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第一讲 数与式

1。 与实数有关的一些概念
数轴、相反数、绝对值、倒数
2. 乘方、幂、平方根、立方根的概念
3. 幂和方根的运算
4. 乘法公式与因式分解

例1 计算（1）
（2）
例2 某商店上月的营业额是万元，以后两月每月比上月平均增长15％,那么本月的营业额是多少？下月的营业额是多少？
例3 想一想,算一算：
（1)
（2）
你对幂和方根的运算有何体会？
例4 计算
（1） （2)
（3) （4）
根据这些计算，你能得出一个什么样的结论？你会计算吗?
例5 你知道：=
=？
？
=？
你发现它们展开后的结果有什么规律吗？这个规律便是我国宋朝著名的杨辉三角形。

1. 计算
2. 实数，在数轴上的位置如图1—1所示,那么化简的结果是（ ）
A。 B。 C. D。 图1-1
3。 已知，互为相反数，，互为倒数,是非零实数，求的值。
4。 计算

计算：.

我国数学家华罗根在一次出国访问途中，看到飞机邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题，求59319的立方根.华罗根脱颖而出：39. 众人十分惊奇,忙问计算的奥秘。
你知道怎样迅速准确地计算出结果吗？请按照下面提出的问题试一试：
（1）由，，即，，你能确定是几位数吗？
（2)由59319的个位数是9，你能确定的个位数是几吗？
（3）如果划去59319后面的三位319得到59，而，，由此你能确定的十位数是几吗？根据上面的推断，由此可以得出=39。
第二讲 函数及其图像

1. 平面直角坐标系
在平面直角坐标系中,各象限内和坐标轴上点的坐标的特点，关于x轴，y轴及坐标原点对称点的坐标的特点。
2. 函数及其图像
函数的概念，函数的定义域，函数的表示方法.一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数的定义，以及它们的图像和性质。

例1 一个弹簧不挂重物时原长为6cm,弹性限度为10kg。如果挂上5kg的物体后,弹簧伸长到8cm。在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比。求弹簧总长y（单位：cm）与所挂物体质量x（单位:kg）之间的函数关系式，并求所挂物体质量为8kg时弹簧的长度。
例2 如下表，下面有两种移动电话计费方式:
类别
项目
全球通
神州行
月租费
50元/月
0
本地通话费
0.4元/分
0。60元/分
（1）求两种移动电话的通话费y（单位:元)与通话时间x（单位：分）之间的函数关系式;
(2）两种移动电话通话费相等时，通话时间是多少？
（3)若每月通话时间超过300分钟，应选择何种资费方式？
例3 如图2-1,已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数的图像在第一象限内交于C点，CD垂直于x轴于D点，若OA=OB=OD=1.
(1)求点A、B、D的坐标；
（2）求一次函数的解析式;
（3)求点C的坐标及反比例函数的解析式.
例4 已知二次函数，求：
(1)抛物线与x轴、y轴的交点坐标；
（2）抛物线的顶点坐标;
（3)画出此抛物线的图像，利用图像回答下列问题：
①取什么值时，函数值大于零？
②取什么值时，函数值小于零? 图2-1

1. 已知一次函数的图像过点（1，1）与（2，4)，求这个一次函数的解析式。
2. 在平面直角坐标系中，如图2-2,
（1)描出下列各点的位置：A（-2，-2），B（3，3），C（2，2），D（—3，—3），
E（0,0）.你发现这些点有什么特点？你能再找出一些类似的点吗？
（2）若给出下列各点的位置：（-2，2)，（-3，3）,（2，—2），（3，—3），
再回答（1）中的问题.

图2—2
3。 在图2—3所示的平面直角坐标系中，描出下列各组点的位置，并说明它们各有什么
特点？
（1)A（2，1）,B（1,2）;
（2）C（2,1），D（—1，—2）;
（3）E(3，-2）,F（3，2).

