第二章随机变量及其概率分布-复制.doc

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第二章 随机变量及其概率分布
【授课对象】理工类本科三年级
【授课时数】10学时
【授课方法】课堂讲授与提问相结合
【基本要求】1、了解随机变量的概念；
2、理解离散型随机变量的概念及其分布律的概念和性质；
3、理解连续型随机变量的概念及其概率密度函数的概念和性质;
4、理解分布函数的概念，并知道其性质；
5、会利用分布律、概率密度函数及分布函数计算有关事件的概率；
6、会求简单的随机变量函数的概率分布；
7、了解二维随机变量的概念，知道二维随机变量的边缘(边际）分布、联合分布函数等概念；
8、了解二维连续型随机变量的联合概率密度函数的概念及性质，进一步掌握其边缘分布与联合分布的关系，并会计算有关事件的概率；了解二维连续型随机变量独立性的概念.
【本章重点】随机变量的概念；连续型(离散型)随机变量的密度函数（分布律)的概念和性质以及它们的分布函数的概念和性质；二维随机变量的边缘分布、联合分布函数等概念;随机变量函数的概率分布以及二维随机变量独立性的概念。
【本章难点】随机变量的概念及性质；连续型随机变量的概率密度函数及分布函数的性质与相关计算;二维连续型随机变量的边缘分布与联合分布的关系以及独立性的概念。
【授课内容及学时分配】
§2。1 随机变量的概念
在第一章里，我们主要研究了随即事件及其概率，同学们可能会注意到在某些例子中，随即事件和实数之间存在着某种客观的联系.例如，在产品检验问题中，我们关心的是抽样中出现的废品数；在车间供电问题中，我们关心的是某时期在工作的车床数;在电话问题中关心的是某一段时间内的话务量等.对于这类随机现象，其试验结果显然可以用数值来描述,并且随着试验的结果不同而取不同的数值。然而，有些初看起来与数值无关的随机现象，也常常能联系数值来描述。比如，在投硬币问题中，每次实验出现的结果为正面或反面，与数值没有联系，但我们可以通过指定数“1”代表正面，“0”代表反面，为了计算n次投掷中出现的正面就只须计算其中“1”出现的次数了，从而使这一随机试验的结果与数值发生联系。这就说明了，不管随机试验的结果是否具有数量的性质,我们都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系。
一般地，如果为某个随机事件，则一定可以通过如下示性函数使它与数值发生联系：
Eg1:随机试验E1：从一个装有编号为0，1,2,…，9的球的袋中任意摸一球。则其样本空间={，，…， },其中“摸到编号为的球”，=0，1,…，9。
定义变量:，即(）=，=0，1，…，9。这就是
和整数集{0,1，2，…，9}的一个对应关系，此时表示摸到球的号码。
从上例中,我们不难体会到：
①对应关系的取值是随机的，也就是说，在试验之前，取什么值不能确定,而是由随机试验的可能结果定的，但的所有可能取值是事先可以预言的。
②是定义在上而取值在R上的函数。
同时在上例中，我们可以用集合{：（）5}或｛：（）5｝表示随机事件。因而可以计算其概率。习惯上我们称定义在样本空间上的单值实函数为随机变量。这就有了如下定义：
Df：设=（)，是定义在上的单值实函数。若对任一实数,集合｛：()x｝是随机事件，则称=()为随机变量（Random Variable）.
定义表明随机变量=（）是样本点的函数，它的定义不涉及概率的概念,常写为，而集合{：()x｝简记为｛x}。如在上例中，摸到不大于5号球的事件可表示为｛5},则其概率为P{5｝=3/5.
§2。2 随机变量的概率分布
一、随机变量的分布函数（Function)
由前可知,若是随机变量，则对xR，｛x｝是随机事件，所以P{x｝有意义.当实数a<b时,有：P｛a<b｝=P｛b｝—P{a｝
可见，只要对一切实数x给出概率P｛x｝，则任何事件｛a<b}及它们的可列交、可列并的概率都可求得.从而P{x｝, xR完全刻划了随机变量的统计规律,并决定了随机变量的一切概率特征。
1.Df：设是上的随机变量，对xR，
称= P｛x}为的分布函数。
2.性质:设是随机变量的分布函数，则具有如下性质：
①单调非降性：即对，
②规范性：，
③右连续性:对有
Proof: ① 对，有，
则
或
（性质②，③的证明可参考其他有关的资料）
反之可证明：对于任意一个函数，若满足上述三条性质的话，则它一定是某随机变量的分布函数。
由定义可见，要计算取值的概率可以通过其分布函数来实现.
为了研究随机变量的概率分布，我们常选择来代替之。
3.运算:若, 则有：
Eg2：已知的分布函数为

