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第二章 随机变量及其函数的概率分布
§2.1 随机变量与分布函数
§2。2 离散型随机变量及其概率分布
一、 填空题
1。 某射手每次命中目标的概率为0。8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为的概率 ；
2。 设随机变量服从泊松分布，且，则 0。0902 ；
3. 设服从参数为的两点分布，则的分布函数为 ;
4。 已知随机变量的概率分布:P(=1）=0.2， P（=2)=0.3， P(=3)=0.5, 则其分布函数=；
5. 设随机变量的分布函数为, 则的概率分布为
.
二、选择题
设离散型随机变量的分布律为为（B)
(A） λ〉0的任意实数； (B) （C) λ=+1； （D） .
三、 计算下列各题
1。 袋中有10个球，分别编号为1～10，从中任取5个球，令表示取出5个球的最大号码，试求的分布列。
解 的可能取值为5，6，7，8，9,10 且
所以的分布列为

5 6 7 8 9 10

2。 一批元件的正品率为,次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第次首次测到正品，试求的分布列。
解 的取值为1,2，3,… 且 .
此即为的分布列。
3。 袋中有6个球，分别标有数字1,2,2，2，3，3，从中任取一个球，令为取出的球的号码，试求的分布列及分布函数。
解 的分布列为

1 2 3

由分布函数的计算公式得的分布函数为
4. 设随机变量的分布律为。
求
解

5。 （1)设随机变量的分布律为为常数，试确定。(2）设随机变量只取正整数值,且与成反比，求的分布律.
解 （1)因为 及，所以
（2）令类似上题可得 。
所以的分布律为
6。 汽车沿街道行驶,需要通过3个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求的概率分布
解 =0, 1， 2, 3, =“汽车在第个路口遇到红灯."，=1，2,3.
=, =
，=

0
1
2
3

1/2
1/4
1/8
1/8

为所求概率分布
7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止， 试求抛掷次数的概率分布律。

四、证明题
试证明：

§2.3 连续型随机变量及其概率密度函数
一、 填空题
1. 已知连续型随机变量的分布函数为,则 1 ，
， ， ;
2。 设随机变量的概率密度函数， 则 0.5 ，
=； ;
3。 设服从参数为的指数分布,则的概率密度为 ;
4。 设随机变量的概率密度为
,若使得， 则的取值范围是；
5. 若随机变量在（1，6)上均匀分布,则方程有实根的概率为 0。8 ；
6。 若随机变量~，且P（2〈〈4）=0.3， 则P(〈0)= 0。2 ；
7。 设随机变量X服从泊松分布, 已知 P(X=1） = P（X=2), 则概率P（X=4)=；
8。 设随机变量～ (2， p）， ～ （3, p)， 若, 则= 19/27 .
二、 选择题
1。 设函数 ，问区间才可能是某个随机变量的概率密度函数? (A）

2. 如下四个函数哪个不能成为随机变量X的分布函数 （B）

3。 设随机变量～则随的增大,概率 （C）
(A) 单调增大; （B) 单调减少； (C) 保持不变； （D） 增减不变.
4。 设随机变量的密度函数为的分布函数,则对任意实数有（B）

5. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且
,则必有（A）
（A） （B） (C） (D）
三、计算下列各题
1. 设连续型随机变量的密度函数为；求的分布函数。
解 ，
2. 设随机变量的分布函数为；求的密度函数。
解

3. 设连续型随机变量的密度函数为；
（1） 求常数，使; (2)求常数，使。
解 （1）因为 ，所以故
。
（2） 因为

4. 在半径为,球心为的球内任取一点，X为点O与P的距离,求X的分布函数及概率密度。
解 当时，设，则点落到以为球心,为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此
,所以,的分布函数为
的密度函数为
5。 设随机变量的分布函数为，–∞〈〈+∞,试求 （1） 系数与, （2) P (–1〈<1), （3) 的概率密度函数.
解

6。 设随机变量的概率密度为， 以Y表示对进行三次独立观察中｛≤}出现的次数，求概率P（=2）。
解 p = P (≤）=, 由已知 ～(3， ）
所以
7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从;另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从,问
（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？
（2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？
解 （1)因为 所以走第二条。 （2）类似的走第一条。

§2。4 随机变量函数的分布
一、 填空题
1。 设 则服从的分布为 ；
2. 设 则服从的分布为 ；
3。 设,则的概率密度函数是 ；
4. 设随机变量服从（0，2)上的均匀分布,则随机变量在(0，4)内的概率密度为 。
二、 选择题
1。 设随机变量的分布函数为（A)

2. 已知随机变量X的密度函数为的密度函数为 （C）

3. 设随机变量X的密度函数是（B）
（A) (B）
（C） （D)
三、计算下列各题
1. 设随机变量的分布律如下,求的分布律。

-2
—1
0
1
2

解

1
2
5

2. 设随机变量在上服从均匀分布,求的密度函数。
解 的密度函数为
（1） 设，则有 。
所以 ，因此当及时，由知；
当时，由知，所以所求密度函数为
（2） 类似的可得：
3. 设，求的密度函数.
解 （1)的密度函数为 ，的分布函数为

所以的密度函数为
（2）的分布函数为

所以的密度函数为
4. 设随机变量的概率密度为；求的概率密度。
解

所以
5. 若球的直径D的测量值在上均匀分布，求球的体积V的概率密度。

6. 将长度为2的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的概率。

四、证明题
1. 设

证

2. 设随机变量X服从参数为0。5的指数分布， 证明在区间（0，1)服从均匀分布。
证 X服从参数为0.5的指数分布，则概率密度为
, 函数y单调可导,其反函数为
由公式
所以 在区间（0,1）服从均匀分布。
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