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(完整word)解直角三角形超经典例题讲解

课 题
解直角三角形
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教学目标

1. 了解勾股定理
2. 了解三角函数的概念
3. 学会解直角三角形

重点、难点

三角函数的应用及解直角三角形

考点及考试要求

各考点
教学方法：讲授法
教学内容
（一）知识点（概念）梳理
考点一、直角三角形的性质
1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下: BC=AB
∠C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下: CD=AB=BD=AD
D为AB的中点
4、勾股定理
直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即
5、摄影定理
在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°

CD⊥AB
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
ABCD=ACBC
7.图中角可以看作是点A的 角
也可看作是点B的 角；

9、（1)坡度（或坡比）是坡面的 铅直 高度（h)和水平长度（l）的比。
记作i,即i = ；
（2)坡角——坡面与水平面的夹角。记作α,有i＝=tanα
（3)坡度与坡角的关系：坡度越大，坡角α就越 大 ，坡面就越 陡

考点二、直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形.
考点三、锐角三角函数的概念
1、如图,在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记为sinA，即
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦,记为cosA，即
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记为tanA，即
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA,即
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0

1
cosα
1

0
tanα
0

1

不存在
cotα
不存在

1

0
4、各锐角三角函数之间的关系
(1）互余关系
sinA=cos（90°-A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot（90°—A)，cotA=tan（90°—A）
（2）平方关系

(3）倒数关系
tanAtan（90°-A)=1
（4）弦切关系
tanA=
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°～90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大(或减小）而增大（或减小）
(2）余弦值随着角度的增大（或减小)而减小（或增大）
（3)正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4)余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）

考点四、解直角三角形
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B,∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系:（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
(3）边角之间的关系：

（二）例题讲解
（1)、三角函数的定义及性质
1、在△中,，则cos的值为
2、在Rt⊿ABC中，∠C＝90°，BC＝10,AC＝4，则；
3、Rt△中,若,则tan
4、在△ABC中，∠C＝90°，，则
5、已知Rt△中，若cos,则
6、Rt△中，,那么
7、已知，且为锐角，则的取值范围是 ;
8、已知：∠是锐角，，则的度数是
9、当角度在到之间变化时，函数值随着角度的增大反而减小的三角函是 （ ）
A．正弦和正切 B．余弦和余切 C．正弦和余切 D．余弦和正切
10、当锐角A的时,∠A的值为（ )
A 小于 B 小于 C 大于 D 大于
11、在⊿ABC中，若各边的长度同时都扩大2倍,则锐角A的正弦址与余弦值的情况( ）
A 都扩大2倍 B 都缩小2倍 C 都不变 D 不确定
12、已知为锐角，若，＝ ；若，则；
13、在△中，sin, 则cos等于( ）
A、 B、 C、 D、
(2)、特殊角的三角函数值
1、在Rt△ABC中，已知∠C＝900,∠A=450则=
2、已知：是锐角，,tan=______；
3、已知∠A是锐角，且；
4、在平面直角坐标系内P点的坐标（，)，则P点关于轴对称点P／的坐标为 （ )
A． B． C． D．
5、下列不等式成立的是( ）
A．　　 B．
C．　　 D．
6、若,则锐角的度数为（ ）
A．200 B．300 C．400 D．500
7、计算
（1）;
（2)

(3) (4）

(3）、解直角三角形
1、在△中，如果，求的四个三角函数值.
解：（1）∵ a 2+b 2＝c 2
∴ c =
∴sinA = cosA =
∴tanA = cotA =
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°,由下列条件解直角三角形：
（1）已知a＝4，b＝2,则c= ；
（2）已知a＝10，c＝10，则∠B= ;
（3）已知c＝20,∠A＝60°，则a= ;
（4)已知b＝35，∠A＝45°，则a= ；
3、若∠A = ,，则；
4、在下列图中填写各直角三角形中字母的值．

7、设Rt△ABC中，∠C＝90゜，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，根据下列所给条件求∠B的四个三角函数值。
（1）a =3，b =4； 　（2）a =6,c =10。

8、在Rt△ABC中，∠C＝90゜，BC：AC＝3：4，求∠A的四个三角函数值。

9、△中，已知，求的长

（4）、实例分析
1、斜坡的坡度是，则坡角
2、一个斜坡的坡度为︰，那么坡角的余切值为 ；
3、一个物体点出发，在坡度为的斜坡上直线向上运动到，当m时,物体升高 （ ）
A m B m C m D 不同于以上的答案
4、某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度，坝外斜坡的坡度，则两个坡角的和为 ( ）
A B C D
5、电视塔高为m，一个人站在地面，离塔底一定的距离处望塔顶，测得仰角为，若某人的身高忽略不计时，m。
6、如图沿AC方向修隧道，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时进行.已知∠ABD=1500，BD=520m，∠B=600，那么开挖点E到D的距离DE=____m时,才能使A,C,E成一直线.

7、一船向东航行，上午8时到达处,看到有一灯塔在它的南偏东，距离为72海里的处，上午10时到达处，看到灯塔在它的正南方向，则这艘船航行的速度为（ ）
A 海里/小时 B 海里/小时
C 海里/小时 D 海里/小时
A
C
D
B
8、如图,河对岸有铁塔AB,在C处测得塔顶A的仰角为30°，向塔前进14米到达D，在D处测得A的仰角为45°，求铁塔AB的高。

9、如图，一铁路路基横断面为等腰梯形，斜坡的坡度为，路基高为m，底宽m，求路基顶的宽

10、如图，已知两座高度相等的建筑物AB、CD的水平距离BC＝60米，在建筑物CD上有一铁塔PD,在塔顶P处观察建筑物的底部B和顶部A,分别测行俯角，求建筑物AB的高。（计算过程和结果一律不取近似值）

11、如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10千米的速度向北偏东60º的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域。
问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长?

（三）小结

解直角三角形总复习答案
二、巩固练习
（1）三角函数的定义和性质
1、 2、 、 3、2 4、
5、10 6、 7、 8、54
9、B 10、 A 11、C 12、 13、B
(2）特殊角的三角函数值
1、 2、1 3、 4、A 5、D 6、A
7、(1）1、 （2）或
（3） (4）

（3)解直角三角形
1、
2、(1) （2）10 （3） （4）35
3、 5 、 4、 5、
6、
7、（1)
（2）
8、解:设BC=3k,AC=k

9、解:过A作ADBC，垂足为D.

(4）实例分析
1、 2、 3、C 4、C 5、
6、 7、B
8、解:设铁塔AB高x米

在中

即
解得:x=m
答：铁塔AB高m。
9、解：过B作BFCD，垂足为F

在等腰梯形ABCD中
AD=BC

AE=3m
DE=4.5m
AD=BC,,
BCFADE
CF=DE=4。5m
EF=3m

BF//CD
四边形ABFE为平行四边形
AB=EF=3m
10、
解：
在RTBPC中

在矩形ABCD中
AD=BC=60m

在RTAPD中
AD=60m，

答:AB高米。
11、（1）过A作ACBF，垂足为C

在RTABC中
AB=300km

（2）

答:A城遭遇这次台风影响10个小时。