应用问题与元次方程.doc

应用问题与一元二次方程
一、目标与策略

明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
学习目标：
l 经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性，并总结运用方程解决实际问题的一般步骤.
l 通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.
重点难点：
l 重点：掌握运用方程解决实际问题的方法.
l 难点：建立方程模型.
学习策略：
l 由于实际问题涉及的内容广泛，有的背景我们不太熟悉，有的问题数量关系繁多、复杂，因此，在学习过程中，要整体地、系统地审清问题，分析问题中各类数量间的关系，并用代数式表示这些关系，从而找出解决问题的方法.
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”.科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性.我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记.

知识回顾——复习
学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？

（一）一元二次方程的概念：
通过化简后，只含有 个未知数（一元），并且未知数的最高次数是 的 方程，叫做一元二次方程．
（二）一元二次方程的一般形式：
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项．
（三）一元二次方程的解法
（1） ；（2） ；（3） ；（4） .
知识要点——预习和课堂学习
认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习.若有其它补充可填在右栏空白处.
详细内容请参看网校资源ID：#tbjx5#210818

知识点一：列一元二次方程解应用题的一般步骤
（一）列方程解实际问题的三个重要环节：
一是整体地、系统地 题；
二是把握问题中的 关系；
三是正确 方程并 解的合理性.
（二）利用方程解决实际问题的关键是寻找 关系.
（三）解决应用题的一般步骤：
：（审题目，分清已知量、未知量、等量关系等）；
：（设未知数，有时会用未知数表示相关的量）；
：（根据题目中的等量关系，或将一个量表示两遍，由此得到方程）；
：（解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰）；
：（切忌答非所问）.
知识点二：数字问题
（一）任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数.
如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： .
（二）几个连续整数中，相邻两个整数相差 .
如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为 ， .
几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差 .
如：三个连续偶数（奇数），设中间一个数为x，则另两个数分别为 ，
.
知识点三：平均变化率问题
列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.
（1）增长率问题：
平均增长率公式为 （a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）
（2）降低率问题：
平均降低率公式为 （a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）
知识点四：利息问题
（一）概念：
本金：顾客存入银行的钱叫本金.
利息：银行付给顾客的酬金叫利息.
本息和：本金和利息的和叫本息和.
期数：存入银行的时间叫期数.
利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.
（二）公式：
利息= × ×
利息税= × （税率是20%）
×（1+利率×期数）=本息和
×[1+利率×期数×（ ）]=本息和（收利息税时）
知识点五：利润(销售)问题
利润（销售）问题中常用的等量关系：
利润= -
总利润=每件的利润×总件数

知识点六：形积问题
此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.
经典例题-自主学习
认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三.若有其它补充可填在右栏空白处.
更多精彩请参看网校资源ID：#jdlt0#210818

类型一：数字问题
例1．两个连续奇数的积是323，求这两个数．
思路点拨：两个连续奇数相差2.
解：
举一反三：
【变式1】两个连续整数的积是210，求这两个数．
思路点拨：两个连续整数相差1.
解：
【变式2】已知两个数的和是12，积为35，求这两个数．
解：

例2．有一个两位数等于其数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这两位数．
思路点拨：数与数字的关系是：两位数=十位数字×10+个位数字．
解：
举一反三：
【变式1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，求原来的两位数．
解：
类型二：平均变化率问题
例3．某工厂第一季度的一月份生产电视机是1万台，第一季度生产电视机的总台数是3.31万台，求二月份、三月份生产电视机平均增长的百分率是多少？
思路点拨：直接假设二月份、三月份生产电视机平均增长率为x．因为一月份是1万台，那么二月份应是(1+x)万台，三月份应是在二月份的基础上以二月份比一月份增长的同样“倍数”增长，即(1+x)+(1+x)x=(1+x)2万台，那么就很容易从第一季度总台数列出等式．
解：

举一反三：
【变式1】某电脑公司2001年的各项经营中，一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，求这个增长率．
思路点拨：设这个增长率为x，由一月份的营业额就可列出用x表示的二、三月份的营业额，又由三个月的总营业额列出等量关系．
解：
例4．我国人均用纸为28公斤，每个初中毕业生离校时大约有10公斤废纸；用1吨废纸造出来的再生好纸，所能节约的造纸木材相当于18棵大树，而平均每亩森林只有50至80棵这样的大树．
（1）若我市2005年初中毕业生中环保意识较强的5万人，能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸，那么最少可使多少亩森林免遭砍伐？
（2）宜昌市从2001年初开始实施天然林保护工程，到2003年初成效显著，森林面积大约由1 374.094万亩增加到1 500.545万亩．假设该地区年用纸量的15%可以作为废纸回收利用，并且森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口为415万人计算：在从2005年初到2006年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因废纸回收利用所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩（精确到1亩）？
解：

