单侧连续的条件.或者单侧极限存在。
④如果区间换为无穷区间，或可认为区间端点的值为或.
⑤若已知与在时均大于零，也可以设，证明.
或利用单调增函数的复合函数仍单调增，将所证等价于或等.
⑥上面证明中的可能换为包含端点的区间，证明结论也可能为
例．设在上可导，且单调递减，
证明：对任意正数，都有
证明：不妨设，令
则，当时有，由于单调递减
所以，即，所以单调增，即时
所以时，，
即.
（2）利用函数极值与最值证明不等式
例 .设，证明：；
证明： 存在，所以可导，所以可导连续，又，
所以，
既有
令，， ，所以是的唯一极小值点，所以，，既有.
（3）利用函数凹凸性证明不等式
例 .证明：时，；
证明：令，，
时，，曲线在上是凸的，
而，所以时，，即.
洛必达法则
定理（洛必达法则） 设（１）（或）时，函数及都趋于零；
（２）在点的某去心领域内（或时，为某个大于零的常数），及都存在且；（３）（或）存在（或为无穷大），
那么（或）．
注意洛必达法则的条件：
①运用洛必达法则时要检验题目是否符合洛必达法则的条件， 必须是求或型的未定式时，才能使用洛必达法则.若仍满足洛必达法则条件，则可以继续使用洛必达法则，即：，但每一步都要验证是否符合法则条件，若不符合法则条件则不能再用洛必达法则．
②使用洛必达法则时，如果所求极限式的分母（或分子）是几个无穷小量的乘积式或复合等，尽可能用等价无穷小替换简化未定式，再使用洛必达法则.每次使用洛必达法则后尽量进行运算整理，简化未定式.
③使用洛必达法则时，分子、分母分别求导必须是同步进行的.
④如果，则数列极限.
⑤使用洛必达法则时，不存在时,却可能存在.
适当选择求极限的方法：
4.
解：

5. 在内可微，且,求
解

19 / 19