资源描述
习题3-3
1. 按(x-4)的幂展开多项式x4-5x3+x2-3x+4.
解 设f(x)=x4-5x3+x2-3x+4. 因为
f(4)=-56,
f ¢(4)=(4x3-15x2+2x-3)|x=4=21,
f ¢¢(4)=(12x2-30x+2)|x=4=74,
f ¢¢¢(4)=(24x-30)|x=4=66,
f (4)(4)=24,
所以
=-56+21(x-4)+37(x-4)2+11(x-4)3+(x-4)4.
2. 应用麦克劳林公式, 按x幂展开函数f(x)=(x2-3x+1)3.
解 因为
f ¢(x)=3(x2-3x+1)2(2x-3),
f ¢¢(x)=6(x2-3x+1)(2x-3)2+6(x2-3x+1)2=30(x2-3x+1)(x2-3x+2),
f ¢¢¢(x)=30(2x-3)(x2-3x+2)+30(x2-3x+1)(2x-3)=30(2x-3)(2x2-6x+3),
f (4)(x)=60(2x2-6x+3)+30(2x-3)(4x-6)=360(x2-3x+2),
f (5)(x)=360(2x-3),
f (6)(x)=720;
f(0)=1, f ¢(0)=-9, f ¢¢(0)=60, f ¢¢¢(0)=-270,
f (4)(0)=720, f (5)(0)=-1080, f (6)(0)=720,
所以
=1-9x+30x3-45x3+30x4-9x5+x6.
3. 求函数按(x-4)的幂展开的带有拉格朗日型余项的3阶泰勒公式.
解 因为
, , ,
, ,
所以
(0<q<1).
4. 求函数f(x)=ln x按(x-2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n阶泰勒公式.
解 因为
f ¢(x)=x-1, f ¢¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × ,
;
(k=1, 2, × × ×, n+1),
所以
.
5. 求函数按(x+1)的幂展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式.
解 因为
f(x)=x-1, f ¢(x)=(-1)x-2, f ¢¢(x)=(-1)(-2)x-3 , × × × ,
;
(k=1, 2, × × ×, n),
所以
(0<q<1).
6. 求函数f(x)=tan x的带有拉格朗日型余项的3阶麦克劳林公式.
解 因为
f ¢(x)=sec2x,
f ¢¢(x)=2sec x×sec x×tan x=2sec2x×tan x,
f ¢¢¢(x)=4sec x×sec x×tan2x+2sec4x=4sec2x×tan2x+2sec4x,
f (4)(x)=8sec2x×tan3x+8sec4x×tan x+8sec4x×tan x;
f(0)=0, f ¢(0)=1, f ¢¢(0)=0, f ¢¢¢(0)=2,
所以 (0<q<1).
7. 求函数f(x)=xex 的带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式.
解 因为
f ¢(x)=ex+xex,
f ¢¢(x)=ex+ex+xex=2ex+xex,
f ¢¢¢(x)=2ex+ex+xex=3ex+xex, × × ×,
f (n)(x)=nex+xex;
f (k)(0)=k (k=1, 2, × × ×, n),
所以
.
8. 验证当时, 按公式计算ex的近似值时, 所产生的误差小于0.01, 并求的近似值, 使误差小于0.01.
解 因为公式右端为ex的三阶麦克劳林公式, 其余项为
,
所以当时，按公式计算ex的误差
.
.
9. 应用三阶泰勒公式求下列各数的近似值, 并估计误差:
(1);
(2)sin18°.
解 (1)设, 则f(x)在x0=27点展开成三阶泰勒公式为
(x介于27与x之间).
于是
,
其误差为
.
(2) 已知
(x介于0与x之间),
所以 sin 18°,
其误差为
.
10. 利用泰勒公式求下列极限:
(1);
(2);
(3).
解 (1).
因为,, 所以
.
(2)
.
(3)
.
习题3-4
1. 判定函数f(x)=arctan x-x 单调性.
解 因为, 且仅当x=0时等号成立, 所以f(x)在(-¥, +¥)内单调减少.