求.
解：

Eg3：设某随机变量的分布函数为，试确定A，B的值。
解:由
得
Eg4：判断下列函数是否为分布函数
(√) (×)
Eg5：设的分布函数为
确定A并求
解：由右连续性知，而，
即
则
Eg6：设某随机变量的分布函数为 （a〉0)
求A，B。
解：由

二、随机变量的分类

三、离散型随机变量及其分布律
Df：设是上的随机变量，若的全部可能取值为有限个或可列个（即的全部可能取值可一一列举出来），则称为离散型随机变量。
若的取值记为则把事件的概率记为，则称为的分布列.
【注】：由定义可知，若样本空间是离散的，则定义在上的任何单值实函数都是离散型随机变量。
Th1：离散型随机变量的分布列满足下列性质：
（1）非负性：
(2)规范性：
Proof：是概率，即,故
由于是的一切可能取值，故有，注意到对任意的，有，
由概率的可列可加性知：
反之，任意一个满足以上二性质的数列，都可以作为某离散型随机变量的分布列。
有了的分布列以后，我们可以通过如下方式求的分布函数
显然，是一个右连续、单调非降的递阶函数,它在每个处有跳跃，其跃度为，当然，由也可以唯一确定和；因此，的分布列也完全刻划了离散型随机变量取值的规律。这样，对于离散型随机变量，只要知道它的一切可能取值和取这些值的概率，也就是说知道了它的分布列，也就掌握了这个离散型随机变量的统计规律。
Eg7:袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5，从中同时取出3只球，求最大号的分布列及分布函数并画出其图形。
解:先求的分布列：由题知,的取值为3,4，5,则

的分布列为:
由得

常见得离散型分布有：
1。退化分布（单点分布）：
2。贝努里分布（两点分布）:
3.二项分布：
4. 泊松（Poisson)分布：
课后作业：1、仔细阅读P30-33;
2、作业：P61 1, 3， 6， 7;
3、预习P33—39
四、连续性随机变量及概率密度函数
1。Df：设是随机变量，是它的分布函数,若存在一个非负可积函数 使得对任意的，有，则称为连续性随机变量,称为的概率密度函数或分布密度函数。
由定义显然可知，连续。
2.的几何意义：在几何上表示一条曲线称为分
布密度曲线,则的几何意义是：以分布曲线为顶，
以X轴为底，从到x的一块变面积.
3.密度函数具有如下性质:
〈1〉 每个R上可积的实值函数是某个连续性随机变量的密度函数
(1)（非负性)
（2） (规范性）
Proof：“"若是连续型随机变量的密度函数,则由定义知对，有且，由分布函数的性质有：
“"由定义,只需证明存在一个分布函数与对应即可，为此定义：
①且对
有：
即上述定义的具有单调非降性。
② 即具有规范性。
③由于可积，从而连续，它自然右连续，因而是分布函数。
〈2> 若在x处是连续的，则 (显然）
<3>(概率与密度函数之间的关系）设a，b是任意二实数，且则
事实上，
从几何角度来看,它取值于区间的概率等于其密度函数在一段曲线下方的面积.
<4〉若是连续型随机变量，则取单点值的概率为0
事实上,而连续型随机变量的分布函数是连续函数，从而即
从此可知：概率为0的事件不一定是不可能事件；同样概率为1的事件也不一定是必然事件。这样,对连续性随机变量有:

特别地，
Eg2:设随机变量的密度函数为 其中常数，试确定k的值并求概率和的分布函数。
解：由

由于密度函数为
分布函数
Eg3：（书） 设～ 求
常见的连续型分布有:①均匀分布:
②正态分布:
③指数分布：
课后作业:1、仔细阅读P33—39；
2、作业：P62 8， 9, 10， 12;
3、预习P39-44
§2。3 随机变量的函数及其分布
设是一随机变量，是一个连续的实值函数，按照随机变量的定义，也应是一随机变量。下面我们通过的分布来研究随机变量的分布。
关于该问题的一般提法:已知的分布,求的分布。
一、离散型随机变量函数的分布
已知的分布列为 求的分布列.
由于是离散型随机变量，则仍是离散型随机变量，所以分布列为
其中某些相等,则把它们作适当合并，其分布列就变为 其中为的取值，
Eg1：设，试求的分布列。
解:易知的可能取值为1，2，5，且可知