图2—3 图2—4
5. 如图2—4，建立平面直角坐标系，使点B，C的坐标分别为（0，0），（4，0)，四边
形CDEF和四边形ABFG都是正方形，写出点A、D、E、F、G的坐标，指出它们所在的象限，并写出AB，CD，EF这三条直线的函数解析式。

笛卡儿，（1596—1650)法国哲学家，数学家，物理学家，解析几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切科学的理论和模型，提出了以数学为基础，以演绎为核心的方法论，对后世的哲学、数学和自然科学的发展起到了巨大的作用。
笛卡儿分析了几何学和代数学的优缺点，表示要寻求一种包含这两门科学的优点而没有它们的缺点的方法，这种方法就是用代数方法来研究几何问题，称为解析几何，用解析几何的方法来研究的一门学科，就叫做解析几何学。《几何学》确定了笛卡儿在数学史上的地位，《几何学》提出了解析几何学的主要思想和方法，标志着解析几何学的诞生,思格斯把它称为数学的转折点，以后人类进入变量数学阶段。
笛卡儿还改进了韦达的符号记法,他用a、b、c……等表示已知数，用x、y、z……等表示未知数，创造了“="， “”等符号，延用至今.
数学思想方法
美国著名数学教育家波利亚说过,掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题,总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来,只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时,才能提出新看法、巧解法.高考试题十分重视对于数学思想方法的考查,特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。
数学试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查：
（1)常用数学方法:配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等；
(2）数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等；
（3）数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；
（4）常用数学思想:函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等.
数学思想方法与数学基础知识相比较,它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容,可以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移,记忆力的减退,将来可能忘记.而数学思想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴,用以对数学问题的认识、处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了，数学思想方法也还是对你起作用。
数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂,它与数学基本方法常常在学习、掌握数学知识的同时获得.
可以说，“知识"是基础，“方法"是手段，“思想"是深化。提高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。

第三讲 直线 射线 线段

1． 直线、射线、线段的概念及基本性质
2． 线段的度量、比较和画法
3． 线段的垂直平分线
4． 线段的和、差、倍、分
5． 平行线等分线段

例１　如图3—1，已知线段a，b（a〉b），求作一条线段使它等于（1）2a+b，
（2）a—b .

例２　已知线段AB=5cm,试在平面内找一点P使得PA=3cm，PB=6cm .
例３　已知任意一条线段a,将它（1）平分; （2）三等分； （3）五等分.

１. 如图3—2，已知三点A、B、C，
（1)画直线AB;
(2)画射线AC；
（3）连接BC 。
图3-2
２. 测量一下你的课本，练习本的长度和宽度（精确到mm）。
３. 任意作出一条线段，将该线段三等分。

４。 作一个边长分别为5cm，6cm，7cm的三角形。 图3-3
５. 想一想，你能将一根长度较短（不超过三个手臂长度）的绳子三等分吗？五等分呢？(不用刻度尺)

名人名言
“书籍是人类进步的阶梯.”  
——高尔基  
“理想的书籍是智慧的钥匙.”  
-—托尔斯泰  
第四讲 角

１。 与角有关的一些概念
角、平角、直角、钝角、锐角、余角和补角及其性质；

图4—1
对顶角及其性质。

图4—2
角也可以看作由一条射线绕它的端点旋转而成的图形。

２。 角的度量、比较和画法 图4-3
角可以用量角器进行度量,角的大小的比较有两种方法：（1）度量法（利用量角器）；（2）叠合法（利用圆规和直尺)，也可以直接将两个角的顶点和其中的一条边重合,然后看另外一条边的位置进行比较，如图4-4所示.

图4-4
３。 角平分线

图4-5 图4—6 图4-7
４。 作角的和、差、倍、分
5。 方位角
一般的方向角都以南北方向为基准线,根据我们对观察目标物时的视线与基准线的夹角而定出它的方向位置。如图4—7,OA方向为北偏西。

例1 如图4-8，直线AB、CD相交于点O，于点O，OF平分，，则下列结论中不正确的是（ ）
A.
B. 与互为补角
C. 图4-8
D。 的余角等于
例2 如图4-9，一束光线垂直照射到水平地面，在地面上放一个平面镜,欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线，则平面镜与地面所成锐角的度数为（ )
A. B. C. D。
例3 如图4—10所示，已知AB//DE，，,则 。
图4-9
例4

（1） （2）
图4-10
例4 作一个角等于已知角。

１。 用一副三角板作出,，，，和的这些角。
2。 已知角，（1)作一个角，使它与已知角相等，（2)作角的平分线，
(3）作一个角,使它等于角的2倍。
３. 想一想，试一试：
通过折纸,如何将平角三等分？你能将平角五等分吗？

