3章微分中值定理与导数应用习题解答.doc

(word完整版)3章微分中值定理与导数应用习题解答第3章 微分中值定理与导数应用习题解答 1.验证中值定理的正确性(1) 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性. 解 因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且， 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y(x)=cot x=0. 由y(x）=cot x=0得，因此确有, 使y(x)=cot x=0.(2) 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上的正确性. 解 因为y=4x3-5x2+x-2在区间0, 1上连续, 在（0, 1）内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x(0, 1）, 使. 由y(x）=12x2-10x+1=0得. 因此确有, 使. （3) 对函数f（x）=sin x及F(x）=x +cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f(x）=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F（x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得 . 令, 即. 化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得 . 2。 证明题:(1)证明恒等式: (-1x1). 证明 设f（x)= arcsin x+arccos x. 因为 , 所以f （x）C, 其中C是一常数. 因此, 即. （2)若方程a0xn+a1xn-1+ + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程 a0nxn-1+a1(n-1）xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.证明 设F（x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于F(x)在0, x0上连续, 在（0, x0)内可导, 且F（0)=F（x0）=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(0, x0）, 使F (x)=0, 即方程 a0nxn-1+a1（n-1)xn-2 + +an-1 =0 必有一个小于x0的正根.(3)若函数f(x)在（a, b）内具有二阶导数, 且f(x1）=f(x2）=f(x3）, 其中ax1x2x3b0, n1, 证明: nbn-1(a-b)an-bnnan-1(a-b) .证明 设f(x)=xn, 则f(x）在b, a上连续, 在(b, a）内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x（b, a ）, 使 f(a)-f(b）=f （x)(a-b）, 即an-bn=nx n-1（a-b). 因为 nbn-1（a-b)nx n-1（a-b) nan-1（a-b）,所以 nbn-1（a-b)an-bn0时, ;（2)当x4时， 2xx2;证明 (1）设, 则f (x）在0, +)内是连续的. 因为 ， 所以f (x）在(0， +)内是单调增加的, 从而当x0时f (x)f （0)=0, 即 , 也就是 。(2）设f(x）=x ln2-2ln x, 则f （x）在4, +）内连续， 因为 ， 所以当x4时, f （x)0, 即f(x)内单调增加。 因此当x4时, f(x）f（4)=0， 即x ln2-2ln x0，也就是2x x2。 8.求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间: （1） y=x3-5x2+3x+5 ;（2) y=xex ;(3） y=（x+1)4+ex 。解 （1）y=3x210x+3, y=6x-10。 令y=0, 得. 因为当时， y0, 所以曲线在内是是凸的, 在内是凹的， 拐点为。 (2)y=ex-x e-x， y=-ex-ex+x ex=ex（x-2）。 令y=0, 得x=2。 因为当x2时， y2时, y0， 所以曲线在（-， 2内是凸的, 在2, +）内是凹的， 拐点为（2, 2e-2）。（3）y=4(x+1）3+e x, y=12(x+1）2+e x 。 因为在(-, +)内, y0， 所以曲线y=（x+1）4+ex的在(, +）内是凹的， 无拐点。 9.求函数的极值: （1） y=2x36x2-18x+7； (2) y=xln(1+x)； (3) y=-x4+2x2 。 解 （1）函数的定义为(, +)， y=6x212x-18=6(x2-2x3)=6（x-3）（x+1)， 驻点为x1=-1， x2=3。 列表x（-， 1）-1(-1, 3)3（3, +）y+00+y 17极大值47极小值 可见函数在x=1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值47。 （2)函数的定义为（-1， +）, , 驻点为x=0。 因为当1x0时， y0时， y0, 所以函数在x=0处取得极小值， 极小值为y（0)=0. （3）函数的定义为(, +）, y=-4x3+4x=-4x(x21）, y=-12x2+4， 令y=0, 得x1=0, x2=1, x3=1。 因为y（0）=40, y(1）=80, y（1）=-81000时， , 。 令R=0得（1000, +)内唯一驻点x=1800。 因为, 所以1800为极大值点， 同时也是最大值点. 最大值为R=57800. 因此, 房租定为1800元可获最大收入。 7