初中数学压轴题--动态几何证明及实验题.doc

动态几何证明及实验题
所谓动态几何是指题设图形中存在一个或多个动点，它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目．解决这类问题的关键是动中求静，灵活运用有关数学知识解决问题．此类题目注重对几何图形运动变化能力的考查．动态几何问题是近几年各地试题中常见的压轴试题，它能考查学生的多种能力，有较强的选拔功能。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。解动态几何题一般方法是针对这些点在运动变化的过程中相伴随着的数量关系（如等量关系、变量关系）、图形位置关系（如图形的特殊状态、图形间的特殊关系）等进行研究考察．抓住变化中的“不变量”，以不变应万变．
实验操作
【要点导航】
通过实验操作——观察猜想——科学论证，使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法. 实验操作探索——理解题意、实验操作是基本保证，观察猜想、探索结论是关键，论证猜想的结论是落实.
【典例精析】
例1 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下：
第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图1；第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B'，得Rt△AB'E，如图2；第三步：沿EB'线折叠得折痕EF，使A点落在EC的延长线上，如图3．利用展开图4探究：
（1）△AEF是什么三角形？证明你的结论；
（2）对于任一矩形，按照上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由．
图1
图2
图3
图4

【思路分析】
1．图形翻折后能重叠部分的图形全等，所以∠BEA=∠AEB'=∠FEC，它们都是60°角，所以△AEF是等边三角形．
2．由操作可知AF>AD时，不能完整折出这种三角形．当图3中的点F、D重合时，便可求得矩形的长与宽的比例为2︰．
解（1）△AEF是等边三角形．由折叠过程可得：．因为BC∥AD，所以．所以△AEF是等边三角形．
　　（2）不一定．当矩形的长恰好等于等边△AEF的边AF时，即矩形的宽∶长＝AB∶AF＝时正好能折出．如果设矩形的长为A，宽为B，可知当时，按此种方法一定能折叠出等边三角形；当时，按此法无法折出完整的等边三角形．
〖方法点睛〗要从操作实验题中抽象出数学模型来，并借助图形运动的基本性质求解．

A
B
C
M
例2 已知：在△ABC中，∠BAC=90°，M为BC中点．操作：将三角板的90°角的顶点与点M重合，并绕着点M旋转，角的两边分别与边AB、AC相交于点E、F．
（1）探究1：线段BE、EF、FC是否能构成三角形？如果可以构成三角形，那么是什么形状的三角形？请证明你的猜想．
（2）探究2：若改变为：“角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F．”其它条件都不变的情况下，那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证明你的猜想．
〖思路分析〗
1．由点M是BC中点，所以构造绕点M旋转180°重合的全等三角形，将线段BE、EF、FC移到同一个三角形中．
标注三角板为阴影
△FCG为阴影
A
B
C
M
E
F
G
2．当角的两边分别与边AB、直线AC相交于点E、F时，构造和证明的方法不变．
标注三角板为阴影
A
B
C
M
E
F
G
图3
△FCG为阴影
△FCG为阴影
A
B
C
M
E
F
G
图2
证明（1）线段BE、EF、FC可以构成直角三角形．如图1，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG．因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为∠EMB =∠GMC，EM=MG，所以△EMB≌△GMC，所以BE=GC，EM=MG，∠B=∠MCG．因为FM垂直平分EG，所以FE=FG．又因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG +∠ACB=90°，即∠FCG=90°，所以，所以．
标注三角板为阴影
（2）如图2，当点F在CA的延长线上时，延长EM到G，使得EM=MG，联结GC、FG．因为M为BC中点，所以BM=CM，又因为∠EMB =∠GMC，EM=EG，所以△EMB≌△GMC，所以BE=GC，EM=MG，∠B=∠MCG．因为FM垂直平分EG，所以FE=FG．又因为∠BAC=90°，所以∠B+∠ACB=90°，所以∠MCG +∠ACB=90°，即∠FCG=90°，所以，所以．
如图3，当点F在AC的延长线上时，同理可证
．
〖方法点睛〗线段之间常见的关系是和差关系或者满足勾股定理．若能将所要求线段移动到同一条直线上，则线段之间是和差关系的可能性较大，若能将所要求线段移动后能构成三角形，则线段之间满足勾股定理的可能性较大．

