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第三单元 微分中值定理与导数应用
一、填空题
1、__________。
2、函数在区间______________单调增。
3、函数的极大值是____________。
4、曲线在区间__________是凸的。
5、函数在处的阶泰勒多项式是_________。
6、曲线的拐点坐标是_________。
7、若在含的（其中）内恒有二阶负的导数，且_______,则是在上的最大值。
8、在内有__________个零点。
9、。
10、。
11、曲线的上凸区间是___________。
12、函数的单调增区间是___________。
二、单项选择
1、函数有连续二阶导数且则（ ）
（Ａ）不存在 ； （Ｂ）0 ； （Ｃ）-1 ； （Ｄ）-2。
2、设则在内曲线（ ）
（Ａ）单调增凹的； （Ｂ）单调减凹的；
（Ｃ）单调增凸的； 　 （Ｄ）单调减凸的。
3、在内连续，，则在 处（ ）
（Ａ）取得极大值； （Ｂ）取得极小值；
（Ｃ）一定有拐点； （Ｄ）可能取得极值，也可能有拐点。
4、设在上连续，在内可导，则Ⅰ：在内与Ⅱ：在 上之间关系是（ ）
（Ａ）Ⅰ是Ⅱ的充分但非必要条件； （Ｂ）Ⅰ是Ⅱ的必要但非充分条件；
（Ｃ）Ⅰ是Ⅱ的充分必要条件； （Ｄ）Ⅰ不是Ⅱ的充分条件，也不是必要条件。
5、设、在连续可导，，且，则当时，则有（ ）
（Ａ）； （Ｂ）；
（Ｃ）； 　（Ｄ）。
6、方程在区间内（ ）
（Ａ）无实根； （Ｂ）有唯一实根；
（Ｃ）有两个实根； 　　（Ｄ）有三个实根。
7、已知在的某个邻域内连续，且，，则在点 处（ ）
（Ａ）不可导；　　　　 （Ｂ）可导，且；
（C）取得极大值； 　（Ｄ）取得极小值。
８、设有二阶连续导数，且，，则（　　　）
（Ａ）是的极大值；　　　　　　（Ｂ）是的极小值；
（Ｃ）是曲线的拐点；　　（Ｄ）不是的极值点。
9、设为方程的二根，在上连续，在内可导，则在内（ ）
（A）只有一实根； （B）至少有一实根； （C）没有实根； （D）至少有2个实根。
10、在区间上满足罗尔定理条件的函数是（ ）
（A）； （B）；
（C）； （D）。
11、函数在区间内可导，则在内是函数在内单调增加的（ ）
（A）必要但非充分条件； （B）充分但非必要条件；
（C）充分必要条件； （C）无关条件。
12、设是满足微分方程的解，且，则在（ ）
（A）的某个邻域单调增加； （B）的某个邻域单调减少；
（Ｃ）处取得极小值； 　　　　（Ｄ）处取得极大值。
三、计算解答
1、计算下列极限
(1) ； (2)；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6)。
2、证明以下不等式
(1)、设，证明。
(2)、当时，有不等式。
3、已知，利用泰勒公式求。
4、试确定常数与的一组数，使得当时，与为等价无穷小。
5、设在上可导，试证存在，使
。
6、作半径为的球的外切正圆锥，问此圆锥的高为何值时，其体积最小，并求出该体积最小值。
7、若在上有三阶导数，且，设，试证：在 内至少存在一个，使。