2. 判定函数f(x)=x+cos x (0£x£2p)的单调性.
解 因为f ¢(x)=1-sin x³0, 所以f(x)=x+cos x在[0, 2p]上单调增加.
3. 确定下列函数的单调区间:
(1) y=2x3-6x2-18x-7;
(2)(x>0);
(3);
(4);
(5) y=(x-1)(x+1)3;
(6);
(7) y=xne-x (n>0, x³0);
(8)y=x+|sin 2x|.
解 (1) y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1)=0, 令y¢=0得驻点x1=-1, x2=3.
列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗
↘
↗
可见函数在(-¥, -1]和[3, +¥)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.
(2) ,令y¢=0得驻点x1=2, x2=-2(舍去).
因为当x>2时, y>0; 当0<x<2时, y¢<0, 所以函数在(0, 2]内单调减少, 在[2, +¥)内单调增加.
(3), 令y¢=0得驻点, x2=1, 不可导点为x=0.
列表得
x
(-¥, 0)
0
(0, )
(, 1)
1
(1, +¥)
y¢
-
不存在
-
0
+
0
-
y
↘
↘
0
↗
↘
可见函数在(-¥, 0), , [1, +¥)内单调减少, 在上单调增加.
(4)因为, 所以函数在(-¥, +¥)内单调增加.
(5) y¢=(x+1)3+3(x-1)(x+1)2. 因为当时, y¢<0; 当时, y¢>0, 所以函数在内单调减少, 在内单调增加.
(6), 驻点为, 不可导点为, x3=a .
列表得
x
a
(a, +¥)
y¢
+
不存在
+
0
-
不存在
+
y
↗
↗
↘
↗
可见函数在, , (a, +¥)内单调增加, 在内单调减少.
(7)y¢=e-xxn-1(n-x), 驻点为x=n. 因为当0<x<n时, y¢>0; 当x>n时, y¢<0, 所以函数在[0, n]上单调增加, 在[n, +¥)内单调减少.
(8)(k=0, ±1, ±2, × × ×),
(k=0, ±1, ±2, × × ×).
y¢是以p为周期的函数, 在[0, p]内令y¢=0, 得驻点, , 不可导点为.
列表得
x
y¢
+
0
-
不存在
+
0
-
y
↗
↘
↗
↘
根据函数在[0, p]上的单调性及y¢在(-¥, +¥)的周期性可知函数在上单调增加, 在上单调减少(k=0, ±1, ±2, × × ×).
4. 证明下列不等式:
(1)当x>0时, ;
(2)当x>0时, ;
(3)当时, sin x+tan x>2x;
(4)当时, ;
(5)当x>4时, 2x>x2;
证明 (1)设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的. 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f (x)>f (0)=0, 即
,
也就是 .
(2)设, 则f (x)在[0, +¥)内是连续的. 因为
,
所以f (x)在(0, +¥)内是单调增加的, 从而当x>0时f(x)>f(0)=0, 即
,
也就是 .
(3)设f(x)=sin x+tan x-2x, 则f(x)在内连续,
f ¢(x)=cos x+sec2x-2.
因为在内cos x-1<0, cos2x-1<0, -cos x<0, 所以f ¢(x)>0, 从而f(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即
sin x+tan x-2x>0,
也就是 sin x+tan x>2x.
(4)设, 则f(x)在内连续,
.
因为当时, tan x>x, tan x+x>0, 所以f ¢(x)在内单调增加, 因此当时, f(x)>f(0)=0, 即
,
也就是 .
(5)设f(x)=x ln2-2ln x, 则f (x)在[4, +¥)内连续, 因为
,
所以当x>4时, f ¢(x)>0, 即f(x)内单调增加.
因此当x>4时, f(x)>f(4)=0, 即x ln2-2ln x>0, 也就是2x>x2.
5. 讨论方程ln x=ax (其中a>0)有几个实根？
解 设f(x)=ln x-ax. 则f(x)在(0, +¥)内连续, , 驻点为.