则
二、连续型随机变量函数的分布
已知的密度函数为，求 的密度函数
的分布函数:

从而，其密度函数

为此有如下定理：
Th：设连续型随机变量的密度函数为，若是严格单调的，且其反函数具有连续的导函数，则的密度函数为：
其中
，D为其定义域。
Proof：仅证

从而有
Eg2：设连续型随机变量，试求的密度函数。
解：,由，则由上述定理可知

§2.4 二维随机变量及概率分布
在前三节，我们主要讨论了一维随机变量及其分布函数，并简单地介绍了常见的离散型随机变量。但在实际应用和理论研究中，我们所感兴趣的许多现象，其每次试验的结果仅用一个随机变量描述还不够，往往要用两个或两个以上的随机变量来描述。例如,炮弹在地面的命中点的位置是由两个随机变量（两个坐标)来确定的。电子放大器的干扰电源是由振幅和相位这两个随机变量来确定的等等。下面我们先介绍二维随机变量及其分布，并推广到维.
一、概念
Df1：设是的两个随机变量，则由构成二维向量（)称为二维随机变量（或随机向量）
Df2：设（）是二维随机变量,则称二元函数为（）的联合分布函数。
几何意义：在处的函数值就是随机点()落在以点为顶点的左下方无穷矩形区域内的概率。
由几何意义可知，点（)落入任一矩形
{<x,<y｝中的概率，由概率的加法性质可求得：
P｛〈ξ，〈η}=F（,)—F（，）-F(，)+F（，)
事实上，
P{<ξ,〈η｝ ＝p（{〈ξ｝{<η｝)
= p（｛〈ξ｝［｛η｝-{η}］)
= P{〈ξ}[{η}-{η｝]）
— P{<ξ｝ ［{η}-｛η}])
=P｛ξ,η}— P｛ξ,η｝— P｛ξ，η}+ P｛ξ，η｝
=F（,)-F（,）—F（，)+F（，）
由概率的非负性质知；
二维随机变量的联合分布函数,对<R,<R,有
F(,)-F（,）—F（,）+F(，）0
Th1：二维随机变量（）的联合分布函数 具有如下性质：
(1)每个自变量单调不减:
即对固定的，当时，有
对固定的，当时，有
(2）对于每个自变量右连续：
即对固定的，（+0，）==（，）
对固定的，(,+0）==（，)
(3）规范性：

(4）对<R， 〈R.有:
（，)-(，）-（，）+(,)0
反之，对任意满足上述四条件的二元函数，都可作为某二维随机变量的分布函数。
【注】:上述四条件中（4）不可缺少.
如：二元函数=满足性质（1）（2)（3)而不满足（4）。
取,，，有-— + 〈0
故不能作为某二维随机变量的分布函数。
二、二维随机变量的边缘分布函数
由于的分布函数完全决定了它的概率特征，因而也就完全决定了它的各分量的概率特征；这样就可以通过其联合分布函数来求每个分量的分布函数.
Df3：若的分布函数为，则称
；
分别为关于的边缘分布函数。
三、二维离散型随机变量及其分布
Df4:设是二维随机变量，若分别是离散型随机变量；或者的全部可能取值为有限或可数个数对（，）,=1，2…。则称为二维离散型随机变量.称＝P{ξ=，η=}为的联合分布列。
Th2：的联合分布列具有如下性质:
(1)非负性：0，=1，2….
(2）规范性：＝1
反之，任何具有上述性质的数集{：=1,2…。}都可作为某二维离散型随机向量的联合分布列。
知道了的联合分布列以后，可以求其联合分布函数
=P（ξx, ηy）=P｛ξ=,η=}＝
同分布函数一样,可以求其边缘分布列：
………①
………②
事实上:＝P｛ξ=，η=｝=P（{ξ=，η=｝
＝P（{ξ=}［{η=}]）=P｛ξ=}
把①称为ξ的边缘分布列； ②称为η的边缘分布列。
上述关于联合分布列与边缘分布列之间的关系可用下表来表示：
ξ η

