微积分导数与微分.doc

第二章 导数与微分微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值.一、教学目标与基本要求（一）知识1记住导数和微分的各种术语和记号；2知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系；3知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义；4记住常数及基本初等函数的导数公式；5知道双曲函数与反双曲函数的导数公式；6知道高阶导数的定义；7知道隐函数的定义；8记住反函数的求导法则；9记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式；10知道对数求导法及其适用范围；11知道相关变化率的定义及其简单应用；12记住基本初等函数的微分公式；13知道微分在近似计算及误差估计中的应用；14记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式.（二）领会1 领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义；2 领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系；3 领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则；4 领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系；5 领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系；6 领会微分形式的不变性；7 领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系；8 领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等.（三）运用1 会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等；2 会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在；3 会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程；4 会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在；5 会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数；6 会求反函数的导数；7 会求复合函数的导数；8 会求隐函数的一阶、二阶导数；9 会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数；10会求函数的高阶导数；11会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数；12会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数.13会用微分定义和微分法则求微分；14会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数；15会用微分求函数的近似值.（四）分析综合1 综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数；2 综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性；3 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数；4 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面求曲线切线与法线的问题及相关变化率问题；综合运用微分的定义及几何意义解决近似计算及误差估计问题.二、教学内容的重点及难点：1 导数的概念与几何意义及物理意义；2 可导与连续的关系；3 导数的运算法则与基本求导公式；4 微分的概念与微分的运算法则；5 可微与可导的关系.三、教学内容的深化和拓宽：1 导数概念的深刻背景；2 复合函数的求导法则的应用；3 综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数；4 综合运用导数的几何意义及求导法则，解决几何方面的曲线切线与法线的问题及相关变化率问题. 