因为当时, f ¢(x)>0, 所以f(x)在内单调增加; 当时, f ¢(x)<0, 所以f(x)在内单调减少. 又因为当x®0及x®+¥时, f(x)®-¥, 所以如果, 即, 则方程有且仅有两个实根; 如果, 即, 则方程没有实根. 如果, 即, 则方程仅有一个实根.
6. 单调函数的导函数是否必为单调函数？研究下面这个例子:
f(x)=x+sin x .
解 单调函数的导函数不一定为单调函数.
例如f(x)=x+sin x在(-¥,+¥)内是单调增加的, 但其导数不是单调函数. 事实上,
f ¢(x)=1+cos x³0,
这就明f(x)在(-¥, +¥)内是单调增加的. f ¢¢(x)=-sin x在(-¥, +¥)内不保持确定的符号, 故f ¢(x)在(-¥, +¥)内不是单调的.
7. 判定下列曲线的凹凸性:
(1) y=4x-x2 ;
(2) y=sh x;
(3)(x>0);
(4) y=x arctan x ;
解 (1)y¢=4-2x, y¢¢=-2,
因为y¢¢<0, 所以曲线在(-¥, +¥)内是凸的.
(2)y¢=ch x, y¢¢=sh x. 令y¢¢=0, 得x=0.
因为当x<0时, y¢¢=sh x<0; 当x>0时, y¢¢=sh x>0, 所以曲线在(-¥, 0]内是凸的, 在[0, +¥)内是凹的.
(3), .
因为当x>0时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, +¥)内是凹的.
(4),.
因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=xarctg x在(-¥, +¥)内是凹的.
8. 求下列函数图形的拐点及凹或凸的区间:
(1).y=x3-5x2+3x+5 ;
(2) y=xe -x ;
(3) y=(x+1)4+ex ;
(4) y=ln(x2+1);
(5) y=earctan x ;
(6) y=x4(12ln x-7),
解 (1)y¢=3x2-10x+3, y¢¢=6x-10. 令y¢¢=0, 得.
因为当时, y¢¢<0; 当时, y¢¢>0, 所以曲线在内是凸的, 在内是凹的, 拐点为.
(2)y¢=e-x-xe-x, y¢¢=-e-x-e-x+xe-x=e-x(x-2). 令y¢¢=0, 得x=2.
因为当x<2时, y¢¢<0; 当x>2时, y¢¢>0, 所以曲线在(-¥, 2]内是凸的, 在[2, +¥)内是凹的, 拐点为(2, 2e-2).
(3)y¢=4(x+1)3+ex, y¢¢=12(x+1)2+ex .
因为在(-¥, +¥)内, y¢¢>0, 所以曲线y=(x+1)4+ex的在(-¥, +¥)内是凹的, 无拐点.
(4), . 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1.
列表得
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 1)
1
(1, +¥)
y¢¢
-
0
+
0
-
y
Ç
ln2
拐点
È
ln2
拐点
Ç
可见曲线在(-¥, -1]和[1, +¥)内是凸的, 在[-1, 1]内是凹的, 拐点为(-1, ln2)和(1, ln2).
(5),. 令y¢¢=0得, .
因为当时, y¢¢>0; 当时, y¢¢<0, 所以曲线y=earctg x在内是凹的, 在内是凸的, 拐点是.
(6) y¢=4x3(12ln x-7)+12x3, y¢¢=144x2×ln x. 令y¢¢=0, 得x=1.
因为当0<x<1时, y¢¢<0; 当x>1时, y¢¢>0, 所以曲线在(0, 1]内是凸的, 在[1, +¥)内是凹的, 拐点为(1, -7).
9. 利用函数图形的凹凸性, 证明下列不等式:
(1) (x>0, y>0, x¹y, n>1);
(2);
(3) (x>0, y>0, x¹y).
证明 (1)设f(t)=tn, 则f ¢(t)=ntn-1, f ¢¢(t)=n(n-1)t n-2. 因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=t n在区间(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y有
,
即 .