【星级训练】
第 天 ，年 月 日
1. ★★★如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G．
（1）操作：由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论；
（2）连结DF，如果正方形的边长为2，设AE=，△DFG的面积为，求与之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）如果正方形的边长为2，FG的长为，求点C到直线DE的距离．
D
A
C
B
供试验操作用
G
F
E
D
A
C
B

2. ★★★操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q．
探究：设A、P两点间的距离为x．
（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到结论；
（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点P在线段AC上滑动时，△PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试说明理由．（图5、图6、图7的形状大小相同，图5供操作、实验用，图6和图7备用）
D
A
C
B
图7
D
A
C
B
图6
D
A
C
B
图5

3. ★★★在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）

4. ★★如图，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点的坐标为（2，0），请在图中分别标明B(5,3) 、C(-2,5) 关于直线l的对称点、的位置，并写出他们的坐标：
、 ；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P(a,b)关于第一、三象限的角平分线l的对称点的坐标为 （不必证明）；
运用与拓广：
（3）已知两点D(1,-3)、E(-1,-4)，试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

探索性问题
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．
条件探索
【要点导航】
“探索”是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域之中，数学中的“条件探索”题型，是指命题中缺少一定的题设，需经过推断、补充并加以证明的命题，因而必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，由结论去探索未给予的条件。由于题型新颖、综合性强、结构独特，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用．
【典例精析】
例1 如图，在线段的同侧作正方形和正方形（），连结并延长交于点，过作，垂足为，交于点．设正方形的边长为1．
（1）证明△CMG≌△NBP；

（2）设BE=x，四边形MGBN的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
（3）如果按照题设方法作出的四边形是菱形，求BE的长．
（4）联结PG，若能否成为直角三角形？如果能，求BE的长；
如果不能，请说明理由．
（5）联结AC、AF、CF，求证△ACF的面积为定值．
〖思路分析〗
1．第（3）小题把四边形是菱形作为条件探索BE的长．
2．中∠PBG始终是45°，而∠BPG和∠PGB有可能为90°，要分情况讨论．
3．第（5）小题即可用割补法求也可用利用AC∥BF将△ACF的面积转化为△ABC的面积．
证明（1）因为 正方形ABCD，所以 ，，同理．因为 CD//BE，所以 ，因为 ，垂足为N，所以 ．所以 四边形BCMN是矩形．所以 ，又 因为 ， ，所以 △CMG≌△NBP．
（2）因为 正方形BEFG，所以 ，所以 ．从而 ，所以
．定义域为：．
（3）由已知易得 MN//BC，MG//BP．所以四边形BGMP是平行四边形．要使四边形BGMP是菱形．则BG=MG，所以．解得．所以 时四边形BGMP是菱形．
（4）如图2，当∠PGB＝90°时，BG＝PG＝MC，即，解得，所以BE的长为．如图3，当∠GPB＝90°时，BG＝2MC，即，解得，所以BE的长为．

图4
Q
H
G

图3

图2

（5）如图4：或者，由于
，，因此．所以，．或者因为BF∥AC，所以点B和F到AC的距离相等，即△AFC和△ABC同底等高，所以．
〖方法点睛〗第（5）小题体现了图形运动中的不变性，正方形的边长虽然改变但是△AFC的面积不变．

A
B
C
D
M
N
图3
A
B
C
D
M
N
图1
例2 在等边△ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N．D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC． 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．
A
B
C
D
M
N
图2

