数学月刊二月号湖北卷二月统考·理科数学.doc

数学月刊二月号湖北卷二月统考理科数学 作者： 日期：2 个人收集整理 勿做商业用途数学月刊二月号 湖北卷二月统考理科数学第卷(选择题 共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。若复数z满足（2+i)z=2，则z= ( )A。i B.1i C。i D.1+i2.设映射f：xx+2x是实数集M到实数集N的映射，若对于实数pN,在M中不存在原象,则p的取值范围是 （ ）A.(1，+） B.1,+ C。（-,1) D。(-,1）3。函数f （x)是以为周期的奇函数，且f ()=1，那么f （）等于 ( ）A。 B。- C。1 D。14。一函数图象沿向量a=（，2）平移,得到函数y=2cos x+1的图象,则原函数在0,上的最大值为 ( ）A.3 B.1 C.0 D.25。与x-y=0无公共点，且以3x2y=0为渐近线的双曲线的离心率为 （ ）A. B。 C.或 D.以上都不正确6。已知集合M=直线的倾斜角,集合N=两条异面直线所成的角，集合P=直线与平面所成的角，则下列结论中正确的个数为 ( ）（MN)P=(0， (MN)P=(0，（MN）P=（0, (MN）P=（0，)A.4个 B.3个 C.2个 D。1个7。若（nN+)的展开式中含有常数项，则n必为 （ )A.4的倍数 B。5的倍数 C。6的倍数 D。10的倍数8。设a、b、cR,且a、b、c不全相等，则不等式a+b+c3abc成立的一个充要条件是 ( )A。a、b、c全为正数 B。a、b、c全为非负实数C。a+b+c0 D.a+b+c09.已知函数f （x）=x3x,则函数f (x）在区间-2,2上的最大值是 ( )A.0 B。1 C。2 D。310.已知ABC中，AB=2,BC=1，ABC=120,平面ABC外一点P满足PA=PB=PC=2，则三棱锥PABC的体积是 ( )A. B. C. D。第卷（非选择题 共100分）二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。只填结果，不要过程）11.已知函数y=f (x）的反函数为y=1+log（1x) （a0,且a1)，则函数y=f (x)的图象必过定点 .12。设、表示平面，a、b表示不在内也不在内的两条直线，给出下列四个论断：ab;；a；b，若以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，可以构造一些命题，写出你认为正确的一个命题 .13。如右图，能表示平面中阴影区域的不等式组是 。14。若方程x+y+Dx+Ey+F=0表示圆，且圆心到两坐标轴的距离相等，设D、E、F-2,-1，0,1,2,且D、E、F两两互不相等，则满足条件的圆有 个。 15。 已知xR，且f(x+1)= -f（x）,则f(x+2)=-f（x+1)=-f（x)=f(x)，得f(x）的一个周期为2，类比上述结论，请写出下列两个函数的一个周期：（1)已知a为正常数，xR，且f(x+a)=f(x）,则f（x)的一个周期为 ；（2)已知a为正常数，xR,且f（x+a）=,则f(x)的一个周期为 。 三、解答题（本大题共6小题,共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).16。（本小题满分12分）已知向量a=（1，1),b=(1，0）,c满足ac=0且|a=|c|，bc0.(1）求向量c;（2)若映射f:（x，y)(x1，y1）=xa+yc,求映射f下（1,2)的原象.17.（本小题满分12分）口袋里装有大小相同的卡片八张,其中三张标有数字1,三张标有数字2，二张标有数字3，第一次从口袋里任意抽取一张，放回口袋后第二次再任意抽取一张，记第一次与第二次取到卡片上数字之和为.（1）为何值时，其发生的概率最大？说明理由。(2)求随机变量的期望E.18.（本小题满分12分）如图，已知直平行六面体ABCDABCD中，ADBD，AD=BD=a，E是CC的中点，ADBE.（1）求证：AD平面BDE;(2)求二面角B-DEC的大小；（3)求点B到平面ADE的距离.19.(本小题满分12分）已知函数f (x)的定义域为R，对任意的x，x都满足f （x+x)=f (x）+f (x)，当x0时，f （x)0。（1）试判断f (x)的奇偶性.（2）试判断f (x)的单调性，并证明.(3)若f (cos23）+f (4m2mcos)0对所有的0,恒成立，求实数m的取值范围.20.(本小题满分13分）已知函数f （x)=2n在0,+上最小值是a（nN*）。（1)求数列a的通项公式；（2）已知数列b中,对任意nN都有ba =1成立,设S为数列b的前n项和，证明:2S1;(3）在点列A（2n,a）中是否存在两点A，A（i,jN)，使直线AA的斜率为1?若存在，求出所有的数对（i,j）；若不存在,请说明理由.21.（本小题满分14分）如图，已知三角形PAQ顶点P（-3,0)，点A在y轴上，点Q在x轴正半轴上,=0， =2.