王国维的“治学三境界”
昨夜西风凋碧树，独上高楼，望尽天涯路. （晏殊 蝶恋花)，此第一境也。
衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。 （柳永 凤栖梧），此第二境也。
众里寻她千百度，蓦然回首,那人却在灯火阑珊处。 (辛弃疾 青玉案 元夕 ），此第三境也。

第五讲 相交线 平行线

1. 相交线、垂线
2. 平行线，平行线的判定及性质
3. 垂线，平行线的画法

例1 如图5—1所示的四边形中，已知，，，求CD与水平向右方向所夹的角。

图5-1 图5-2
例2 如图5-2，平面镜A与B夹角为，光线MN经平面镜A反射后，射在平面镜B上点P再反射出来，试作出经平面镜B反射后的光线PQ。
例3 如图5-3至图5-6，一张长方形纸沿AB对折,以AB上的点O为顶点将平角五等分，并沿五等分的折线折叠，再沿CD剪开，使展开后的图形为正五角星（正五边形对角线所构成的图形)，则 。

图5—3 图5-4

图5—5 图5—6 图5—7
例4 如果从A看B的方向是南偏西，如图5-7，那么从B看A的方向是（ ）
A。 北偏东 B。 北偏西
C。 北偏东 D. 北偏西
想一想:在上课时，如果你在座位上写了一张学生座次表，你能帮忙写一张供老师上课用的座次表吗?

1. 如图5-8，若AB//EF，,CM平分，，求的度数.
2. 作一个三角形，并作出该三角形的三条高。
3. 尺规作图
(1）过直线外一点P作直线的垂线，
（2)用一副三角板作平行线、垂线，然后用直尺画平行线、垂线，并用一副三角板检验你画得是否准确。 图5-8

如图5—9，观察两条黑色的线是否平行?如果你觉得不平行,自己实际动手画一下，先画出两条平行线，再画若干条相交于一点的直线。看有什么错觉，谁给了你这个错觉？
看图5—10和图5—11这两副图，又带给你什么错觉呢？这就是视觉反应。图5—10，中间的两个圆是相等的；图5-11，中间的两条线段长度是相等的。

图5-9 图5—10 图5-11
按图中要求再看图5—12，你又有什么感觉呢？

图5-12第六讲 三角形

１。 三角形的有关概念
(1）三角形，边，内角(如图6—1）；
（2）三角形的稳定性及其应用;
（3)三角形中的三条重要线段:角平分线、中线、高;
(4)三角形的内心、重心、垂心、外心。
２。 三角形三条边的关系,三角形内、外角关系 图6—1
3。 三角形的分类(按边和按角分类）
４。 等腰三角形、全等三角形的概念,性质及其判定
５. 直角三角形，勾股定理及其逆定理
如图6—2，在中，若，则；反之，在中，若，则。 图6—2

例１　如图6-3，在锐角三角形中,CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若，求的度数。
例２　已知等腰三角形的两边长分别为6cm,3cm，则该等腰三角形的周长是多少？面积是多少？
例３　已知，,，AB=5cm，作出这个三角形,并求这个三角形的面积.
例4 如图6—4，B处在A处的南偏西方向，C处在A处的南偏东方向，C处在B处的北偏东方向,求.

图6-3 图6—4 图6—5
例5 如图6—5，已知:在,，BD平分且交AC于D。
（1）若，求证:AD=BD；
（2)若AP平分且交BD于P,求的度数.

１. 如图6-6，在中，AB=AC，点D在AC边上，且BD=BC=AD，求的度数。

图6-6 图6-7 图6—8
２. 如图6-7,在中， ，沿过点B的一条直线BE折叠，使点C恰好落在AB的中点处，求的度数。
３. 如图6—8，在一个房间内有一个梯子，斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为米，此时梯子的倾斜角为，如果梯子底端不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子顶端距地面的距离NB为米，梯子的倾斜角为,这间房子的宽是多少？
４. 任意画一个三角形，试找出该三角形的内心和外心。

图6—9 图6-10
５. 在中，AB=13cm，BC=10cm，BC边上的中线AD=12cm，求AC

勾股数
古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的数,，，，那么，,为勾股数，你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗?
第七讲 四边形

１. 四边形的有关概念
四边形、边、内角、外角；
四边形的内角和，外角和都是360°；
四边形具有不稳定性。
２. 几种特殊的四边形的概念、性质及其判断
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形。
３。 四边形及其相互关系
四边形
平行四边形
两组对边平行
梯形
一组对边也平行
一个角是直角
一组邻边
相等
矩形
一组邻边相等
菱形
正方形
一个是直角
两腰相等
有一角是直角
直角梯形
等腰梯形

