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数学月刊二月号湖北卷二月统考·理科数学

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数学月刊二月号 湖北卷二月统考·理科数学

第Ⅰ卷(选择题 共50分）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1。若复数z满足（2+i)z=2，则z= ( )
A。i B.1—i C。i D.1+i
2.设映射f：x→—x+2x是实数集M到实数集N的映射，若对于实数p∈N,在M中不存在原象,则p的取值范围是 （ ）
A.(1，+∞） B.［1,+ C。（-∞,1) D。(-∞,1）
3。函数f （x)是以π为周期的奇函数，且f (—)=—1，那么f （）等于 ( ）
A。 B。- C。1 D。—1
4。一函数图象沿向量a=（，2）平移,得到函数y=2cos x+1的图象,则原函数在[0,π]上的最大值为 ( ）
A.3 B.1 C.0 D.2
5。与x-y=0无公共点，且以3x±2y=0为渐近线的双曲线的离心率为 （ ）
A. B。 C.或 D.以上都不正确
6。已知集合M={直线的倾斜角},集合N={两条异面直线所成的角｝，集合P={直线与平面所成的角｝，则下列结论中正确的个数为 ( ）
①（M∩N)∩P=(0， ②(M∩N)∪P=(0，π
③（M∩N）∪P=（0, ④(M∩N）∩P=（0，)
A.4个 B.3个 C.2个 D。1个
7。若（n∈N+)的展开式中含有常数项，则n必为 （ )
A.4的倍数 B。5的倍数 C。6的倍数 D。10的倍数
8。设a、b、c∈R,且a、b、c不全相等，则不等式a+b+c≥3abc成立的一个充要条件是 ( )
A。a、b、c全为正数 B。a、b、c全为非负实数
C。a+b+c≥0 D.a+b+c〉0
9.已知函数f （x）=x—3x,则函数f (x）在区间［-2,2］上的最大值是 ( )
A.0 B。1 C。2 D。3
10.已知△ABC中，AB=2,BC=1，∠ABC=120°,平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥P—ABC的体积是 ( )
A. B. C. D。

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。只填结果，不要过程）
11.已知函数y=f (x）的反函数为y=1+log（1—x) （a>0,且a≠1)，则函数y=f (x)的图象必过定点 .

12。设α、β表示平面，a、b表示不在α内也不在β内的两
条直线，给出下列四个论断：①a∥b;②α∥β；③a⊥β；④b⊥β，
若以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，可以构造一
些命题，写出你认为正确的一个命题 .
13。如右图，能表示平面中阴影区域的不等式组是 。
14。若方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆，且圆心到两坐标轴的距
离相等，设D、E、F∈｛-2,-1，0,1,2｝,且D、E、F两两互不相等，
则满足条件的圆有 个。
15。 已知x∈R，且f(x+1)= -f（x）,则f(x+2)=-f（x+1)=-［-f（x)］=f(x)，得f(x）的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期：
（1)已知a为正常数，x∈R，且f(x+a)=—f(x）,则f（x)的一个周期为 ；
（2)已知a为正常数，x∈R,且f（x+a）=,则f(x)的一个周期为 。

三、解答题（本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).
16。（本小题满分12分）
已知向量a=（1，1),b=(1，0）,c满足a·c=0且|a｜=|c|，b·c>0.
(1）求向量c;
（2)若映射f:（x，y)→(x1，y1）=xa+yc,求映射f下（1,2)的原象.

17.（本小题满分12分）
口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为ξ.
（1）ξ为何值时，其发生的概率最大？说明理由。
(2)求随机变量ξ的期望Eξ.

18.（本小题满分12分）
如图，已知直平行六面体ABCD—ABCD中，AD⊥BD，AD=BD=a，E是CC的中点，AD⊥BE.
（1）求证：AD⊥平面BDE;

(2)求二面角B-DE—C的大小；
（3)求点B到平面ADE的距离.

19.(本小题满分12分）
已知函数f (x)的定义域为R，对任意的x，x都满足f （x+x)=f (x）+f (x)，当x〉0时，f （x)〉0。
（1）试判断f (x)的奇偶性.
（2）试判断f (x)的单调性，并证明.
(3)若f (cos2θ—3）+f (4m—2mcosθ)〉0对所有的θ∈[0,］恒成立，求实数m的取值范围.