2.1 导数的概念一、内容要点1 导数的两个基本实际背景是曲线的切线斜率与变速运动的瞬时速度.2 函数在一点处的导数的定义为函数在该点处的关于自变量的变化率，即3单侧导数的定义1) 函数可导性与连续性的关系：若函数在一点处可导，则函数在该点处连续，反之不然.2) 导数的实用举例（扩充）二、教学要求和注意点教学要求：1 理解导数的概念，理解导数的几何意义与基本物理意义.2 理解函数的可导性与连续性之间的关系，即连续是可导的必要面非充分条件.3 了解函数可导的充要条件：存在教学注意点：1 要充分认识函数在一点处的导数是函数关于其自变量在该点的变化率：切线的斜率；速度与加速度；角速度与角加速度；电流，等等.2 要充分理解函数可导则必然连续，而连续却未必可导.3 注意要用函数可导的充要条件：存在来判断分段函数在分段点处是否可导.主要内容：一、 引例1、 线问题：切线的概念在中学已见过.从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切.准确地说，曲线在其上某点的切线是割线当沿该曲线无限地接近于点的极限位置.设曲线方程为，设点的坐标为，动点的坐标为，要求出曲线在点的切线，只须求出点切线的斜率.由上知，恰好为割线的斜率的极限.我们不难求得的斜率为：；因此，当时，其极限存在的话，其值就是，即.若设为切线的倾角，则有.2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为（表示时刻），又设当为时刻时，位置在处，问：质点在时刻的瞬时速度是多少？为此，可取近邻的时刻，也可取，在由到这一段时间内，质点的平均速度为,显然当与越近，用代替的瞬时速度的效果越佳，特别地，当时，某常值，那么必为点的瞬时速度，此时， 3、同理可讨论质量非均匀分布的细杆的线密度问题，设细杆分布在上的质量是的函数，那么在处的线密度为 二、 导数的定义综合上几个问题，它们均归纳为这一极限（其中为自变量在的增量，为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数.定义：设在点的某邻域内有定义，且当自变量在点有一增量（仍在该邻域中）时，函数相应地有增量，若增量比极限：即存在，就称其值为在点的导数，记为，或.即等等，这时，也称在点可导或有导数，导数存在.注 1：导数的常见形式还有：； ； ； 2：反映的是曲线在上的平均变化率，而是在点的变化率，它反映了函数随而变化的快慢程度. 3：这里与中的与是一个整体记号，而不能视为分子或与分母，待到后面再讨论. 4：若极限即不存在，就称在点不可导.特别地，若，也可称在的导数为，因为此时在点的切线存在，它是垂直于轴的直线.若在开区间内的每一点处均可导，就称在内可导，且对，均有一导数值，这时就构造了一新的函数，称之为在内的导函数，记为，或，等.事实上， 或注 5：上两式中，为内的某一点，一旦选定，在极限过程中就为不变，而与是变量.但在导函数中，是变量. 6：在的导数就是导函数在点的值，不要认为是； 7：为方便起见，导函数就称为导数，而是在点的导数.【例1】 设，证明欲，那么.证明：因为所以.【例2】 若在点可导，问：？解： .反过来，亦证明：.三、求导数举例【例3】 求函数（为常数）的导数.解：在中，不论取何值，起其函数值总为，所以，对应于自变量的增量，有 ，即.注：这里是指在任一点的导数均为0，即导函数为0.【例4】 求（为正整数）在点的导数.解：即，亦即，若将视为任一点，并用代换，即得注：更一般地，（为常数）的导数为，由此可见， , .【例5】 求在点的导数.解： ,即 同理：若视为任意值，并用代换，使得，即.注：同理可证：.【例6】 求的导数.解：所以.注：特别地，.【例7】 求的导数.解：.注 1：等最后讲到反函数求导时，可将作为的反函数来求导； 2：一般地说，求导有四步：一、给出；二、算出；三、求增量比；四、求极限.3、.【例8】 讨论在处的导数.解：考虑，由1.4例4知不存在，故在点不可导. 然而，及，这就提出了一个单侧导数的问题，一般地，若，即即 存在，就称其值为在点的右（左）导数，并记为，即 .定理1：在点可导在点的左导数和右导数均存在，且相等，即 .注1：例8的左导数为-1，右导数为1.因为，所以在点不可导； 2：例8也说明左可导又右可导，也不能保证可导； 3：左、右导数统称为单侧导数； 4：若在内可导，且在点右可导，在点左可导，即存在，就称在上可导.四、 导数的几何意义 由前面的讨论知：函数在的导数就是该曲线在点处的切线斜率，即，或为切线的倾角.从而，得切线方程为.若，或 切线方程为：.过切点，且与点切线垂直的直线称为在点的法线.如果，法线的斜率为，此时，法线的方程为：. 如果=0，法线方程为.【例9】 求曲线在点处的切线与法线方程.解：由于，所以在处的切线方程为： 当时，法线方程为： 当时，法线方程为： .五、 函数的可导性与连续性之间的关系定理2：如果函数在点可导，那么在该点必连续.证明：由条件知：是存在的，其中， 由1、5定理1(i) （为无穷小） 显然当时，有，所以由1、9定义1，即得函数在点连续，证毕.注 1：本定理的逆定理不成立，即连续未必可导. 反例：在点连续，但不可导.【例10】 求常数使得在点可导.