1.1.9偏导数与全微分.doc

新编经济应用数学（微分学 积分学）第五版
课题
偏导数与全微分（4学时）
时间
年 月 日
教
学
目
的
要
求
1、 理解偏导数的定义，会求函数的偏导数、二阶偏导数。
2、 会求二元复合函数的偏导数，会求隐函数的偏导数。
3、 会求二元函数的极值、全微分。
4、 了解微分在近似计算中的应用。
重点
会求偏导数
难点
会求偏导数
教
学
方
法
手
段
精讲多练
主
要
内
容
时
间
分
配
一、 偏导数
1、 偏导数 10分钟
2、 偏导函数 5分钟
例1-例3 10分钟
3、 几何意义 5分钟
4、 高阶偏导数 10分钟
例4-例5 10分钟
5、 复合函数的微分法 10分钟
例6 10分钟
6、 隐函数的微分法 10分钟
例7 10分钟

二、二元函数的极值
1、定义 5分钟
2、必要条件 10分钟
3、充分条件 10分钟
例8 10分钟
三、全微分
1、定义 5分钟
2、必要条件 10分钟
3、充分条件 10分钟
例9-例11 10分钟
4、在近似计算中的应用
例12-例13 20分钟

作业

备注

11
1.1.9偏导数与全微分
一、 偏导数
1、 偏导数
设函数在点的某一领域内有定义，当固定在，而在处有增量时，相应地函数有增量，记为。如果

存在，则称此极限值为函数在点处对的偏导数，记为 ，或
即
类似地，函数在点处对的偏导数定义为

记为 ，或
即
2、偏导函数
如果函数在区域内每一点处对的偏导数都存在，那么这个偏导数仍是、的函数，就称它为对自变量的偏导函数，记为，或
即
类似地，可以定义函数对自变量的偏导函数，记为
，或

即
注：
（1）在点处对的偏导数就是偏导函数在点处的函数值；就是偏导函数在点处的函数值。
（2）对偏导数的记号和，不能理解为与或与的商，它只是一个整体记号，与一元函数的导数可看作是两个微分与之商是不同的。
（3）以后在不至于混淆的时候也把偏导函数简称为偏导数。
（4）偏导数的定义可以推广到三元及以上的函数。
（5）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法，因为这里只有一个自变量在变化，而另一个自变量暂时被看作常量，所以仍是一元函数的求导问题。
【例1】求函数在点处的偏导数。
解 因为，
所以

【例2】求函数的偏导数。
解 ，

【例3】求函数的偏导数。
解 ，

注：对于多元函数来说，即使其所有偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点时连续的；而一元函数如果在某点导数存在，则其在该点一定是连续的。如函数
在点处的偏导数存在，即

但在点处不连续。
3、偏导数的几何意义
在空间直角坐标系中，函数表示一曲面，如果把中的固定，设，则表示曲面与平面相交的一曲线。由一元函数导数的几何意义知是交线上点处切线的斜率，即时这条曲线上点处的切线对轴的斜率，这就是偏导数的几何意义。
同理，偏导数的几何意义是曲面与平面相交曲线在处的切线对轴的斜率。

4、高阶偏导数
设函数在区域内有偏导数
，
且在内、都是、的函数。如果这两个函数的偏导数都存在，则它们的偏导数称为的二阶偏导数。依照对变量求导数的次序不同，有下列四个二阶偏导数，分别表示如下：

其中第三、第四个偏导数称为混合偏导数。同样可得到三阶及三阶以上的更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数。
【例4】求函数的二阶偏导数。
解 因为，
所以，

定理1 如果函数的两个二阶混合偏导数、在区域内连续，则在该区域内这两个混合偏导数相等。
注：二阶混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关。

【例5】证明函数满足方程。
解 因为
所以，

所以

因此
5、二元复合函数微分法
设函数，而、都是、的函数，，，于是是、的函数，称函数为与、的复合函数。
定理2 设，在点处有偏导数，在相应点处有连续偏导数，则复合函数在点处有偏导数，且
，
多元复合函数的求导法则可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与中间变量对该自变量的偏导数的乘积之和。这一法则称为锁链法则或链法则。

【例6】设，求，。
解 因为

所以

6、隐函数的微分法
设方程确定了隐函数，将其代入方程，得

两端对求导，得
若，则有
若方程确定了隐函数，将代入方程，得
两端对、求偏导数，得，

若，则有，
【例7】设，求，。
解 令，则
，，
代入公式得

二、 二元函数的极值
1、二元函数极值的定义
如果二元函数对于点的某一领域内所有点，总有
则称为函数的极大值；如果总有

则称为函数的极小值。
函数的极大值与极小值统称为函数的极值。
5、 极值的必要条件
定理3 如果函数在点处有极值，且两个一阶偏导数存在，那么，。
使函数的一阶偏导数同时为零的点，称为驻点。
注：与一元函数类似，驻点不一定时极值点。
6、 极值的充分条件
定理4 如果函数在点的某一领域内有连续的二阶偏导数，且为驻点。记
，,则

（1）当且时，函数在点处有极小值；当且时，函数在点处有极大值。
（2）当时，函数在点处无极值。
（3）当时，函数在点处可能有极值，也可能无极值，另需作讨论。
【例8】求函数的极值。
解 ，
，,
解方程
得两个驻点，
在驻点处，所以点不是极值点；
在驻点处，且所以点是极大值点，极大值为
注：二元可微函数的极值点可能是驻点，也可能是偏导数中至少有一个不存在的点。
三、 全微分
1、 定义
如果二元函数在点处的改变量（称为全微分）可以表示为
其中不依赖于，而仅与有关，。则称函数在点处可微，称为函数在点处的全微分，记为，即
如果函数在区域内的每一点都可微，则称这函数在内可微。

2、 必要条件
定理5 如果函数在点处可微，则函数在该点的偏导数、必存在，且，。即函数在点处的全微分为
3、充分条件
定理6 若函数的偏导数、在点处连续，则函数在点处可微。
【例9】求函数的全微分。
解 因为，
所以
【例10】求函数在点处当时的全增量与全微分。
解 因为
又因为，，所以

【例11】求函数在点处的全微分。
解 因为

所以，

4、 在近似计算中的应用
设二元函数的偏导数，在点处连续，由全微分定义及可微的充分条件可知，当、都很小时，有

【例12】有一金属制成的圆柱体，受热后发生形变，它的半径由增大到，高由增大到，求此圆柱体体积变化的近似值。
解 设圆柱体的半径为，高为，则体积，、，、的改变量分别记为、，、，则

【例13】计算的近似值。
解 设，则，，
取，，，；
则
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