20.(本小题满分13分）
已知函数f （x)=2n在［0,+上最小值是a（n∈N*）。
（1)求数列｛a｝的通项公式；
（2）已知数列{b｝中,对任意n∈N＊都有ba =1成立,设S为数列｛b}的前n项和，证明:2S〈1;
(3）在点列A（2n,a）中是否存在两点A，A（i,j∈N＊)，使直线AA的斜率为1?若存在，求出所有的数对（i,j）；若不存在,请说明理由.

21.（本小题满分14分）
如图，已知三角形PAQ顶点P（-3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上,·=0， =2.
(1)当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E的方程；
（2）设直线l：y=k（x+1)与轨迹E交于B、C两点，点D（1,0），若∠BDC为钝角，求k的取值范围.

湖北卷二月统考·理科数学参考答案

一、选择题
1.C 设z=a+bi，a、b∈R，则（2+i）（a+bi)=2,即，求出a=，b=-.
2.A 由题意知要使p存在对应的原象，则方程-x2+2x=p有根,若不存在,方程x2—2x+p=0无实数根，即Δ=4—4p〈0,得p>1,故选A.
3.C f (）=f (）=-f （-）=1.
4。C 原函数为y=2cos（x+）-1,其在［0，π］上的最大值为0。
点评：运用平移公式求出原函数,注意三角函数在其定义域上的取值。
5。B 以3x±2y=0为渐近线的双曲线方程=λ(λ≠0）与x—y=0无公共点，则其顶点应在y轴上，从而λ<0,于是可解得离心率为。
6。D M=［0，π］，N=（0，），P=[0，],∴只有①正确。
7.B 展开式中Tk+1=Cxx=Cx有常数项，相当于存在k≤n，使，即2n=5k,故n为5的倍数.
8。C 将a+b+c—3abc分解因式有
a+b+c-3abc=（a+b+c)(a+b+c-ab-ac—bc)=（a+b+c)［（a-b)+(b—c)+(a—c)]，
而a、b、c不全相等（a—b)+(b-c)+(a-c）>0,
则a+b+c-3abc≥0a+b+c≥0。
9。C f ′(x）=3x-3,x∈［-2,—1］或x∈［1,2］时，f ′（x）≥0，f (x）递增；x∈（-1,1）时，f ′（x)<0，
f (x)递减。
极大值f （—1)=2,极小值f (1）=-2，又f (—2)=—2,f (2)=2，
∴f （x)在［—2，2］上的最大值为2.
点评:本题考查了运用导数求函数在闭区间上的最值.
10。D 由余弦定理AC=。
△ABC的外接圆半径R=.
设P在平面ABC上的射影为O,由PA=PB=PC可得OA=OB=OC,
即点O为△ABC的外心。
则三棱锥的高PO=.
VP-ABC=××2×1·sin120°×=。
二、填空题
11.(1,0) 由题可知反函数的图象过定点（0，1），则原函数的图象过定点（1，0）.
点评:掌握原函数与反函数的关系.
12.①②④③或①②③④ 线面关系判定.
点评：此题将线面、面面的平行关系和垂直关系融合到了一个题目当中来，通过自由组合的形式开放式地考查了考生对基础知识的掌握程度和创新能力。
13。 利用集合的思想及线性规划可得答案。
14.10 圆的标准方程为（x+)+(y+）=,
由题意知,
又∵D、E、F两两互不相等，故D+E=0，且D>2F，当D=±2时，F可取—1，0，1，
当D=±1时，F=0，-2,故共有2×3+2×2=10个圆。
15。2a;4a 此题第（1）问,较容易猜出T=2a。第(2）问可以先建立三角模型：cot(x+）=，把cotx看作f（x）的一个原型,题中a相当于，由于f（x）=cotx的周期为T=π=4·，故可猜出4a为f（x)的一个周期,从而可转化求证f（x+4a)=f(x),验证方法:可先从f（x+2a）入手证得f（x+2a)=—，所以f（x+4a）=f[(x+2a）+2a］=—=f（x）。