(2)设f(t)=et, 则f ¢(t)=et, f ¢¢(t)=et . 因为f ¢¢(t)>0, 所以曲线f(t)=et在(-¥, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x, yÎ(-¥, +¥), x¹y有
,
即 .
(3)设f(t)=t ln t , 则 f ¢(t)=ln t+1, .
因为当t>0时, f ¢¢(t)>0, 所以函数f(t)=t ln t 的图形在(0, +¥)内是凹的. 由定义, 对任意的x>0, y>0, x¹y 有
,
即 .
10. 试证明曲线有三个拐点位于同一直线上.
证明 , .
令y¢¢=0, 得x1=-1, , .
例表得
x
(-¥. -1)
-1
y¢
-
0
+
0
-
0
+
y
Ç
-1
È
Ç
È
可见拐点为(-1, -1), , . 因为
, ,
所以这三个拐点在一条直线上.
11. 问a、b为何值时, 点(1, 3)为曲线y=ax3+bx2的拐点？
解 y¢=3ax2+2bx, y¢¢=6ax+2b. 要使(1, 3)成为曲线y=ax3+bx2的拐点, 必须y(1)=3且y¢¢(1)=0, 即a+b=3且6a +2b=0, 解此方程组得, .
12. 试决定曲线y=ax3+bx2+cx+d 中的a、b、c、d, 使得x=-2处曲线有水平切线, (1, -10)为拐点, 且点(-2, 44)在曲线上.
解 y¢=3ax2+2bx+c, y¢¢=6ax+2b . 依条件有
, 即.
解之得a=1, b=-3, c=-24, d=16.
13. 试决定y=k(x2-3)2中k的值, 使曲线的拐点处的法线通过原点.
解y¢=4kx3-12kx, y¢¢=12k(x-1)(x+1). 令y¢¢=0, 得x1=-1, x2=1.
因为在x1=-1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=-1时y=4k, 所以点(-1, 4k)是拐点.
因为y¢(-1)=8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, .
同理, 因为在x1=1的两侧y¢¢是异号的, 又当x=1时y=4k, 所以点(1, 4k)也是拐点.
因为y¢(1)=-8k, 所以过拐点(-1, 4k)的法线方程为. 要使法线过原点, 则(0, 0)应满足法线方程, 即, .
因此当时, 该曲线的拐点处的法线通过原点.
14. 设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数, 如果f ¢¢(x 0)=0, 而f ¢¢¢(x0)¹0, 试问 (x0, f(x0))是否为拐点？为什么？
解 不妨设f ¢¢¢(x0)>0. 由f ¢¢¢(x)的连续性, 存在x0的某一邻域(x0-d, x0+d), 在此邻域内有f ¢¢¢(x)>0. 由拉格朗日中值定理, 有
f ¢¢(x)-f ¢¢(x0)=f ¢¢¢(x)(x-x0) (x介于x0与x之间),
即 f ¢¢(x)=f ¢¢¢(x)(x-x0).
因为当x0-d<x<x0时, f ¢¢(x)<0; 当x0<x<x0+d 时, f ¢¢(x)>0, 所以(x0, f(x0))是拐点.
习题3-5
1. 求函数的极值:
(1) y=2x3-6x2-18x+7;
(2) y=x-ln(1+x) ;
(3) y=-x4+2x2 ;
(4);
(5);
(6);
(7) y=ex cos x ;
(8);
(9);
(10) y=x+tan x .
解 (1)函数的定义为(-¥, +¥), y¢=6x2-12x-18=6(x2-2x-3)=6(x-3)(x+1), 驻点为x1=-1, x2=3.
列表
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 3)
3
(3, +¥)
y¢
+
0
-
0
+
y
↗
17极大值
↘
-47极小值
↗
可见函数在x=-1处取得极大值17, 在x=3处取得极小值-47.
(2)函数的定义为(-1, +¥), , 驻点为x=0. 因为当-1<x<0时, y¢<0; 当x>0时, y¢>0, 所以函数在x=0处取得极小值, 极小值为y(0)=0.
