导数与微分（三）其它求导类型.doc

DDY整理由方程 所确定的 与 间的函数关系称为隐函数。隐函数求导法：两边对 求导（ 是 的函数 ）得到一个关于 的方程，解出 即可。例20 求由方程 所确定的隐函数 的导数。解 方程两边对 求导例21 求由方程 所确定的隐函数 的导数并求 。解 方程两边对 求导 当 时，由方程解出 例22 设 求 。解 原方程为 等号两边对 求导得 ， 例23 求椭圆 在点 处的切线方程。解 ， ， 所以，切线方程为 注： 方程 中，变量 与 的地位是平等的，同样可确定 的一个隐函数 ，所以可求 。先把函数 取自然对数化为隐函数然后求导，这种方法叫对数求导法。例24 设 ，求 解 时， = 例25 设 ，其中 ， 均为可导函数，且 ，求 。解 注 ：幂指函数也可写成复合函数的形式求导 例26 求函数 的导数解 法一 取对数 ， 法二 例27 设 求 。解 例28 设由方程 确定 是 的函数，求 。解 方程两边取对数 等号两边对 求导 注：分段函数的导数，如求 解 在 不连续，所以不可导； 所以 不存在。 高阶导数定义 设 在 的某邻域可导，如果极限 存在，称此极限值为 在 处的二阶导数，也称 在 处二阶可导，记作的导数 称为一阶导， 本身称为零阶导。二阶导 的导数为三阶导，记作 一般 的n阶导记作 或 例1 设 （n为正整数），求 。解 ， ， 例2 求下列函数的 阶导（1） （2） （3） 解 （1） （2） ， ， ，（3） ，例3 设 ，求 解 ， 例4 设 存在二阶导，求 的二阶导。解 ， 例5 设 ，求 解 代入 得当 时， 注 ：书中几个常用函数的n阶导公式要记住，如：参数方程的导数由参数t表示的 与 的函数关系称为函数的参数方程。定理 设有参数方程 ， ， 与 都是可导函数且 ，则当 二阶可导时， 例1 设 ，求 解 ， 也可求出 后，直接 套公式。例2 设 ，求 。解 ，例3 已知椭圆的参数方程为 ，求在 处的切线方程。解 在 处的切线斜率为 当 时，椭圆上相应 点 切线方程为 即 10