解：若使在点可导，必使之连续，故 . 又若使在点可导，必使之左右导数存在，且相等，由函数知，左右导数是存在的，且 所以若有，则，此时在点可导，所以所求常数为 .2.2 函数的和、差、积、商的求导法则一、内容要点1 函数的线性组合、积与商的求导法则 ；2 反函数的导数1 复合函数的求导法则；2 小结基本求导法则与导娄公式：1） 常数和基本初等函数的导数公式；2） 函数的和、差、积、商的求导法则；3） 反函数的求导法则；4） 复合函数的求导法则.二、教学要求和注意点教学要求：1 掌握函数的线性组合、积与商的求导法则与复合函数的链式法则.教学注意点：1 牢记 arcsin x，arccos x，arctan x，arccot x，sinh x，cosh x等15个初等函数的导数，必须做到“倒背如流”.2 在求导法则中，复合函数在链式求导法则是中心，应用时一要弄清函数的复合关系，做到不遗漏，不重复；二是在每步求导时要弄清关于哪一个变量求导（即使这个变量不明显出现），熟练掌握的关键是多做练习.主要内容：定理 1：若函数和在点都可导，则在点也可导，且 .证明： = 所以.注 1：本定理可推广到有限个可导函数上去. 2：本定理的结论也常简记为.定理2：若和在点可导，则在点可导，且有.证明： = = = =即 .注 1：若取为常数，则有：； 2：本定理可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： 等.定理3：若都在点可导，且，则在点也可导，且.证明： = = =即注1：本定理也可通过，及的求导公式来得；2：本公式简化为；3：以上定理13中的，若视为任意，并用代替，使得函数的和、差、积、商的求导函数公式.【例1】 设，求.解： .【例2】 设，求.解：.【例3】反函数的导数定理1：设为的反函数，若在的某邻域内连续，严格单调，且，则在（即点有导数），且.证明： 所以 .注1：，因为在点附近连续，严格单调； 2：若视为任意，并用代替，使得或，其中均为整体记号，各代表不同的意义； 3：和的“”均表示求导，但意义不同； 4：定理1即说：反函数的导数等于直接函数导数的倒数； 5：注意区别反函数的导数与商的导数公式.【例1】 求的导数，解：由于，是的反函数，由定理1得：.注1：同理可证：； 2：.【例2】 求的导数.解：利用指数函数的导数，自己做.二复合函数的求导公式复合函数的求导问题是最最常见的问题，对一复合函数往往有这二个问题：1.是否可导？2.即使可导，导数如何求？复合函数的求导公式解决的就是这个问题.定理2（复合函数求导法则）：如果在点可导，且在 点也可导，那么，以为外函数，以为内函数，所复合的复合函数在点可导，且，或证明： = 所以.注 1：若视为任意，并用代替，便得导函数： ，或 或. 2：与不同，前者是对变量求导，后者是对变量求导，注意区别. 3：注意区别复合函数的求导与函数乘积的求导. 4：复合函数求导可推广到有限个函数复合的复合函数上去，如： 等.【例3】 求的导数.解：可看成与复合而成， .【例4】 求（为常数）的导数.解：是，复合而成的.所以.这就验证了前面2、1的例4.由此可见，初等函数的求导数必须熟悉(i)基本初等函数的求导；(ii)复合函数的分解；(iii)复合函数的求导公式；只有这样才能做到准确.在解题时，若对复合函数的分解非常熟悉，可不必写出中间变量，而直接写出结果.【例5】，求.解：.【例6】，求.解： .【例7】，求.解： = =.【例8】，求.解： .【例9】 ， 即.同理，.【例10】，求.解： .同理： . 初等函数的求导公式1、 常数和基本初等函数的求导公式：（1） （2）（3） （4）（5） （6）（7） （8）（9） （10）（11） （12）（13） （14）（15） （16）（17） （18）（19）（20）（21）（22）2、 函数的四则运算的求导法则：设，则(i) (ii) (iii) (iv) 3、 复合函数的求导法则：设的导数为： 或 或 2.3 高阶导数一、内容要点1 高阶导数的定义；2 一些特殊函数的高阶导数公式；3 两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式.二、教学要求和注意点教学要求：1了解和会求高阶导数；2知道莱布尼兹求导公式：教学注意点：要求学生记住高阶导数 是有用的.主要内容： 前面讲过，若质点的运动方程，则物体的运动速度为，或，而加速度是速度对时间的变化率，即是速度对时间的导数：或，由上可见，加速度是的导函数的导数，这样就产生了高阶导数，一般地，先给出下列定义：定义：若函数的导函数在点可导，就称在点的导数为函数在点处的二阶导数，记为，即，此时，也称函数在点处二阶可导.