广模(理科)试题及详细答案.doc

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．

1. 若复数满足 i，其中i为虚数单位，则的虚部为( )
A． B． C．i D．i
2．若函数是函数的反函数，则的值为( )
A． B． C． D．
3．命题“对任意R，都有”的否定是( )
A．存在R，使得 B．不存在R，使得
C．存在R，使得 D．对任意R，都有
4. 将函数R的图象向左平移个单位长度后得到函数
，则函数 ( )
A．是奇函数 B．是偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数，也不是偶函数
5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，
将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是( )
A． B． C． D．
6．设分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，线段
的中点在轴上，若，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为( )
A． B． C． D．

第1列
第2列
第3列
第4列
第5列
第1行

第2行

第3行

第4行

第5行

…
…
…
…
…
…

8．将正偶数按表的方式进行 排列，记表示第行第列的数，若，则的值为( )
A． B． C． D．

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
9．不等式的解集为 .
10．已知的展开式的常数项是第项，则正整数的值为 .
11．已知四边形是边长为的正方形，若，则的值为 .
12．设满足约束条件 若目标函数的最大值为，则的最大值为 .
13．已知表示不超过的最大整数，例如.设函数，
当N时，函数的值域为集合，则中的元素个数为 .
14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，直线为参数与
圆为参数相切，切点在第一象限，则实数的值为 .
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16.（本小题满分12分） 如图2，在△中，是边的中点，
且，.
(1) 求的值；
（2）求的值.
图

17．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为，，，，由此得到样本的重量频率分布直方图，如图.
（1）求的值；
（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；
（注：设样本数据第组的频率为，第组区间的中点值为，
则样本数据的平均值为.）
（3）从盒子中随机抽取个小球，其中重量在内
的小球个数为，求的分布列和数学期望.

18．（本小题满分14分） 如图，在五面体中，四边形是边长为的正方形，∥平面， ，，.
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值.

图

19．（本小题满分14分）已知数列的前项和为，且，对任意N，都有.
（1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，求数列的前项和.

20．（本小题满分14分）已知定点和直线，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.
(1) 求曲线的方程;
(2) 若点的坐标为, 直线R，且与曲线相交于两点，直线分别交直线于点. 试判断以线段为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由.

21．（满分14分）已知函数R在点处的切线方程为.
（1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：当N，且时，.

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
C
B
C
D
A
C

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9． 10． 11． 12． 13．
14． 15．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
（1）解：在△中，，，
∴. ……………4分
（2）解：由（1）知，，且，
∴. ……………6分
∵是边的中点，
∴.
在△中，，………8分
解得. ……………10分
由正弦定理得，， ……………11分
∴. ……………12分
17．（本小题满分12分）
(1) 解：由题意，得， ……………1分
解得. ……………2分
（2）解：个样本小球重量的平均值为
（克）. ……………3分
由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为克. ……………4分
（3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在内的概率为，则.
……………5分
的取值为， ……………6分
，，
，. ……………10分

∴的分布列为：

……………11分
∴. ……………12分
（或者）
18．（本小题满分14分）
（1）证明：取的中点，连接，则，
∵∥平面，平面，平面平面，
∴∥，即∥. ……………1分
∵
∴四边形是平行四边形. ……………2分
∴∥，.
在Rt△中，，又，得.
∴. ……………3分
在△中，，，，
∴，
∴. ……………4分
∴，即.
∵四边形是正方形，
∴. ……………5分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………6分
（2）证法1：连接，与相交于点，则点是的中点，
取的中点，连接，，
则∥，.
由（1）知∥，且，
∴∥，且.
∴四边形是平行四边形.
∴∥，且 .……………7分
由（1）知平面，又平面，
∴. ……………8分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………9分
∴平面.
∵平面，
∴. ……………10分
∵，平面，平面，
∴平面. ……………11分
∴是直线与平面所成的角. ……………12分
在Rt△中，. ……………13分
∴直线与平面所成角的正切值为. ……………14分
证法2：连接，与相交于点，则点是的中点，
取的中点，连接，，
则∥，.
由（1）知∥，且，
∴∥，且.
∴四边形是平行四边形.
∴∥，且. ……………7分
由（1）知平面，又平面，
∴.
∵，平面，平面，
∴平面.
∴平面. ……………8分
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，则，，，.
∴，，. ……………9分
设平面的法向量为，由，，
得，，得.
令，则平面的一个法向量为. ……………10分
设直线与平面所成角为，
则. ……………11分
∴，. ……………13分
∴直线与平面所成角的正切值为. ……………14分

