导数的应用与微分中值定理证明题专项训练.doc

江苏省数学竞赛专题复习——证明题
一.导数与微分：
(一)方程根的证明
1.设f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)<0,f(1)>1,求证f(x)=x在（0，1）内至少有一实根
2.设f(x)可导，求证f(x)的两个相异零点之间必有函数的一个零点
3.设函数f(x)在[0,1]上可导，且f(0)=,试证明：在（0，1）内方程=0有根
4.设，试证明方程f(x)=0只有3个实根
5.就k的不同取值情况，确定方程x-sinx=k在开区间（0，）内根的个数，求证明
6.证明方程在（0，）内最多有两个实根
7. 证明方程只有一个正根。
8. 证明方程在区间内有且只有一个实根.
（二）不等式的证明
0.用三种方法证明：求证：当1<a<b时，a+lnb<b+lna
1.利用函数的单调性证明
（1）当时，证明：arctanx-ln（1+）
（2）证明：当x>0时，
（3）证明：当时, .
（4）当时，
（5）当时，
（6）当时，
（7）当时，
（8）当
（9）当时，
（10）当时，
（11）试证明：当时, .
2.利用函数的最值证明不等式
（1）证明：（，p>1）
（2）证明：（0<<1,x>-1）
3.利用凹凸性证明：
⑴
⑵
⑶
4.利用微分中值定理证明
（1）证明当时，
（2）设0<a<b,证明：
（3）设在上连续，在内二阶可导，连接点的直线和曲线交于点（），，证明在内至少存在一点，使。
（4）证明
（5）
（6）当
（7）设在上连续，在内可导，证明在内有一点，使

可能考：铁路线上段的距离为100km，工厂距处为20km，，为运输需要，要在段上选定一点向工厂修筑一条公路。已知铁路运费与公路运费之比为3：5，为使货物从供应站运到工厂的运费最省，问 点应选在何处？