中值定理与导数的应用导数、微分习题及答案.doc

第三章 中值定理与导数的应用
(A)
1．在下列四个函数中,在上满足罗尔定理条件的函数是( )
A． B． C． D．
2．函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )
A． B． C． D．
3．方程在内根的个数是 ( )
A．没有实根 B．有且仅有一个实根
C．有两个相异的实根 D．有五个实根
4．若对任意，有，则 ( )
A．对任意，有
B．存在，使
C．对任意，有(是某个常数)
D．对任意，有(是任意常数)
5．函数在上有 ( )
A．四个极值点； B．三个极值点 C．二个极值点 D． 一个极值点
6．函数的极大值是 ( )
A．17 B．11 C．10 D．9
7．设在闭区间上连续，在开区间上可导，且，，则必有 ( )
A． B． C． D．
8．若函数在上连续，在可导，则 ( )
A．存在，有
B．存在，有
C．存在，有
D．存在，有
9．若，则方程( )
A．无实根 B．有唯一的实根 C．有三个实根 D．有重实根
10．求极限时，下列各种解法正确的是 ( )
A．用洛必塔法则后，求得极限为0
B．因为不存在，所以上述极限不存在
C．原式
D．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在
11．设函数，在 ( )
A．单调增加 B．单调减少
C．单调增加，其余区间单调减少
D．单调减少，其余区间单调增加
12．曲线 ( )
A．有一个拐点 B．有二个拐点 C．有三个拐点 D． 无拐点
13．指出曲线的渐近线 ( )
A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线
B．为其垂直渐近线，但无水平渐近线
C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线
D． 只有水平渐近线
14．函数在区间上最小值为 ( )
A． B．0 C．1 D．无最小值
15．求
16．求
17．求
18．求
19．求
20．求函数的单调区间。
21．求函数的极值。
22．若，证明/
23．设，证明。
24．求函数的单调区间与极值。
25．当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。
26．求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长。
27．函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。
28．试证的拐点在曲线上。
29．试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。
30．试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。

(B)
1．函数，则 ( )
A．在任意闭区间上罗尔定理一定成立
B．在上罗尔定理不成立 C．在上罗尔定理成立
D． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立
2．下列函数中在上满足拉格朗日定理条件的是( )
A． B． C． D．
3．若为可导函数，为开区间内一定点，而且有，，则在闭区间上必有 ( )
A． B． C． D．
4．若在开区间内可导，且对内任意两点，恒有则必有( )
A． B． C． D．(常数)
5．设为未定型，则存在是也存在的 ( )
A．必要条件 B．充分条件
C．充分必要条件 D． 既非充分也非必要条件
6．已知在上连续，在内可导，且当时，有，又已知，则 ( )
A．在上单调增加，且
B．在上单调减少，且
C．在上单调增加，且
D．在上单调增加，但正负号无法确定
7．函数的图形，在 ( )
A．处处是凸的 B．处处是凹的
C．为凸的，在为凹的 D．为凹的，在为凸的
8．若在区间内，函数的一阶导数，二阶导数，则函数在此区间内是( )
A．单调减少，曲线上凹 B．单调增加，曲线上凹
C．单调减少，曲线下凹 D．单调增加，曲线下凹
9．曲线 ( )
A．有极值点，但无拐点 B．有拐点，但无极值点
C．有极值点且是拐点 D． 既无极值点，又无拐点
10．设函数在的某个邻域内连续，且为其极大值，则存在，当时，必有( )
A． B．
C． D．
11．抛物线在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( )
A．顶点处的曲率为，曲率半径为2
B．顶点处的曲率为2，曲率半径为
C．顶点处的曲率为1，曲率半径为1
D．顶点处的曲率为，曲率半径为2
12．设函数在处有，在处不存在，则 ( )
A．及一定都是极值点 B．只有是极值点
C．与都可能不是极值点
D．与至少有一个点是极值点
13．求极限。
14．求
15．求
16．试证当时，取得极值。
17．求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。
18．设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。
19．设在上具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。
20．设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。
(C)
1．函数它在内 ( )
A．不满足拉格朗日中值定理的条件
B．满足拉格朗日中值定理的条件，且
C．满足中值定理条件，但无法求出的表达式
D．不满足中值定理条件，但有满足中值定理结论
2．若在区间上二次可微，且，，()，则方程在上 ( )
A．没有实根 B．有重实根
C．有无穷多个实根 D． 有且仅有一个实根
3．设有二阶连续导数，且，则 ( )
A．是的极大值 B．是的极小值
C．是曲线的拐点
D．不是的极值，也不是曲线的拐点
4．求
5．求
6．设函数二次可微，有，，证明函数，
是单调增函数。
7．研究函数的极值。
8．若在上有二阶导数，且，试证在内至少存在一点，满足。
9．设在上具有二阶导数，且，，证明：存在一点使。
10．设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线方程，并求函数的极值。
第三章 中值定理与导数的应用
(A)
1．在下列四个函数中,在上满足罗尔定理条件的函数是( B )
A． B． C． D．
2．函数满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( C )
A． B． C． D．
3．方程在内根的个数是 ( B )
A．没有实根 B．有且仅有一个实根
C．有两个相异的实根 D．有五个实根
4．若对任意，有，则 ( D )
A．对任意，有
B．存在，使
C．对任意，有(是某个常数)
D．对任意，有(是任意常数)
5．函数在上有 ( C )
A．四个极值点； B．三个极值点 C．二个极值点 D． 一个极值点
6．函数的极大值是 ( A )
A．17 B．11 C．10 D．9
7．设在闭区间上连续，在开区间上可导，且，，则必有 ( C )
A． B． C． D．
8．若函数在上连续，在可导，则 ( B )
A．存在，有
B．存在，有
C．存在，有
D．存在，有
9．若，则方程( B )
A．无实根 B．有唯一的实根 C．有三个实根 D．有重实根
10．求极限时，下列各种解法正确的是 ( C )
A．用洛必塔法则后，求得极限为0
B．因为不存在，所以上述极限不存在
C．原式
D．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在
11．设函数，在 ( C )
A．单调增加 B．单调减少
C．单调增加，其余区间单调减少
D．单调减少，其余区间单调增加
12．曲线 ( D )
A．有一个拐点 B．有二个拐点 C．有三个拐点 D． 无拐点
13．指出曲线的渐近线 ( C )
A．没有水平渐近线，也没有斜渐近线
B．为其垂直渐近线，但无水平渐近线
C．即有垂直渐近线，又有水平渐近线
D． 只有水平渐近线
14．函数在区间上最小值为 ( D )
A． B．0 C．1 D．无最小值
15．求
解：原式
16．求
解：原式