总结升华：
类型三：利息问题
例5．某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．
思路点拨：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000+2000x·80%；第二次存，本金就变为1000+2000x·80%，其它依此类推．
解：
类型四：利润（销售）问题
例6．某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元?
思路点拨：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x元，则每件平均
利润应是(0.3-x)元，总件数应是(500+×100)
解：

举一反三：
【变式1】某超市将进货单价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，其销售量就减少10件，假设超市为使这种商品每天赚得8000元的利润，商品的售价应定为每件多少元?
思路点拨：本题中的不变量是每天赚得8000元的利润．相等关系是：每件商品的利润×销售数量=8000元．
解：
【变式2】某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元．若每降价1元，每天可多销售5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？
思路点拨：设每件应降价x元，则根据题意，可得如下表格：

解：
【变式3】某种新产品进价是120元，在试销阶段发现每件售价（元）与产品的日销量（件）始终存在下表中的数量关系：

（1）请你根据上表所给数据表述出每件售价提高的数量（元）与日销量减少的数量（件）之间的关系．
（2）在不改变上述关系的情况下，请你帮助商场经理策划每件商品定价为多少元时，每日盈利可达到1600元？
解：
总结升华：
类型五：形积问题
例7．张大叔从市场上买回一块矩形铁皮，他将此矩形铁皮的四个角各剪去一个边长为1米的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为15米3的无盖长方体运输箱，且此长方体运输箱底面的长比宽多2米．现已知购买这种铁皮每平方米需20元钱，问张大叔购回这张矩形铁皮共花了多少元钱？
解：
总结升华：
举一反三：
【变式1】一间会议室，它的地板长为20m，宽为15m，现在准备在会议室地板的中间铺一块地毯，要求四周没铺地毯的部分宽度相同，而且地毯的面积是会议室地板面积的一半，那么没铺地毯的部分宽度应该是多少？
思路点拨：本题的关键句是“地毯的面积是会议室地板面积的一半”，据此可得等量关系：地毯面积=会议室面积的一半．
解：
【变式2】某林场计划修一条长750m，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2，上口宽比渠深多2m，渠底比渠深多0.4m．
（1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？
（2）如果计划每天挖土48m3，需要多少天才能把这条渠道挖完？
思路点拨：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为xm，则上口宽为x+2，渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模．
解：
类型六：一元二次方程应用新题型
条件探求型
例8．要建一个面积为150m2的长方形养鸡场，为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一面墙，墙长为am，另三边用竹篱笆围成，如果篱笆的长为35m．
（1）求鸡场的长与宽各是多少？
（2）题中，墙的长度a对题目的解起着怎样的作用？
思路点拨：第（2）小题着眼于作为条件出现的常数a，探索这一条件对题目的解有何影响，需根据第（1）小题的结果进行研究．
解：

方案设计型
☆例9．某中学有一块长为am，宽为bm的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪．
（1）如图1，请分别写出每条道路的面积（用含a或含b的代数式表示）；

（2）已知a∶b=2∶1，并且四块草坪的面积之和为312m2，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？
（3）在（2）的条件下，为进一步美化校园，根据实际情况，学校决定对整个矩形场地作如下设计（要求同时符合下述两个条件）：
条件①：在每块草坪上各修建一个面积尽可能大的菱形花圃（花圃各边必须分别与所在草坪的对角线平行），并且其中有两个花圃的面积之差为13m2；
条件②：整个矩形场地（包括道路、草坪、花圃）为轴对称图形．
请你画出符合上述设计方案的一种草图（不必说明画法与根据），并求出每个菱形花圃的面积．
解：

三、总结与测评
要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力.

总结规律和方法——强化所学
请重点学习网校资源ID：#tbjx16#210818.

（一）利用一元二次方程解决实际问题，需注意把实际问题转化为数学问题，其关键是要找出等量关系.
（二）列一元二次方程解实际应用题的一般步骤和列一元一次方程与二元一次方程组解实际应用题的基本步骤相似.
（三）在总结答案之前对一元二次方程解的合理性进行检验.
成果测评
现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试.

知识点：一元二次方程的应用
测评系统分数： 模拟考试系统分数：
如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#210818做基础达标部分的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目的测试.

自我反馈
学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理.如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流.

我的收获

习题整理

题目或题目出处
所属类型或知识点
分析及注意问题
好题

错题

注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录.

知识导学：应用问题与一元二次方程（ID:#210818）
视听课堂：一元二次方程1（ID:#140686）、一元二次方程2（ID:#140687）
若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步”看看吧！和四中的学生同步学习，同步提高！
更多资源，请使用网校的学习引领或搜索功能来查看使用.
对本知识的学案导学的使用率：
□ 好（基本按照学案导学的资源、例题进行复习、预习和进行课堂笔记等，使用率达到80%以上）
□ 中（使用本学案导学提供的资源、例题和笔记，使用率在50%-80%左右）
□ 弱（仅作一般参考，使用率在50%以下）
学生： 家长： 指导教师：

请联系北京四中网校当地分校以获得更多知识点学案导学.
8 / 8