(3)函数的定义为(-¥, +¥),
y¢=-4x3+4x=-4x(x2-1), y¢¢=-12x2+4,
令y¢=0, 得x1=0, x2=-1, x3=1.
因为y¢¢(0)=4>0, y¢¢(-1)=-8<0, y¢¢(1)=-8<0, 所以y(0)=0是函数的极小值, y(-1)=1和y(1)=1是函数的极大值.
(4)函数的定义域为(-¥, 1],
,
令y¢=0, 得驻点.
因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以为函数的极大值.
(5)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为.
因为当时, y¢>0; 当时, y¢<0, 所以函数在处取得极大值, 极大值为.
(6)函数的定义为(-¥, +¥), , 驻点为x1=0, x2=-2.
列表
x
(-¥, -2)
-2
(-2, 0)
0
(0, +¥)
y¢
-
0
+
0
-
y
↘
极小值
↗
4极大值
↘
可见函数在x=-2处取得极小值, 在x=0处取得极大值4.
(7)函数的定义域为(-¥, +¥).
y¢=e x(cos x-sin x ), y¢¢=-e xsin x.
令y¢=0, 得驻点, , (k=0, ±1, ±2, × × ×).
因为, 所以是函数的极大值.
因为y¢¢, 所以是函数的极小值.
(8)函数的定义域为(0, +¥),
.
令y¢=0, 得驻点x=e .
因为当x<e时, y¢>0; 当x>e时, y¢<0, 所以为函数f(x)的极大值.
(9)函数的定义域为(-¥, +¥), , 因为y¢<0, 所以函数在(-¥, +¥)是单调
减少的, 无极值.
(10)函数y=x+tg x 的定义域为(k=0, ±1, ±2, × × ×).
因为y¢=1+sec 2x >0, 所以函数f(x)无极值.
2. 试证明: 如果函数y=ax3+bx2+cx +d 满足条件b2 -3ac<0, 那么这函数没有极值 .
证明y¢=3a x2+2b x+c. 由b2 -3ac<0, 知a¹0. 于是配方得到
y¢=3a x2+2b x+c,
因3ac-b2>0, 所以当a>0时, y¢>0; 当a<0时, y¢<0. 因此y=ax3+bx2+cx +d是单调函数, 没有极值.
3. 试问a为何值时, 函数在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.
解 f ¢(x)=acos x+cos 3x, f ¢¢(x)=-asin x-3 sin x.
要使函数f(x)在处取得极值, 必有, 即, a=2 .
当a=2时, . 因此, 当a=2时, 函数f (x)在处取得极值, 而且取得极大值, 极大值为.
4. 求下列函数的最大值、最小值:
(1) y=2x3-3x2 , -1£x£4;
(2) y=x4-8x2+2, -1£x£3 ;
(3), -5£x£1.
解 (1)y¢=6x2-6x=6x(x-1), 令y¢=0, 得x1=0, x2=1. 计算函数值得
y(-1)=-5, y(0)=0, y(1)=-1, y(4)=80,
经比较得出函数的最小值为y(-1)=-5, 最大值为y(4)=80.
(2)y¢=4x3-16x=4x(x2-4), 令y¢=0, 得x1=0, x2=-2(舍去), x 3=2. 计算函数值得
y(-1)=-5, y(0)=2, y(2)=-14, y(3)=11,
经比较得出函数的最小值为y(2)=-14, 最大值为y(3)=11.
(3), 令y¢=0, 得. 计算函数值得
, , y(1)=1,
经比较得出函数的最小值为, 最大值为.
5. 问函数y=2x3-6x2-18x-7(1£x£4)在何处取得最大值？并求出它的最大值.
解 y¢=6x2-12x-18=6(x-3)(x+1), 函数f(x)在1£x£4内的驻点为x=3.
比较函数值:
f(1)=-29, f(3)=-61, f(4)=-47,
函数f(x)在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=-29.