17．求
解：原式
18．求
解：令，则
∵
∴原式
19．求
解：令，则
故原式
令，则
∵

∴原式
20．求函数的单调区间。
解：
当时，，
当时，
当时，
故在及单增，在单减。
21．求函数的极值。
解：
令得
当时，，从而单减
当时，，从而单增
故时，取极小值0
22．若，证明
证明：令，则
当时，，从而在单增
因为，故，即

23．设，证明。
证明：
10：令，则
因，则，从而在单减。
故，即
20：令，则
当时，，从而在单减
故，即
由100、20知，
24．求函数的单调区间与极值。
解：
令，得或
故可疑极值点1，

1

-

+

-

极小值0

极大值

25．当为何值时，在处有极值？求此极值，并说明是极大值还是极小值。
解：
由于在处有极值，则，从而
当时，，从而单增
当时，，从而单减
故在处取得极大值。
26．求内接于椭圆，而面积最大的矩形的边长。
解：设矩形在第一象限的顶点坐标为，则

故矩形面积为
当时，取最大值，
矩形边长分别为和。
27．函数的系数满足什么关系时，这个函数没有极值。
解：，因，则是开口向上的抛物线
要使没有极值，则必须使在是单增或单减
即必须满足或
故只有时，才能使成立
即时，没有极值。
28．试证的拐点在曲线上。
证：，
设是的拐点，则
即
∵
∴的拐点在曲线上。
29．试证明曲线有三个拐点位于同一直线上。
证：，
令得：，，
∴，，
故三个拐点，，
容易验证：、、在同一直线上。
30．试决定中的的值，使曲线的拐点处的法线通过原点。
解：，
令，得或-1
则拐点为及
10．在拐点处切线斜率为
从而在拐点处法线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以
20．在拐点处切线斜率为，这样法线方程为，因法线过原点，所以。
故时，曲线的拐点处的法线通过原点。

