微分中值定理与导数应用复习题.doc

微分中值定理与导数应用复习题
一、选择题
1．下列函数在区间内满足拉格朗日定理条件的是（ ）
（A） y=ln(lnx) （B） y=ln(2x) （C） y=lnx （D） y=

4.点(0 ,1)是的拐点,则( )
（A） （B）为任意值,
（C） 为任意值 （D） 为任意值,
5.极限 =( );
(A) 1 (B)0 (C) -1 (D) 不存在
6.函数（ ）
（A）在上单调减少 （B） 在上单调增加
（C） 在内单调减少 （D） 在内单调增加

8.是函数的( )
(A)驻点但非极值点 (B)拐点
(C)驻点且是拐点 (D)驻点且是极值点

10.当>0时，与1+x的大小关系是（ ）
(A) >1+ (B) <1+ (C) 1+ （D）1+
1.C 2.B 3.C 4.B 5.A 6.C 7.A 8.D 9.A 10.A
二填空题
.
2. 在
3.则方程有__________个实根，分别位于区间______________________________内.
4.
5.
6..

12. 曲线的渐近线的方程为_______________;
1. 2. 1 3. 3,[0,1],[1,2],[2,3] 4.
5. 0 6. 7.
8. 9. 向上凸 10. 11. 12.
三、计算题

6、

解：

x

－1
(－1, 1)
(1, 3)
3

y/
+
0
－
－
0
+
y
↑

↓
↓

↑

x

3
(3,4)
4

y’
－
0
+
不存在
+
y
↓

↑

↑

解：

12.求函数y=ln(x2+1)图形的拐点及凹或凸的区间:
解：, . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1.
列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 1)
1
(1, +¥)
y¢¢
-
0
+
0
-
y
向上凸
ln2
拐点
向下凸
ln2
拐点
向上凸
可见曲线在(-¥, -1)和[(, +¥)内是向凸上的, 在(-1, 1)内是向下凸的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).

解：

14. 问a、b为何值时, 点(1, 3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？
解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b . 因为函数y=ax3+bx2二阶可导，要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, .
四、应用题
解：

五、证明题
1. 证明方程x5+x-1=0只有一个正根.
证明 设f(x)=x5+x-1, 则f(x)是[0, 1]内的连续函数.
因为f(0)=-1, f(1)=1, f(0)f(1)<0, 所以方程x5+x-1=0在(0, 1)内至少有一个根, 即x5+x-1=0至少有一个正根.
假如方程至少有两个正根, 则f(x)在上满足罗尔定理的条件.由罗尔定理, 在 至少存在一个，使得f¢(x)=0 .
但f ¢(x)=5x4+1¹0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.

3、

4.

5.证明： (x>0, y>0, x¹y).
证明：设f(t)=t ln t , 则 f ¢(t)=ln t+1, .
因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以函数f(t)=t ln t 的图形在(0, +¥)内是向下凸的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y 有
,
即 .
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