(1)当点A在y轴上移动时，求动点M的轨迹E的方程；（2）设直线l：y=k（x+1)与轨迹E交于B、C两点，点D（1,0），若BDC为钝角，求k的取值范围.湖北卷二月统考理科数学参考答案一、选择题1.C 设z=a+bi，a、bR，则（2+i）（a+bi)=2,即，求出a=，b=-.2.A 由题意知要使p存在对应的原象，则方程-x2+2x=p有根,若不存在,方程x22x+p=0无实数根，即=44p0,得p1,故选A. 3.C f (）=f (）=-f （-）=1.4。C 原函数为y=2cos（x+）-1,其在0，上的最大值为0。点评：运用平移公式求出原函数,注意三角函数在其定义域上的取值。5。B 以3x2y=0为渐近线的双曲线方程=(0）与xy=0无公共点，则其顶点应在y轴上，从而0,则a+b+c-3abc0a+b+c0。9。C f (x）=3x-3,x-2,1或x1,2时，f （x）0，f (x）递增；x（-1,1）时，f （x)2F，当D=2时，F可取1，0，1，当D=1时，F=0，-2,故共有23+22=10个圆。15。2a;4a 此题第（1）问,较容易猜出T=2a。第(2）问可以先建立三角模型：cot(x+）=，把cotx看作f（x）的一个原型,题中a相当于，由于f（x）=cotx的周期为T=4，故可猜出4a为f（x)的一个周期,从而可转化求证f（x+4a)=f(x),验证方法:可先从f（x+2a）入手证得f（x+2a)=，所以f（x+4a）=f(x+2a）+2a=f（x）。三、解答题16.解:（1)设c=（m，n),由题意得m+n=0,且m+n=2且m1+n00，解之得m=1,n=-1,c=(1,1)。（2）由题意得x(1，1）+y(1，-1)=(1,2）,x+y=1且xy=2，解之得x=,y=-,(1,2）的原象是（，）。17。解：(1）依题意，随机变量的取值是2,3,4,5，6.因为P（=2）=;P(=3）=；P（=4)=；P（=5）=；P（=6)=.所以当=4时，其发生的概率最大，为P（=4)=。（2)E=2+3+4+5+6=。点评：本题主要考查某事件发生概率的求法,以及离散型随机变量分布列的数学期望的求法，问题(1)，对的取值做到不重不漏，这是学生容易出错的地方,利用计数原理和排列、组合数公式,求事件发生的概率,问题（2）比较容易，用离散型随机变量分布列的数学期望公式即可。18。解：(1)直平行六面体ABCDABCD中，AA面ABCD，又ADBD，ADBD,又ADBE,AD平面BDE。（2）连BC，AB平行且等于CD，BC平行且等于AD.ADBE，BCBE，BBC=CBE，RtBBCRtCBE，。CE=BB，BC=AD=a,BB=BC=a,BB=a,取CD中点M，连BM，CD=a,BM=a。过M作MNDE于N,连BN.平面CD平面BD,BMCD，BM平面CD，BNDE,BNM就是二面角BDEC的平面角，sinMDN=,DE=,MN=。在RtBMN中，tanBNM=。即二面角BDEC等于arctan。（3）AD平面BDE，BN平面BDE，ADBN,又BNDE，BN平面ADE，即BN的长就是点B到平面ADE的距离。BM=a,MN=，BN=，即点B到平面ADE的距离为。19.解：(1）令x=x=0，则f (0)=2f （0)f (0）=0,令x=x，x=-x，则有f (0)=f (x）+f (x)，f （-x）=-f (x)，f (x)为奇函数。(2)对任意的x，xR，设xx，则x-x0,f (xx）0，则f （x)f （x)=f （x)+f (x）=f （xx)=-f (x-x)0，故f (x)为R上的增函数。（3)f （cos23)+f (4m-2mcos)0，,，f (cos23）-f (4m2mcos）=f (2mcos4m).由(2）知f （x）是R上的增函数,cos2-3m（2cos4）,当0,时恒成立.又由2cos40，m,而（2-cos+4)42，当且仅当2cos=即cos=2时取“=”，m4-2。20。解：（1）由f (x）=2n得f (x)=,f (0）=2n。令f （x）=0得x=，当x(0,)时，f （x)0,当x(,+)时,f (x)0，f （x）在（0，+）上，f ()=，当x=时取得最小值.a=。(2）证明：ba=1，b=.=，S=.2S1。（3)不存在,假设存在两点Ai,Aj满足题意，即k=1， 令x=2n，y=a，则y= (x2）点（x,y）在曲线x-y=1(x2,y1)上,而双曲线的一条渐近线方程为y=x,其斜率为1，A,A在双曲线上，故k1矛盾.另解:不存在,设A (2i，a）,A（2j，a）,（其中i，jN*）,则k=1,故不存在.21。解：（1）设=（x,y)，=(0,a),=(b,0）(b0)则=（3，a),=(b,a），又=0，a=3b 又=(x-b，y)，=（b，-a），=2， 由得y=4x （x0)（2)设=（x，y），=(x，y)，=(x1,y）=（x-1，y）， =|cosBDC,BDC为钝角，cosBDC=0,0，xx（x+x)+1+yy0 由 消去y得:kx+(2k-4）x+k=0 (k0）,则x+x=，xx=1 yy=k(x+1）(x+1）=k2xx+(x+x)+1 代入,得k-k0.14