(B)
1．函数，则 ( C )
A．在任意闭区间上罗尔定理一定成立
B．在上罗尔定理不成立 C．在上罗尔定理成立
D． 在任意闭区间上，罗尔定理都不成立
2．下列函数中在上满足拉格朗日定理条件的是( B )
A． B． C． D．
3．若为可导函数，为开区间内一定点，而且有，，则在闭区间上必有 ( D )
A． B． C． D．
4．若在开区间内可导，且对内任意两点，恒有则必有( D )
A． B． C． D．(常数)
5．设为未定型，则存在是也存在的 ( B )
A．必要条件 B．充分条件
C．充分必要条件 D． 既非充分也非必要条件
6．已知在上连续，在内可导，且当时，有，又已知，则 ( D )
A．在上单调增加，且
B．在上单调减少，且
C．在上单调增加，且
D．在上单调增加，但正负号无法确定
7．函数的图形，在 ( B )
A．处处是凸的 B．处处是凹的
C．为凸的，在为凹的 D．为凹的，在为凸的
8．若在区间内，函数的一阶导数，二阶导数，则函数在此区间内是( D )
A．单调减少，曲线上凹 B．单调增加，曲线上凹
C．单调减少，曲线下凹 D．单调增加，曲线下凹
9．曲线 ( D )
A．有极值点，但无拐点 B．有拐点，但无极值点
C．有极值点且是拐点 D． 既无极值点，又无拐点
10．设函数在的某个邻域内连续，且为其极大值，则存在，当时，必有( C )
A． B．
C． D．
11．抛物线在顶点处的曲率及曲率半径为多少？正确的答案是 ( B )
A．顶点处的曲率为，曲率半径为2
B．顶点处的曲率为2，曲率半径为
C．顶点处的曲率为1，曲率半径为1
D．顶点处的曲率为，曲率半径为2
12．设函数在处有，在处不存在，则 ( C )
A．及一定都是极值点 B．只有是极值点
C．与都可能不是极值点
D．与至少有一个点是极值点
13．求极限。
解：令，则
∵
∴原式
14．求
解：原式

15．求
解：令，则在上连续，在可导，故由拉格朗日定理知，存在一点，使
当时，则
故原式
16．试证当时，取得极值。
证：
故时，有解
当时，，从而单增
当时，，则单减
当时，，则单增
故在处取得极大值
在处取得极小值
17．求由轴上的一个给定点到抛物线上的点的最短距离。
解：设是抛物线上任一点，则到的距离为

从而
令，得或
10．当时，只有一个驻点
当时，，从而单减
当时，，从而单增
故是的极小值点，极小值为
2．当时，有三个驻点，，
当时，，从而单减
当时，，从而单增
当时，，从而单减
当时，，从而单增
故是极小点，极小值为
18．设在上可导，且，对于任何，都有，试证：在内，有且仅有一个数，使。
证：令，因为在上连续，且，，则由零点存在定理在内至少存在一点，使，即。
下证唯一性。设在内存在两个点与，且，使，，在上运用拉格朗日中值定理，则有，使得

这与题设矛盾，故只有一个使。
19．设在上具有二阶导数，且，如果，证明至少存在一点，使。
证明：由题设知在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使得。
因为，则由题设知在上连续，在内可导，且，故在上满足洛尔定理条件，则至少存在一点，使，
20．设在上连续，在内二阶可导且，且存在点，使得，试证至少存在一点，使得。
证：在及上都满足拉格朗日定理条件，则存在，，使得

因为，则，
因在内二阶可导，则在上满足拉格朗日定理条件，故至少存在一点，使。
(C)
1．函数它在内 ( B )
A．不满足拉格朗日中值定理的条件
B．满足拉格朗日中值定理的条件，且
C．满足中值定理条件，但无法求出的表达式
D．不满足中值定理条件，但有满足中值定理结论
2．若在区间上二次可微，且，，()，则方程在上 ( D )
A．没有实根 B．有重实根
C．有无穷多个实根 D． 有且仅有一个实根
3．设有二阶连续导数，且，则 ( C )
A．是的极大值 B．是的极小值
C．是曲线的拐点
D．不是的极值，也不是曲线的拐点
4．求
解：令，则，从而

故原式

5．求
解：令，则

故原式

6．设函数二次可微，有，，证明函数，
是单调增函数。
证：当时，连续
由于

故
因为
所以在处连续，故在上连续。
令，则
当时，，单增，从而
当时，，单减，从而
故时，，从而
因为，则，从而
有， 故是单调增函数
7．研究函数的极值。
解：10．当时， ，从而
令得
当时，，则单增
当时，，则单减
故是的极大值点，极大值为
20．当时，，从而
说明单增，故是极小值点，极小值为0
30．当时，，从而
说明单减，故是极大值点，极大值为1
8．若在上有二阶导数，且，试证在内至少存在一点，满足。
证：由泰勒展式，有
，
，
令，得

于是
令  ，则

故结论成立。
9．设在上具有二阶导数，且，，证明：存在一点使。
证：设是的最小值点，因为在上具有二阶导数，由题设知，，
故在处的泰展式为
， 在与之间
即
1．若，则
即
2．若，则
即
故存在一点，使。
10．设是一向上凸的连续曲线，其上任意一点处的曲率为，且此曲线上点处的切线方程为，求该曲线方程，并求函数的极值。
解：因曲线上处的曲率为，由题意
因曲线向上凸，则，故

令，则，从而
解之，
从而
因曲线在点处的切线为，其斜率为1
则，即
故

因在曲线上，则
即
故
令得：，，，
当，及时，
当，及时，
由于的定义域，
故在及处取得极大值

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