(2)(教师版)考点专题二--平面向量和复数.doc

考点专题二 平面向量与复数（2）
【考情分析】
从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.8%，难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查1—2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考内容.
此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识.复数在高考试卷中的考查形式比较单一.
【知识梳理】
[重难点]
1.复数的相等：两个复数，当且仅当且时，特别地，当且仅当时，
2. 复数的模：复数的模记作或，有
3. 共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数的共轭复数记作、互为共轭复数.
如果，则有的充要条件是是纯虚数的充要条件是且
4.复平面
在平面直角坐标系中，可以用点表示复数，建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称、轴分别为实轴和虚轴，并且复数集和复平面内所有的点构成的集合建立一一对应关系.
5.实系数一元二次方程
实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式时，实系数一元二次方程且在复数集中有一对互相共轭的虚数根
[易错点]
1.在进行复数计算时，要灵活利用和的性质，会适当变形，创造条件，从而转化为关于和的计算问题，并注意以下结论的灵活运用：
①；②；③；
④，
2.在进行复数的运算时，不能把实数集的某些法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当时不总是成立的：①为分数）；②；③，④
【基础练习】
1. 若复数是纯虚数（是虚数单位，为实数），则
2.设为虚数单位），则复数的模为________.【答案】5（2013江苏）
3. 已知复数的共轭复数（i为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】的共轭复数，则，对应点的坐标为，故答案为D．（2013福建理）
4. 已知集合为虚数单位，，，则复数（ ）

解析：因为，，由，得，所以，所以
.答案：
【命题立意】知识：集合的运算和复数的运算.试题难度：较小.（2013江西理）
5. 若向量，满足，则与所成角的大小为________．
【答案】90°（2001上春）
6. 已知，且为虚数单位，则的最小值是( )
（A）. （B）. （C）. （D）.（2009上春）
7. “”是“实系数一元二次方程有虚根”的（ ）
（A）必要不充分条件． （B）充分不必要条件．
（C）充要条件． （D）既不充分也不必要条件．
解：由实系数一元二次方程有虚根,可得,
即可得,∵, ∴“”是“实系数一元二次方程有虚根”的必要不充分条件, 故应选A．（2009上文）
8. 设、是复数，则下列命题中的假命题是（ ）【答案】D（2013陕西理）
若，则 若，则
若，则 若，则
【解析】设若，则，，所以，故A项正确；若，则，所以，故B项正确；若，则，所以，故C项正确；
当时，可取，显然，即，假命题.
【例题精讲】
例1. 已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.（2011上）
解：
设，则，
∵ ，∴
例2. 已知是复数，均为实数（为虚数单位），且复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围.（2005上春）
设，，由题意得 .

由题意得 . ∴ .∵ ，
根据条件，可知，解得 ，∴ 实数的取值范围是.
例3. 已知复数（、）(是虚数单位)是方程的根 ． 复数（）满足，求的取值范围 ．（2009上文）
解：原方程的根为

．
例4. 对于复数，若集合具有性质“对任意，，必有”，则当时，等于（ ）（2010福建理）
A.1 B.-1 C.0 D.i
解法1：由，得或.又由集合中元素的互异性知由，即，得或.（1）当时，，因为集合具有性质“对任意、，必有”，所以，故，.（2）当时，，因为集合具有性质“对任意、，必有”，所以，故，.
解法2：，或或或，又因为集合中的元素具有互异性，且对任意，，必有，所以或，所以．
点评：（1）本题涉及复数与集合等知识点，考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力，属于创新题型．
（2）解法1步步为营，借助“分类讨论”求出不同情况下的 的不同取值，进而求出；解法2直接解方程，然后验证条件，排除不满足的条件；显然解法1优于解法2
（3）主要考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力、创新意识；考查函数与方程思想、分类与整合思想、化归与转化思想．
（4）与前三年的复数、集合题型有很大的不同，往年较少出现复数与集合的交汇题型，在题目的设计上更显新意，虽然题型新颖，但是万变不离其宗，所以在复习中一定要掌握好基本知识．
（5）随着高中新课程标准、新教材的使用，高考对考生创新意识和创新能力的要求逐步提高．“出活题，考能力”就是要求学生能综合灵活运用所学数学知识，思想方法，对新概念、新知识、新信息、新情景、新问题进行分析，探索、创造性地解决问题．所以“新定义问题”将是高考创新题中一种命题趋势．
【能力强化】
1. 在复平面内，复数对应的点位于( )（2013北京理）【答案】
A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
2. 若复数满足，则的虚部为（ ）（2013全国新课标I理）
. . . .
【命题意图】本题主要考查复数的概念、运算及复数模的计算，是容易题.
【解析】由题知===，故z的虚部为，故选D.
3. ，若对应点在第二象限，则的取值范围为__________.
4. 在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别为、、0，则第四个顶点对应的复数为___________.
5. 已知为复数，则的一个充要条件是满足 .（2003上春）
【答案】
6. 设集合，,则为_______.【答案】（2011陕西理）
7. （2013福建理第5题）满足，且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．10【答案】B
【解析】方程有实数解，分析讨论
①当时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时可以取4个值．故有4种有序数对
②当时，需要，即．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．满足题意的的取值为，
（2,0），共9个.
8. 在复数范围内解方程(i为虚数单位)（2005上）
解：原方程化简为,
设z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1-i,
∴x2+y2=1且2x=-1,解得x=-且y=±,
∴原方程的解是z=-±i.
9. 已知实数满足不等式，试判断方程
有无实根，并给出证明.（2004上春）
解：由，解得，. 方程的判别式.
，，，由此得方程无实根.
10.已知关于的实系数一元二次方程有两个虚根、，且为虚数单位），，求实数的值.
【命题意图】考查复数相等、复数的代数运算，复数的模及一元二次方程根与系数的关系.
解：由题设，得，所以，代入方程，求出两虚根为，于是，由
，得或.

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