图7—1

例１　将一张矩形纸对折再对折(如图7-2），然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是（ )
A.矩形 B。三角形
C。梯形 D。菱形
例２　如图7-3,四边形ABCD是平行 图7-2
四边形AB=10，AD=8，,AC与
BD相交于O，求AC、OA、BD的长以及平行
四边形ABCD的面积.
例3 如图7-4，四边形AEFD和EBCF都是平行四
边形，求证四边形ABCD是平行四边形。
图7—3
例4 在平面直角坐标系中，如图7—5，四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，点A的坐标为（0,2），求B、C、D的坐标。

图7-4 图7-5

1。 画一个边长为4cm的菱形，同学相互之间比较一下,画得的菱形都相同吗？为什么？
2. 若等腰梯形的底角等于60°,它的两底分别为15cm和29cm，求它的腰长。
3。 对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是（ )
A。正方形 B。菱形 C.矩形 D.等腰梯形
4。 如图7—6，梯形ABCD中，AD∥BC,中位线EF分别与BD、BC交于点G、H,若AD=6,BC=10,则GH=_ _.

图7—6
第八讲 尺规作图

1. 基本作图的概念
在几何里把限定用直尺和圆规来画图称为尺规作图。最基本最常用的尺规作图，称基本作图。
2. 五种基本作图
(1) 作一条线段等于已知线段；
(2) 作一角等于已知角;
(3) 平分已知角;
(4) 经过一点作已知直线的垂线;
(5) 作线段的垂直平分线。

例1 已知线段AB，如图8-1,按下列要求进行尺规作图，保留作图痕迹。
(1) 过点B作BD⊥AB，使BD=AB；
(2) 连结AD，在AD上截取DE=DB；
(3) 在AB上截取AC=AE；
请你回答：这时点C是线段AB的一个___ __点。 图8—1
例2 如图8—2,已知弧AB，求作：
(1) 确定弧AB的圆心O，
(2） 过点A且与圆O相切的直线.

图8-2
例3 已知：∠AOB，点M、N，如图8-3,求作点P，使点P在∠AOB的平分线上，且PM=PN。

图8-3 图8—4
例4 如图8—4，已知直线MN和MN外一点A，请用尺规作图的方法完成下列作图:
(1) 作出以A为圆心且与MN相切的圆；
(2) 在MN上求一点B，使∠ABM=30°.

1. 作一个半径为2cm的圆的内接正六边形。
2. 作一个三角形的外接圆和内切圆.

第九讲 图形与变换

1. 轴对称和轴对称图形
轴对称、对称点、对称轴、轴对称图形。
如线段、等腰三角形、矩形、菱形、圆等都是轴对称图形。
2. 轴对称的性质
（1)关于某条直线对称的两个图形是全等形；
（2）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。
3. 中心对称和中心对称图形
中心对称、对称点、对称中心、中心对称图形.
如线段、平行四边形、矩形、菱形、圆等都是中心对称图形。
4. 中心对称的性质
(1）关于某个点中心对称的两个图形是全等形;
（2）如果两个图形关于某点中心对称,那么对称中心是对应点连线的中点；
（3）如果两个图形关于某点中心对称,那么两个图形上对应线段互相平行，并且相等.
5. 平移与旋转
(1）平移的概念
某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移，它是由平移的方向和距离来确定的.
（2)平移变换的性质
对应线段平行（或共线）且相等；
对应点所连的线段平行且相等。
简单地说，平行性不变,对应线段相等。
(3）图形的旋转
在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向（逆时针或顺时针）转动一定角度，这样的图形运动叫做旋转，这个定点叫做旋转中心，转动的角称为旋转角。
图形的旋转不改变图形的大小和形状,旋转是由旋转中心和旋转角所决定的。旋转中心可以在图形上也可以在图形外，图形旋转的方向可以是顺时针也可以是逆时针的。
前面讨论的轴对称实际上也是一种图形变换。
如计算机处理图像软件中的复制、镜像、旋转命令分别对应于图形变换中的平移，轴对称、旋转.

