第二章随机变量及其函数的概率分布.doc

个人收集整理 勿做商业用途第二章 随机变量及其函数的概率分布2.1 随机变量与分布函数 2。2 离散型随机变量及其概率分布一、 填空题1。 某射手每次命中目标的概率为0。8，若独立射击了三次，则三次中命中目标次数为的概率 ；2。 设随机变量服从泊松分布，且，则 0。0902 ；3. 设服从参数为的两点分布，则的分布函数为 ;4。 已知随机变量的概率分布:P(=1）=0.2， P（=2)=0.3， P(=3)=0.5, 则其分布函数=；5. 设随机变量的分布函数为, 则的概率分布为.二、选择题设离散型随机变量的分布律为为（B) (A） 0的任意实数； (B) （C) =+1； （D） .三、 计算下列各题1。 袋中有10个球，分别编号为110，从中任取5个球，令表示取出5个球的最大号码，试求的分布列。 解 的可能取值为5，6，7，8，9,10 且 所以的分布列为 5 6 7 8 9 10 2。 一批元件的正品率为,次品率为，现对这批元件进行有放回的测试，设第次首次测到正品，试求的分布列。解 的取值为1,2，3, 且 . 此即为的分布列。3。 袋中有6个球，分别标有数字1,2,2，2，3，3，从中任取一个球，令为取出的球的号码，试求的分布列及分布函数。 解 的分布列为 1 2 3 由分布函数的计算公式得的分布函数为 4. 设随机变量的分布律为。 求 解 5。 （1)设随机变量的分布律为为常数，试确定。(2）设随机变量只取正整数值,且与成反比，求的分布律. 解 （1)因为 及，所以（2）令类似上题可得 。所以的分布律为 6。 汽车沿街道行驶,需要通过3个均设有红绿信号灯的路口,每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯时间相等,以表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口，求的概率分布解 =0, 1， 2, 3, =“汽车在第个路口遇到红灯.，=1，2,3.=, =，= 01231/21/41/81/8为所求概率分布7. 同时掷两枚骰子, 直到一枚骰子出现6点为止， 试求抛掷次数的概率分布律。四、证明题试证明： 2.3 连续型随机变量及其概率密度函数一、 填空题1. 已知连续型随机变量的分布函数为,则 1 ， ， ， ;2。 设随机变量的概率密度函数， 则 0.5 ，=； ;3。 设服从参数为的指数分布,则的概率密度为 ;4。 设随机变量的概率密度为,若使得， 则的取值范围是；5. 若随机变量在（1，6)上均匀分布,则方程有实根的概率为 0。8 ；6。 若随机变量，且P（24）=0.3， 则P(0)= 0。2 ；7。 设随机变量X服从泊松分布, 已知 P(X=1） = P（X=2), 则概率P（X=4)=； 8。 设随机变量 (2， p）， （3, p)， 若, 则= 19/27 .二、 选择题1。 设函数 ，问区间才可能是某个随机变量的概率密度函数? (A） 2. 如下四个函数哪个不能成为随机变量X的分布函数 （B） 3。 设随机变量则随的增大,概率 （C）(A) 单调增大; （B) 单调减少； (C) 保持不变； （D） 增减不变.4。 设随机变量的密度函数为的分布函数,则对任意实数有（B） 5. 设随机变量X服从正态分布服从正态分布且,则必有（A）（A） （B） (C） (D）三、计算下列各题1. 设连续型随机变量的密度函数为；求的分布函数。解 ， 2. 设随机变量的分布函数为；求的密度函数。解 3. 设连续型随机变量的密度函数为；（1） 求常数，使; (2)求常数，使。解 （1）因为 ，所以故。（2） 因为 4. 在半径为,球心为的球内任取一点，X为点O与P的距离,求X的分布函数及概率密度。 解 当时，设，则点落到以为球心,为半径的球面上时，它到点的距离均为，因此,所以,的分布函数为的密度函数为 5。 设随机变量的分布函数为，+,试求 （1） 系数与, （2) P (11), （3) 的概率密度函数.解 6。 设随机变量的概率密度为， 以Y表示对进行三次独立观察中出现的次数，求概率P（=2）。解 p = P (）=, 由已知 (3， ）所以 7. 从某区到火车站有两条路线，一条路程短，但阻塞多，所需时间（分钟）服从;另一条路程长，但阻塞少，所需时间（分钟）服从,问（1） 要在70分钟内赶到火车站应走哪条路保险？（2） 要在65分钟内赶到火车站又应走哪条路保险？解 （1)因为 所以走第二条。 （2）类似的走第一条。2。4 随机变量函数的分布一、 填空题1。 设 则服从的分布为 ；2. 设 则服从的分布为 ；3。 设,则的概率密度函数是 ；4. 设随机变量服从（0，2)上的均匀分布,则随机变量在(0，4)内的概率密度为 。二、 选择题1。 设随机变量的分布函数为（A)2. 已知随机变量X的密度函数为的密度函数为 （C）3. 设随机变量X的密度函数是（B）（A) (B）（C） （D)三、计算下列各题1. 设随机变量的分布律如下,求的分布律。 -2 1 0 1 2 解 1 2 5 2. 设随机变量在上服从均匀分布,求的密度函数。解 的密度函数为 （1） 设，则有 。 所以 ，因此当及时，由知；当时，由知，所以所求密度函数为（2） 类似的可得：3. 设，求的密度函数.解 （1)的密度函数为 ，的分布函数为 所以的密度函数为 （2）的分布函数为 所以的密度函数为 4. 设随机变量的概率密度为；求的概率密度。解 所以 5. 若球的直径D的测量值在上均匀分布，求球的体积V的概率密度。6. 将长度为2的直线随机分成两部分，求以这两部分为长和宽的矩形面积小于的概率。四、证明题1. 设 证 2. 设随机变量X服从参数为0。5的指数分布， 证明在区间（0，1)服从均匀分布。证 X服从参数为0.5的指数分布，则概率密度为 , 函数y单调可导,其反函数为 由公式 所以 在区间（0,1）服从均匀分布。10