导数与微分（一）导数的概念.doc

DDY整理例1 求曲线 在曲线上的点 处切线的斜率。 图4-1在曲线 上点 的附近另取一点 ，连接 和 得割线 ，当 沿曲线趋于 时,割线 的极限位置称为曲线在点 的切线。令 ， ，则 的斜率为 ，如果存在，则此极限值就是曲线的切线的斜率。设切线的倾角为 ，则从另一角度， 表示 在区间 （或 ）的平均变化率，极限 称为函数 在 的变化率。例2 求变速直线运动的物体的瞬时速度。物体产生的位移 是时间 的函数，设运动方程为 ，求在 时刻的速度。定义 设函数 在点 的邻域内有定义，当自变量 从 变到 时，则函数得相应的增量 ，如果极限存在，则称函数 在点 可导，并称此极限为函数 在点 的导数。记作 ，或 ， ， ， 即 如果记 ，则上式可写为或记 则 如果上述极限不存在，则称函数在点 不可导。例3 设 在 处可导（1） （2） 则 ？解 （1） （2） 例4 设且 则 解 例5 证明： 在处不可导。解 在 处不可导。注意：函数 在（0，0）处的切线存在，斜率为 ，所以函数 在 处有 或 时，有时也称 在 处导数无穷大。图4-2左、右导数 左导数 右导数 显然有， 在 处可导的充要条件是： 在 的左、右导数都存在且相等。例6 讨论函数 在 处的可导性。解 在 可导且 如果函数 在区间 内每一点都可导（闭区间时，左端点须右可导，右端点须左可导），则称函数 在区间 内可导，此时其导数值是随 而变的函数，称为 的导函数，简称导数，记作而 是 的导函数 在 处的函数值。用定义求函数 的导数（函数），可分三步进行：（1）求增量 （2）求比值 （3）求极限 例7 求 （ 为正整数）解 （应用二项式定理） ，所以 一般地有 为任意实数。例8 求 的导数。解 所以 利用导数的定义和基本求导法则求出了常用初等函数的导数，列于书中141页公式表中，请大家背下来。如： , , , , , , .例9 设 ，求 解 定理 如果函数 在点可导，则函数在点连续。因为 在点 可导， 即 ，（增量公式）即 所以 时， 。 在 处连续。注 ：定理的逆不一定成立。既函数 在点 连续，却不一定可导。例10 函数 ，在点 连续，但不可导。所以 在 连续。 图4-3在 处不可导。例11 讨论函数在 处的连续性与可导性。解在 处连续。在 处可导，且 。例12 设 问当 为何值时， 在 连续且可导。解 在 处连续，则 ，在 处可导，则 在点的导数是曲线在点处切线的斜率。所以 在 处的切线方程为 法线方程为 例13 求 在(-1，1)处的切线方程和法线方程。解 ， 切线方程为 法线方程为 例14 设曲线 上的点 处的切线平行于直线 ，求点 的坐标。解 因为曲线在 点的切线平行于 ， 解出 所以 点的坐标为 。