例1 作△ABC关于直线L对称的图形
例2 已知O为四边形ABCD外一点，
（1）作四边形ABCD关于O点对称的图形;
（2）作四边形ABCD绕O点沿逆时针方向旋转的图形。
例3 如图9—1，四边形ABCD经过平移，顶点A移到点,作平移后的四边形.

图9—1
例4．如图9—2是我国古代数学家赵爽所著的《勾股弦方图注》中所画的图形，它是由
四个相同的直角三角形拼成的,下面关于此图的说法正确的是（ ）
A．它是轴对称图形，但不是中心称图形
B．它是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．它既是轴对称图形,又是中心对称图形
D．它既不是轴对称图形，又不是中心对称图形

（1） （2）
图9-2

1．下列美丽的图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( ）

A B C D
图9—3
2。 下列图形中既是图对称图形，又是中心对称图形是的( ）

图9-4
3。 如图9—5(1）所示，4张扑克牌摆放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得到图9-5（2)所示，那么她所旋转的牌从左数起是（ ）
A．第一张 B.第二张 C.第三张 D。第四张

图9—5（1)

图9—5（2）

美与欣赏
请欣赏自然界中的对称美

（1） （2）
图9—6
第十讲 立体图形

1。 生活中常见的立体图形
生活中常见的立体图形有柱体、锥体和球,其中柱体包括圆柱和棱柱，锥体包括圆锥和棱锥。其图形如图10-1所示
锥体
柱体

圆柱体
棱锥
圆锥
棱柱体

图10-1
2。 常见的几何体
（1）柱体：如长方体、正方体、三棱柱、五棱柱、圆柱等；
（2）锥体：如三棱锥、四棱锥、圆锥等;
(3）球
(4)多面体与正多面体：在多面体中,如长方体、六棱柱分别是六面体和八面体；三棱锥、四棱锥、五棱锥分别是四面体、五面体、六面体。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。如图10—2所示：

正四面体 正六面体 正八面体

正十二面体 正二十面体
图10—2
3.欧拉公式
设F表示多面体的面数,E表示棱数,V表示顶点数,则有公式F+V-E=2。
4。常见几何体的侧面展开图
（1）棱柱：n棱柱的底面是n边形，侧面是n个四边形;
（2）直棱柱：侧面展开图为矩形;
(3)圆柱：侧面展开图为矩形，矩形的长和宽分别是圆柱底面的周长和高；
(4)圆锥:侧面展开图是一个扇形，这个扇形的半径是圆锥母线长,弧长是圆锥底面的圆周长。
5。三视图
三视图：观察一个物体，由于方向和角度不同,可能看到不同的结果,从正面看到的图叫做正视图;从侧面(左面或右面）看到的图叫做侧视图；从上面看到的图叫做俯视图。这三张图,称为三视图。。
注意：①正视图和俯视图的长度相等,且相互对正，即“长对正”；
②正视图和侧视图的高度相等，且相互平齐,即“高平齐”;
③俯视图与侧视图的宽度相等,即“宽相等”.
6。基本几何体的三视图
（1)正方体；
（2）圆柱的三视图中有两个是长方体,另一个是圆；
(3）圆锥的三视图中有两个是三角形,另一个是圆；
（4）球的三视图都是圆。

例1 水平放置的正方体六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图10-3是一个正方体的平面展开图,若图中的“进”表示正方体的前面,“步”表示右面,“习”表示下面,则“祝”“你"“学"分别表示正方体的_______________.

例2 一个凸多面体有12条棱、6个顶点,则这个多面体是几面体?想一想它是一个什么样的立体图形?
例3 下面图10—4中不是正方体展开图的是( ）

图10-4
想一想,正方体还有其它的展开图吗?
例4 如图10—5(1），讲桌上放着一本数学书，书上放着一个粉笔盒，若这个组合图形的俯视图如图10—5（2），则这个组合图形的左视图是( )

图10—5（1） 图10—5（2）
图10-6

1. 设正方体的边长为1,一只蚂蚁从正方体一个顶点A爬行到另一个对角顶点B,如图10-6，求蚂蚁爬行的最近距离。
2. 已知Rt△ABC的斜边AB=5，一条直角AC=3,以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥,求这个圆锥的侧面积.