6. 问函数(x<0)在何处取得最小值？
解 , 在(-¥, 0)的驻点为x=-3. 因为
, ,
所以函数在x=-3处取得极小值. 又因为驻点只有一个, 所以这个极小值也就是最小值, 即函数在x=-3处取得最小值, 最小值为.
7. 问函数(x³0)在何处取得最大值？
解 . 函数在(0, +¥)内的驻点为x=1.
因为当0<x<1时, y¢>0; 当x>1时y¢<0, 所以函数在x=1处取得极大值. 又因为函数在
(0, +¥)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在x=1处取得最大值, 最大值为f (1)=.
8. 某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋, 现有存砖只够砌20cm长的墙壁, 问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
解 设宽为x长为y, 则2x+y=20, y=20-2x, 于是面积为
S= xy=x(20-2x)=20x-2x2.
S ¢=20-4x=4(10-x), S ¢¢=-4.
令S ¢=0, 得唯一驻点x=10.
因为S ¢¢(10)-4<0, 所以x=10为极大值点, 从而也是最大值点.
当宽为5米, 长为10米时这间小屋面积最大.
9. 要造一圆柱形油罐, 体积为V, 问底半径r和高h等于多少时, 才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？
解 由V=p r2h, 得h=Vp-1r-2. 于是油罐表面积为
S=2p r2+2p rh(0<x<+¥),
.
令S ¢=0, 得驻点.
因为, 所以S在驻点处取得极小值, 也就是最小值. 这时相应的高为. 底直径与高的比为2r : h=1 : 1.
10. 某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆(如图), 截面的面积为5m2, 问底宽x为多少时才能使截面的周长最小, 从而使建造时所用的材料最省？
解 设矩形高为h , 截面的周长S, 则, . 于是
(),
.
令S ¢=0, 得唯一驻点.
因为, 所以为极小值点, 同时也是最小值点.
因此底宽为时所用的材料最省.
11. 设有重量为5kg的物体, 置于水平面上, 受力F的作用而开始移动(如图). 设摩擦系数m=0.25, 问力F与水平线的交角a为多少时, 才可使力F的大小为最小？
解 由F cos a =(m-Fsin a)m 得
(),
,
驻点为 a = arctan m.
因为F 的最小值一定在内取得, 而F 在内只有一个驻点a = arctan m,
所以a=arctan m一定也是F 的最小值点. 从而当a=arctan0.25=14°时, 力F 最小.
12. 有一杠杆, 支点在它的一端. 在距支点0.1m处挂一重量为49kg的物体. 加力于杠杆的另一端使杠杆保持水平(如图). 如果杠杆的线密度为5kg/m, 求最省力的杆长?
解 设杆长为x (m), 加于杠杆一端的力为F, 则有
, 即.
,
驻点为x=1.4. 由问题的实际意义知, F的最小值一定在(0, +¥)内取得, 而F在(0, +¥)内只有一个驻点x=1.4, 所以F 一定在x=1.4m处取得最小值, 即最省力的杆长为1.4m.
13. 从一块半径为的圆铁片上挖去一个扇形做成一漏斗(如图), 问留下的扇形的中心角j取多大时, 做成的漏斗的容积最大？
解 漏斗的底周长l、底半径r、高h 分别为
l=R×j, , .
漏斗的容积为
(0<j<2p).
，驻点为.
由问题的实际意义, V 一定在(0, 2p)内取得最大值, 而V 在(0, 2p)内只有一个驻点, 所以该驻点一定也是最大值点. 因此当j 时, 漏斗的容积最大.
14. 某吊车的车身高为1.5m, 吊臂长15m, 现在要把一个6m宽、2m高的屋架, 水平地吊到6m高的柱子上去(如图), 问能否吊得上去？
解 设吊臂对地面的倾角为j时, 屋架能够吊到的最大高度为h. 在直角三角形DEDG中
15sin j=(h-1. 5)+2+3tan j,
故 ,
.
令h¢=0得唯一驻点°.
因为, 所以j=54°为极大值点, 同时这也是最大值点.
