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数学竞赛辅导题--导数与微分.doc

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1、导数与微分题型一 利用函数的定义研究函数的可导性1 设,其中有二阶导数,求。2 设函数对任意均满足等式,且有,求。3 设可导,若使在处可导,则必有( )。 。题型二 利用函数的导数求曲线的切线和法线方程4 已知是周期为5的连续函数,它在的某个领域内满足关系式,其中是当时比高阶的无穷小,且在处可导,求曲线在点处的切线方程。5 求曲线在点处的法线方程。题型三 求复合函数的导数及抽象函数的导数6 设,求。7 设,其中具有二阶导数,求。题型四 求隐函数的导数(或可化为隐函数的求导问题)8 设函数是由确定的,其中具有二阶导数,且,求。9 已知,其中为二阶可微函数,求。10设,求。题型五 求幂指函数和连乘

2、函数的导数11设,求。题型六 混合形式的函数的导数12设函数由所确定,求。题型七 求函数的高阶导数13设,求。14设,求使存在的最大的。15设,其中在由阶连续导数,求。第三章 微分中值定理与导数的应用题型一 证明存在,使的命题。1.设在上连续,当时,(为常数)。试证明:若,则方程在上有且仅有一个实根。2. 设函数在闭区间上具有二阶导数,且。 证明:在开区间内至少存在一点使得。题型二 证明结论为的命题3.若在区间上有三阶导数,且,设,证明:在内存在一点,使得。4. 设函数在上连续,在内具有二阶导数且存在相等的最大值,且,证明:存在,使得。题型三 证明存在,使5. 设在内上连续,在内可导,且,但当

3、时,求证对任意自然数,在内存在,使。 (提示:将所证结论中改为,两边积分后,可作出辅助函数)。6. 假设函数和在存在二阶导数,并且,试证:(1)在开区间内;(2)在开区间内至少存在一点,使。题型四 证明有两个中值满足的某种关系的命题7. 设在上连续,在内可导,且,试证 :存在,使得(提示:将要证结论改写为即证。令,对其应用拉格朗日中值定理。)8. 设在闭区间上可导,且满足关系式,证明在区间内至少存在一点,使得。题型五 证明函数的单调性和求单调区间9. 设函数在上,且,则的大小顺序是( ) 10. 设函数对一切满足,若则( ) 是的极大值 是的极小值 点是曲线的拐点 不是的极值题型六 关于不等式的证明12. 设在上具有二阶导数,且满足条件,其中都是非负常数,证明:对任意必有(提示:再将分别代入相减。并注意)13. 设,常数,证明。14. 证明:当时,。15. 设常数,证明:当且时,。5

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