第十一讲 解直角三角形

1. 锐角三角函数的定义
如图11-1， 在Rt△ABC中
sin A = cos A =
tan A = cot A = 图11-1
（其中sin A ， cos A ， tan A ， cot A 分别表示∠A的正弦、余弦、正切、余切 )
2。 特殊角的三角函数
α
0°
30°
45°
60°
90°
sinα
0

1
cosα
1

0
tanα
0

1

不存在
cotα
不存在

1

0
图11—2
注意：0°和90°的三角函数不适合用锐角三角函数的定义. 但作为特殊角列在该表中，方便记忆。
3。 直角三角形的边角关系
如图11-3，在Rt△ABC中, ∠C =90°,∠A，∠B，∠C 的对边分别为，b，c 。
（1) 三边之间的关系： ² + b² = c² （勾股定理)
（2） 锐角之间的关系： ∠A + ∠B =90°
(3） 边角之间的关系:
cotA=

4。 解直角三角形 图11-3
三角形有六个元素,其中包括三条边和三个内角.直角三角形中除直角外还有5个元素， 即3条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的有已知元素(至少要有一条边） ,求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.
5。 解直角三角形的四种类型及其解法
（1）已知一条直角边和一个锐角(如 ， ∠A）
其解法为:∠B=90°-∠A ， ， （或b=）
(2)已知斜边和一个锐角 (如c, ∠A) 其解法为： ∠B=90°—∠A ， ， （或b=）
(3）已知两直角边a , b ,其解法为：c = , 由得∠A ，
∠B=90°-∠A
（4)已知斜边和一直角边(如c , a ）其解法为： b= , 由, 求出
∠A，∠B=90°-∠A
注意：以上四种类型中除列举的解法外，还有其他解法。在解直角三角形时,若遇到非特殊角，可借助于计算器进行计算。

例1 如图11—4，△ABC中，∠A=30°, tanB= , AC=2, 则AB= .

图11-4
例2 在Rt△ABC中, ∠C=90°, BC=4，AC=3，则COSA的值为 。
例3 已知∠A为锐角,且COSA≤， 那么（ )
A. B.
C。 D。
例4 如图11—5，小明从A 点出发向北偏西40°方向走500m到达B点,小林从A点出发向北偏东20°方向走500m到达C点，下列说法正确的是（ ）
A。 小明在出发地南偏东40°方向500m处
B. 小林在出发地南偏西20°方向500m处
C。 小明在小林南偏西80°方向500m处
D。 小林在小明北偏东10°方向500m处 图11-5
例5 如图11-6， 河对岸有一古塔AB，小敏在C处测得塔顶A的仰角为α，向塔前进S米到达D,在D处测得A的仰角为β,则塔高为（ ）米。

1。 在直角三角形ABC中,∠A=90°，AC=5,AB=12，那么tanB=（ ） 图11—6
2. 如图11-7，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，则∠BCD的正切值为（ )
A． B.
C. D.

图11—7
3. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( )
A。 30° B. 150° C。 60°或120° D。 30°或150°
4. 如图11—8 ,一个人在地面点A处测得前方电线杆顶端P的仰角为30°，当向电线杆方向沿直线前进10米后，在地面B处测得电线杆顶端P的仰角为45°,求电线杆的高度. （已知≈1。414 , ≈1。732 , 结果精确到0.1米)
P

A B C
10米

第十二讲 圆

1。 与圆有关的一些概念
圆，圆心，半径,弦,直径，弧，优弧，劣弧，圆心角，弦心距，圆周角.
2。 圆心角、弧、弦和弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。
说明:圆心不同,半径相等的圆叫等圆。 图12—1
3。 过三点的圆
经过不在同一直线上的三点有且只有一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点。
4。 垂径定理及其推论
圆是轴对称图形,也是中心对称图形。
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对有两条弧.
推论1
（1)平分弦(不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；
（2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
(3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，
并且平分弦所对的另一条弧. 图12-2
推论2 圆的两条平行弦所夹的弧相等。

例1 如图12-3，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E,如果AB=20，CD=16， 那么线段OE的长为( ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

图12-3 图12-4 图12—5
例2 如图12-4,小颖同学在手工制作中,把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上,若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上,则该圆的半径为( ）
A. 3cm B。3cm C.4cm D.4cm
例3 如图12-5，若圆心角∠AOC=100°,则圆周角∠ADC=( )

A. 80° B。 100° C. 130° D。 180°
例4 一种花边是由如图12—6的弓形组成，弧ACB的半径为5 ,弦AB=8,则弓形的