三、解答题
16.解:（1)设c=（m，n),由题意得m+n=0,且m+n=2且m·1+n·0〉0，
解之得m=1,n=-1,∴c=(1,—1)。
（2）由题意得x(1，1）+y(1，-1)=(1,2）,∴x+y=1且x—y=2，
解之得x=,y=-,∴(1,2）的原象是（，—）。
17。解：(1）依题意，随机变量ξ的取值是2,3,4,5，6.因为P（ξ=2）=;
P(ξ=3）=；P（ξ=4)=；
P（ξ=5）=；P（ξ=6)=.
所以当ξ=4时，其发生的概率最大，为P（ξ=4)=。
（2)Eξ=2×+3×+4×+5×+6×=。
点评：本题主要考查某事件发生概率的求法,以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法，问题(1)，对ξ的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方,利用计数原理和排列、组合数公式,求事件发生的概率,问题（2）比较容易，用离散型随机变量分布列的数学期望公式即可。
18。解：(1)∵直平行六面体ABCD—ABCD中，AA⊥面ABCD，
又∵AD⊥BD，∴AD⊥BD,又AD⊥BE,∴AD⊥平面BDE。
（2）连BC，∵AB平行且等于CD，∴BC平行且等于AD.
∵AD⊥BE，∴BC⊥BE，∴∠BBC=∠CBE，
∴Rt△BBC∽Rt△CBE，∴。
∵CE=BB，BC=AD=a,
∴BB=BC=a,∴BB=a,
取CD中点M，连BM，∵CD=a,∴BM=a。
过M作MN⊥DE于N,连BN.
∵平面CD⊥平面BD,BM⊥CD，∴BM⊥平面CD，∴BN⊥DE,
∴∠BNM就是二面角B—DE—C的平面角，
∵sin∠MDN=,DE=,
∴MN=。
在Rt△BMN中，tan∠BNM=。
即二面角B—DE—C等于arctan。
（3）∵AD⊥平面BDE，BN平面BDE，∴AD⊥BN,又∵BN⊥DE，
∴BN⊥平面ADE，即BN的长就是点B到平面ADE的距离。
∵BM=a,MN=，∴BN==，
即点B到平面ADE的距离为。
19.解：(1）令x=x=0，则f (0)=2f （0)f (0）=0,
令x=x，x=-x，则有f (0)=f (x）+f (—x)，
∴f （-x）=-f (x)，∴f (x)为奇函数。
(2)对任意的x，x∈R，设x〈x，则x-x〉0,f (x—x）>0，
则f （x)—f （x)=f （x)+f (—x）=f （x—x)=-f (x-x)〈0，
故f (x)为R上的增函数。
（3)∵f （cos2θ—3)+f (4m-2mcosθ)>0，θ∈［０,］，
∴f (cos2θ—3）>-f (4m—2mcosθ）=f (2mcosθ—4m).
由(2）知f （x）是R上的增函数,
∴cos2θ-3〉m（2cosθ—4）,当θ∈［0,］时恒成立.
又由2cosθ—4〈0，∴m〉,
而—（2-cosθ+—4)≤4—2，当且仅当2—cosθ=即cosθ=2—时取“=”，
∴m>4-2。
20。解：（1）由f (x）=2n得f ′(x)=,f (0）=2n。
令f ′（x）=0得x=，
当x∈(0,)时，f ′（x)<0,
当x∈(,+∞)时,f ′(x)〉0，
∴f （x）在（0，+∞）上，f ()=，
当x=时取得最小值.∴a=。
(2）证明：∵ba=1，∴b=.
∵=，
∴S=.
∴2S<1。
（3)不存在,假设存在两点Ai,Aj满足题意，即k=1，
令x=2n，y=a，则y= (x≥2）
点（x,y）在曲线x-y=1(x≥2,y≥1)上,而双曲线的一条渐近线方程为y=x,其斜率为1，A,A在双曲线上，故k<1矛盾.
另解:不存在,设A (2i，a）,A（2j，a）,（其中i，j∈N*）,
则k=
==1,故不存在.
21。解：（1）设=（x,y)，=(0,a),=(b,0）(b〉0)
则=（3，a),=(b,—a），又·=0，
∴a=3b ①
又∵=(x-b，y)，=（b，-a），=2，
∴ ②
由①②得y=4x （x≠0)
（2)设=（x，y），=(x，y)，=(x—1,y）
=（x-1，y）， ·=｜｜·｜|cos∠BDC,
∵∠BDC为钝角，∴cos∠BDC=<0,
∴·<0，
∴xx—（x+x)+1+yy〈0 ③
由 消去y得:kx+(2k-4）x+k=0 (k≠0）,则
x+x=，xx=1 ④
yy=k(x+1）(x+1）=k2［xx+(x+x)+1] ⑤
④⑤代入③,得k<-<k<.(k≠0）,满足Δ>0.
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