注1：若在区间上的每一点都二次可导，则称在区间上二次可导，并称为在上的二阶导函数，简称二阶导数； 2：仿上定义，由二阶导数可定义三阶导数，由三阶导数可定义四阶导数，一般地，可由阶导数定义阶导数； 3：二阶以上的导数称为高阶导数，高阶导数与高阶导函数分别记为：，或与或； 4：开始所述的加速度就是对的二阶导数，依上记法，可记或； 5：未必任何函数所有高阶都存在； 6：由定义不难知道，对，其导数（也称为一阶导数）的导数为二阶导数，二阶导数的导数为三阶导数，三阶导数的导数为四阶导数，一般地，阶导数的导数为阶导数，否则，因此，求高阶导数是一个逐次向上求导的过程，无须其它新方法，只用前面的求导方法就可以了.【例1】，求.解：.【例2】，求各阶导数.解：，显然易见，对任何，有， 即.【例3】，求各阶导数.解： 一般地，有，即 . 同样可求得 .【例4】，求各阶导数.解：， ， 一般地，有 即 .【例5】，为任意常数，求各阶导数.解：， ，一般地， 即 .(i) 当为正整数时， a)时，； 时，； 时，；(ii)当为正整数时，必存在一自然数，使得当，在处不存在.如：然而，在处是无意义，即说明在处无导数，或在处不存在.【例6】，求.解： ， ， .注：高阶导数有如下运算法则：(1)，(2)， ， +.其中. Leibinz公式【例7】上例中，求.解： =.【例8】验证满足关系式：（其中为任意常数）.解：所以.【例9】验证满足关系式：.解：又所以.2.4 隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数一、内容要点 1由一般方程F（x,y）=0确定的隐函数的导数：方程两端关于x求导并解出.3 由参数方程 确定的隐函数的导数：=.4 相关变化率：由变量x(t)与y(t)满足的关系式导出两个变化率与之间的关系，从而由其中的一个变化率求得另一个变化率.二、教学要求和注意点教学要求：1 会求由一般方程与参数方程所确定的隐函数的一阶、二阶导数.2 根据实际问题，会建立两个相依变量之间的关系式，进而解决相关变化率问题.教学注意点：要了解隐函数的导数与显函数的导数在形式上的不同：显函数的导数一般是自变量x的表达式；由一般方程F(x,y)=0确定的隐函数的导数中通常既含数则通常是参数t的表达式，对求这两类函数的二阶导数尤其需要学生加强练习，这是很多学生常常出错的地方.主要内容：一、隐函数的导数以前，我们所接触的函数，其因变量大多是由其自变量的某个算式来表示的，比如：等等，象这样一类的函数称为显函数.但在实际问题中，函数并不全是如此，设是定义在区域上的二元函数，若存在一个区域，对于中的每一个的值，恒有区间上唯一的一个值，使之与一起满足方程： （1）就称方程（1）确定了一个定义域为，值域含于中的函数，这个函数就称为由方程（1）所确定的隐函数，若将它记为，则有：在上，.【例1】确定了隐函数：.【例2】能确定出定义在上的函数值不小于0的隐函数，也能确定出定义在上的函数值不大于0的隐函数.上面求的过程是将一个隐函数转化为显函数，也称为隐函数的显化.注 1：在不产生误解的情况下，其取值范围可不必一一指明； 2：并不是任一方程（1）都能确定出隐函数，比如：，不可能找到，使得； 3：即使方程（1）能确定一个隐函数，但未必能象上二例一样从方程中解出，如：，我们可证明它确实能确定一个隐函数，但无法表示成的形式，即不能显化.实际问题中，有时需要计算隐函数的导数，如果隐函数可显化，则求导没什么问题，同前一样，若隐函数不能显化，我们就直接从（1）算出其隐函数的导数.（以后我们还将介绍更一般的方法）.【例3】，求.解：在方程的两边同时对求导，得 .例2求圆在时的切线.解： 因为 可确定两个隐函数，和在x=时，确定了周围上的二个点A(，)和B（，）.欲求和 ,在方程两边求导，得： 所以 所以所求切线为： 和 例3 求笛卡儿（Descartes）叶形线：所确定的隐函数的一阶与二阶导数.解：在方程两边对x求导 （*）对（*）继续求导： 例4 ，求.解： 一般地，设，求 先对两边求对数： ，这就是一个隐函数， 在两边对x求导数： 令 例5 求 的导数.二由参数方程所确定的函数的导数在解析几何里，曲线常可用参数来表示： 一般讲，这个参数方程确定了y是x的函数，如果 具有连续的单调的反函数，那么所确定的函数就是与所复合的函数.若y 可表示成x的某个算式，这时求y对 x的导数较容易，但一般地，不容易求，因此，我们寻找一种直接从参数方程来求导的方法.由，两边求导，得： 这就是直接从参数方程求的公式，由此还有求二阶导数，方法是在：两边再对x 求导：例6设 ，求. 解： 所以.例7 设 求与.解：.三相关变化率（略）2.5函数的微分一、内容要点 1函数在一点处可微及其微分的定义：若自变量x在x0处取得增量后，函数增量可表示为： （其中A与有关而与无关），则称在点处可微，称为在点处的微分，记作.2在处可微在处可导，且或3微分的运算法则： 微分形式的不变性：若，则4微分的意义：表示曲线在点的近旁可用该点处的切线近似代替，即“以直代曲.”5微分的应用：用微分进行近似计算和估计误差.二、教学要求和注意点教学要求：1 理解函数微分的定义、可微的条件并了解微分的意义.2 掌握微分基础公式以及微分运算法则.3 会用一次函数近似表示初等函数并知道绝对误差与相对误差的概念.