Eg1： 袋中有2只白球,3只黑球，现进行有放回及无放回二次摸球。定义随机变量，如下，
ξ= η=
求(ξ，η)的分布列。
解：有放回情形： 无放回情形:
η ξ 0 1 η ξ 0 1
0 0
1 1

【结论】：联合分布列可以唯一地确定边缘分布列，反之不然.
课后作业:1、仔细阅读P39-44；
2、作业：P63 14， 16， 17, 18；
3、预习P44—60
四、连续型随机向量
Df5设（ξ,η）为二维随机变量，为其联合分布函数，若存在非负可积的函数，使对 有：
=P（ξx，ηy)＝。
则称(ξ,η)为连续型随机类型，为的联合概率密度函数。
Th3二维连续型随变量的联合概率密度函数具有如下性质：
1。非负性： 0 R
2。规范性: dxdy=1
3。对某一区域D P{（ξ，η)D}=
4.若在点连续 则＝
由此不难求得 ξ，η 的边缘概率密度函数
= 为ξ的概率密度函数
= 为η的概率密度函数
事实上，(x)=＝
Eg2： 已知(ξ，η)的求边缘密度 (x),（y）
解:= =
＝＝
Eg3： 已知二维随机变量具有密度函数。

试求：
1。常数C， 2。分布函数
3。边缘分布函数及相应的边缘密度
4。求落入图中D区域内的概率。
解:1. 1= dxdy=cdxdy
=c =,c=4
2。 = P(u,v）dudv
=
3。（x)=
同理： =
= =
==
4.P{(ξ,η）D}==
==1—3
§2。5 随机变量相互独立性
独立性的概念在概率论中是非常重要也是最基本的概念，它在概率论和数理统计及应用中占有很重的地位。
一、随机变量的相互独立性
Df 1。称二维随机变量§.η是相互独立的，如果对x,y∈R,有
P｛ξ≤x,η≤y}=p{ξ≤x｝ p｛η≤y｝
Th1: 设（ξ,η）是二维离散型随机变量，ξ,η相互独立
,即
Th2： 若(ξ，η)是二维连续型随机变量，则ξ，η 相互独立

Proof：

ξ。η相互独立
由独立的定义

由联合密度函数的定义知：是(ξ,η)的联合概率密度函数.
即
Eg1.设二维随机变量的联合分布列为
①。求应满足的条件;
②。若与相互独立，求的值。
Eg2.设；
①。求常数；
②.与是否相互独立；
③。求。
【注】:①。若两两独立相互独立; 
②。随机变量的独立性不具有传递性。
二、随机变量的条件分布
1.离散型的条件分布
Df1： 设（ξ,η）是离散型随机变量，其联合分布列为：
i,j=1,2,3……
边缘分布列为
i=1,2,3……
j=1，2,3……
若对固定的η;则称： i=1,2,3……
为在给定η下随机变量ξ的条件分布列:
对固定的，称： j=1，2，3……
为在给定下,随机变量η的条件分布列：
根据定义可以分别求其分布函数
①.

②。若ξ与η相互独立，则有：
；
③。全概率公式

2.连续型条件分布：
Df2：设（ξ，η）是二维连续型随机变量，其联合密度函数为其边缘密度函数为，则对固定的y∈其中 ,称

为在给定条件 η=y下ξ的条件分布函数； 为条件密度函数
同理，对固定的x，x∈称
；
分别为给定条件ξ=x下y的条件分布函数与条件密度函数
若ξ，η相互独立：则
; ； ；
三、随机向量函数的分布
已知(ξ,η）的分布,求的分布
1.和的分布
①。对离散型随机变量：
已知（ξ，η）的分布列为。求的分布，
这时的所有可能取值为 i，j=1，2,3……

若ξ,η独立，则
②.对连续型随机变量：
已知｛ξ，η｝是连续型随机变量,其联合密度函数为，求的密度.

的密度函数为
若与相互独立，则

即二随机变量和的密度函数是这两个随机变量密度函数的卷积。
2。差的分布：

独立的情形：
3。积的分布：

独立情形：
4．商的分布：

独立情形：
Eg4： 已知 且相互独立,求的密度函数。
解：法一 令 则有

法二

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概率论与数理统计教案 第二章 随机事件及其概率分布