19．（本小题满分14分）
（1）解法1：当时，，，……1分
两式相减得， ……………3分
即，得. ……………5分
当时，，即. ……………6分
∴数列是以为首项，公差为的等差数列.
∴. ……………7分
解法2：由，得， ……………1分
整理得，， ……………2分
两边同除以得，. ……………3分
∴数列是以为首项，公差为的等差数列.
∴.
∴. ……………4分
当时，. ……………5分
又适合上式， ……………6分
∴数列的通项公式为. ……………7分
（2）解法1：∵，
∴. ……………9分
∴，①
，② ……………11分
①②得.
……………13分
∴. ……………14分
解法2：∵，
∴. ……………9分
∴.
由， ……………11分
两边对取导数得，. ………12分
令，得.
……………13分
∴ . ……………14分
20．（本小题满分14分）
（1）解法1：由题意, 点到点的距离等于它到直线的距离,
故点的轨迹是以点为焦点, 为准线的抛物线. ……………1分
∴曲线的方程为. ……………2分
解法2：设点的坐标为,依题意, 得,
即, ……………1分
化简得.
∴曲线的方程为. ……………2分
(2) 解法1: 设点的坐标分别为，依题意得，.
由消去得，
解得.
∴. ……………3分
直线的斜率，
故直线的方程为. ……………4分
令，得，
∴点的坐标为. ……………5分
同理可得点的坐标为. ……………6分
∴
. ……………7分
∴. ……………8分
设线段的中点坐标为，
则
. ……………9分
∴以线段为直径的圆的方程为.
……………10分
展开得. ……………11分
令，得，解得或. ……………12分
∴以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分
解法2：由（1）得抛物线的方程为.
设直线的方程为，点的坐标为，
由解得 ∴点的坐标为. …………3分
由消去，得，
即，解得或. ……………4分
∴，.
∴点的坐标为. ……………5分
同理，设直线的方程为，
则点的坐标为，点的坐标为. …………6分
∵点在直线上，
∴.
∴. ……………7分
又，得，
化简得. ……………8分
设点是以线段为直径的圆上任意一点，则， ……………9分
得， ……………10分
整理得，. ……………11分
令，得，解得或. ……………12分
∴以线段为直径的圆恒过两个定点. ……………14分
21．（本小题满分14分）
（1）解：∵， ∴.
∵直线的斜率为，且过点， ……………1分
∴即解得. ……………3分
（2）解法1：由（1）得.
当时，恒成立，即，等价于.
……………4分
令，则. ……………5分
令，则.
当时，，函数在上单调递增，故.
……………6分
从而，当时，，即函数在上单调递增，
故. ……………7分
因此，当时，恒成立，则. ……………8分
∴所求的取值范围是. ……………9分
解法2：由（1）得.
当时，恒成立，即恒成立. ……………4分
令，则.
方程（﹡）的判别式.
（ⅰ）当，即时，则时，，得，
故函数在上单调递减.
由于，
则当时，，即，与题设矛盾. …………5分
（ⅱ）当，即时，则时，.
故函数在上单调递减，则，符合题意. ………6分
(ⅲ) 当，即时，方程（﹡）的两根为，
则时，，时，.
故函数在上单调递增，在上单调递减，
从而，函数在上的最大值为. ………7分
而，
由（ⅱ）知，当时，，
得，从而.
故当时，，符合题意. ……………8分
综上所述，的取值范围是. ……………9分
（3）证明：由（2）得，当时，，可化为， …10分
又，
从而，. ……………11分
把分别代入上面不等式，并相加得，

……………12分
……………13分
. ……………14分

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