当j=54°时, m.
所以把此屋最高能水平地吊至7. 5m高, 现只要求水平地吊到6m处, 当然能吊上去.
15. 一房地产公司有50套公寓要出租. 当月租金定为1000元时, 公寓会全部租出去. 当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去, 而租出去的公寓每月需花费100元的维修费. 试问房租定为多少可获最大收入？
解 房租定为x元, 纯收入为R元.
当x£1000时, R=50x-50´100=50x-5000, 且当x=1000时, 得最大纯收入45000元.
当x>1000时,
,
.
令R¢=0得(1000, +¥)内唯一驻点x=1800. 因为, 所以1800为极大值点, 同时也是最大值点. 最大值为R=57800.
因此, 房租定为1800元可获最大收入.
习题3-6
描绘下列函数的图形:
1. ;
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2),
,
令y¢=0, 得x=-2, x=1; 令y¢¢=0, 得x=-1, x=1.
(3)列表
x
(-¥, -2)
-2
(-2, -1)
-1
(-1, 1)
1
(1, +¥)
y¢
-
0
+
+
+
0
+
y¢¢
+
+
+
0
-
0
+
y=f(x)
↘È
极小值
↗È
拐点
↗Ç
2
拐点
↗È
(4)作图:
2. ;
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2)奇函数, 图形关于原点对称, 故可选讨论x³0时函数的图形.
(3), ,
当x³0时, 令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得x=0, .
(4)列表
x
0
(0, 1)
1
(1, )
(, +¥)
y¢
+
+
0
-
-
-
y¢¢
0
-
-
-
0
+
y=f(x)
0
拐点
↗Ç
极大值
↘Ç
拐点
↘È
(5)有水平渐近线y=0;
(6)作图:
3. ;
解 (1)定义域为(-¥, +¥);
(2),
令y¢=0, 得x=1; 令y¢¢=0, 得, .
(3)列表
x
1
y¢
+
+
+
0
-
-
-
y¢¢
+
0
-
-
-
0
+
y=f(x)
↗È
拐点
↗Ç
1
极大值
↘Ç
拐点
↘È
(4)有水平渐近线y=0;
(5)作图:
4. ;
解 (1)定义域为(-¥, 0)È(0, +¥);
(2), ,
令y¢=0, 得; 令y¢¢=0, 得x=-1.
(3)列表
x
(-¥, -1)
-1
(-1, 0)
0
y¢
-
-
-
无
-
0
+
y¢¢
+
0
-
无
+
+
+
y=f(x)
↘È
0
拐点
↘Ç
无
↘È
极小值
↗È
(4)有铅直渐近线x=0;
(5)作图:
5. .
解 (1)定义域为(n=0, ±1, ±2, × × ×)
(2)是偶函数, 周期为2 p . 可先作[0, p]上的图形, 再根据对称性作出[-p, 0)内的图形, 最后根据周期性作出[-p, p]以外的图形;
(3), ,
在[0, p]上, 令y¢=0, 得x=0, x=p ; 令y¢¢=0, 得.
(4)列表
x
0
p
y¢
0
+
无
+
+
+
无
+
0
y¢¢
+
+
无
-
0
+
无
-
-
y=f(x)
1
极小值
↗È
无
↗Ç
0
拐点
↗È
无
↗Ç
-1
极大值
(5)有铅直渐近线及;
(6)作图:
习题3-7
1. 求椭圆4x2+y2=4在点(0, 2)处的曲率.
解 两边对x求导数得
8x+2yy¢=0, , .
y¢|(0, 2)=0, y¢¢|(0, 2)=-2.
所求曲率为
.
2. 求曲线y=lnsec x在点(x, y)处的曲率及曲率半径.
解 , .
所求曲率为
,
曲率半径为
.
3. 求抛物线y=x2-4x+3在其顶点处的曲率及曲率半径.
解 y¢=2x-4, y¢¢=2.
令y¢=0, 得顶点的横坐标为x=2.
y¢|x=2=0, y¢¢|x=
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