教学注意点：1要抓住函数可微的定义若在处给出增量后，函数增量可表示为（A与x0有关而与无关），也就是说，函数的增量与自变量增量的线性函数相差的只是的高阶无穷小；线性函数就叫函数（在处）的微分，把握了这点，微分的意义和应用就容易理解了.2要熟练掌握微分的运算法则（包括微分形式的不变性），因为微分的运算法则在以后的章节如“不定积分”、“定积分”及“微分方程”中都将用到.主要内容：一 微分的定义：先观察一个具体的问题，设一边长为x的正方形，它的面积为A是的函数，若边长增加，相应地正方形的面积得到增量：.它是有两部分组成，第一部分是的线形函数，第二部分是的高阶无穷小，由此可见，当很小时，影响正方形面积增量的主要是：，而可忽略不计，因而用近似代替，其误差是的高阶无穷小，即以为边的小正方形的面积.一般地，若为定义在某区间上的函数，为该区间内的一点，当给自变量以一个增量时，函数得到一个增量：.定义：若函数在的增量可表示为的线形函数(A为不依赖的常数)与较高阶的无穷小量两部分之和： .(1)就称函数在点可微，并称为在点的相应于自变量增量 的微分，记为： 或，而.定理：函数在点可微（微分为）的充要条件是函数在可导（导数为）.证：在可微 在的增量可写成 所以在点可导，且.在可导，其中， ，又，所以，所以， 所以在点可微.由此可见，一元函数可微性与可导性是互相等价的.若在区间I上的每一点都可微，就称是I上的可微函数，记在I上的微分为，显然，它不仅依赖，也依赖x.例1求在处的微分，并求此时的微分. 解：（1）（2）例2求的微分. 解： 注：（1）上例说明自变量的增量就是函数的微分，通常称为自变量的微分，记为.从此，的微分又可记为 .（2）（2）说明函数的微分等于函数的导数与自变量微分的乘积.若在（2）式两边同时除以，得 .（3）（3）说明函数的导数等于函数的微分与自变量微分之商.因此，导数亦称微商.以后导数的记号是作为一个整体来看的，现在此记号就可看成是分子为，分母为的分式.二 基本初等函数的微分公式与微分运算法则. . 基本初等函数的微分公式：由（2）知：要求微分知道其导数就行了.因此，由基本初等函数导数公式立即就能得到基本初等函数的微分公式.微分运算法则：另外，也立即能得到微分运算法则.复合函数的微分法则：设，则复合函数的微分为：，又，另一方面，直接从求关于自变量的微分为，二者形式一样，这说明不论是自变量还是中间变量，都有.这一性质称为微分形式不变性.例3求的微分. 解：例4 求 微分.解： 或例5 求的微分解： 例6 在下列括号中填入适当的函数，使等式成立.(1) (2) 三微分的几何意义如图，当自变量由x增加x+到时，函数y=f(x) 相应的增量，又在M（）点，函数的切线的斜率为，从而得：PQ=,MQ=是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量.是曲线在M点的切线上的点的纵坐标的增量，当时，故常用d来代替，用于近似的计算:注1：，当时，若，则相对误差，可见，当越小，则用代替的效果越好！ 2：并非任一函数在处都可微.例7 导出sinx,tgx,ln(1+x),e在x=0处附近的近似计算公式.解：所以同理得tan,ln(1+).微分的运用我们曾讲过用来进行近似计算，在此若令x= x+,则有 f(x)-f(x)=(x- x)f(x)f(x)+(x- x)(1)上式表明，若要计算f(x)的值，可找一邻近于x的点x使f(x),易于计算，然后用(1)近似求出f(x).例1 求的近似值.解：是函数y=在x=0.97处的值，此时，可取x=1,x=0.97x- x=-0.03,又f(x)=1 =()=1+(-0.03)=0.985 (查表：0.9849)在 (1) 中若x=0，且当 |x| 很小时，有公式：f(x) f(0)+f(0) x (2)由此（2）式不难验证：当 |x| 很小时，有 sinxx, tgxx, ln(1+x) x, 1+x, (1+x)1+x等等.微分还可以用于误差估计中，在测量某一量时，所测的结果于精确值有个误差，有误差的结果在计算过程中，必导致所计算的其它量也带有误差，那么如何估计这些误差呢？一般地，设A为某量地精确值，a为所测地近似值，|A-a| 称为其绝对误差，| 称为其相对误差，然而，A经常是无法知道的，但根据使用者的经验，有时能够确定其绝对误差 |A-a| 不超过，即|A-a|，此时，称 叫做测量A的绝对误差限，而叫做A的相对误差限.设，x在测量时测得值为x，且测量的绝对误差限为，即|,当0时由于|=|=|=|称为y 的绝对误差限，称为y 的相对误差限绝对误差限常简称绝对误差，相对误差限也简称为相对误差.例2 已测得一球得直径为43cm，并知在测量中的绝对误差不超过0.2cm，求已此数据计算体积时所产生得误差.解：以此数据算得体积为：V= (43)=333038.14(cm). 3 (43) 0.2=4 (43) 0.2=4647.0438(cm)=0.014.28 / 28