（1）如图1所示，当点M、N在边AB、AC上，且DM＝DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ；（不必证明）
（2）如图2所示，点M、N在边AB、AC上，且当DMDN时，猜想（1）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（3） 如图3所示，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN＝2，则Q＝ （用含有L的式子表示）．
〖思路分析〗
1．当DM＝DN时，△BDM和△CDN全等，设BM=CN=a，则，．
2．当DMDN时，在AC的延长线上截取CP＝BM，连接DP，通过两次全等可证BM+NC=MN．所以，．结论依然成立．
3．当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，通过两次全等可证NC—BM=MN．
解（1）BM＋NC＝MN；．
A
B
C
D
M
N
图4
P
（2）（1）问的两个结论任然成立．如图4，在AC的延长线上截取CP＝BM，连接DP，在等边△ABC，∠ABC＝∠ACB＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．，所以∠DBC＝∠DCB＝30°，所以∠DBM＝∠DCP＝90°．在△DBM与△DCP中，CP＝BM，∠DBM＝∠DCP＝90°，DB＝DC，所以△DBM≌△DCP（S．A．S）所以∠BDM＝∠CDP，DM＝DP，因为∠BDC＝120°，∠PDN＝∠CDP＋∠CDN＝∠BDM＋∠CDN＝120°－60°＝60°．在△DMN与△DPN中，DM＝DP，∠MDN＝∠PDN＝60°，DN＝DN，所以△DMN≌△DPN（S．A．S）所以MN＝PN＝NC＋PC＝NC＋BM，所以Q＝AM＋MN＋AN＝（AM＋BM）＋（CN＋AN）＝AB+AC=2AB．而L＝AB+AC+BC=3AB，所以
A
B
C
D
M
N
图5
P
（3）Q＝L＋4．如图5，在AC的上截取CP＝BM，连接DP，同理可证△DCP≌△DBM和△DNP≌△DNM，所以Q=AN+AM+MN= AN+AB +BM +MN = AN+AB +CP +NP =2NC=2（AN+AC）．因为AN＝2，AC=，所以Q=L＋4．
〖方法点睛〗旋转对称图形中构造旋转型全等三角形是常用的方法．

【星级训练】
第 天 ，年 月 日
1. ★★★如图1所示，直线AB交x轴于点A（A，0），交y轴于点B（0，B），且A、B满足．
（1）如图1，若C的坐标为（－1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP＝45°；
图3
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S△BDM－S△ADN的值是否发生改变，如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．
图2
图1

第 天 ，年 月 日
2. ★★★已知、分别是的边、边上的高，是边的中点，分别联结、、．
（1）当时，垂足、分别落在边、上，如图1．求证：．
(2) 当时，垂足、分别落在边、所在的直线上，如图2，问（1）中的结论是否依然成立？无需说明理由，直接写出答案即可；若，试判断的形状，简写解答过程．
（3）设的度数为，的度数为，求与之间的函数关系式．
A
B
C
D
M
E
图2
A
B
C
D
M
E
图1

A
B
C
（备用图）

第 天 ，年 月 日
3. ★★★如图1，已知∠ABC=90°，△ABE是等边三角形，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），连结AP，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连结QE并延长交射线BC于点F.
（1）如图2，当BP=BA时，∠EBF=　　°，猜想∠QFC= °；
（2）如图1，当点P为射线BC上任意一点时，猜想∠QFC的度数，并加以证明；
图1
A
C
B
E
Q
F
P
（3）已知线段AB=，设BP=，点Q到射线BC的距离为y，求y关于的函数关系式．

图2
A
B

E
Q
P
F
C

结论探索
【要点导航】
探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论，需要经过推断，补充并加以证明的题型．探索性问题一般有三种类型：（1）条件探索型问题；（2）结论探索型问题；（3）探索存在型问题．条件探索型问题是指所给问题中结论明确，需要完备条件的题目；结论探索型问题是指题目中结论不确定，不唯一，或题目结论需要类比，引申推广，或题目给出特例，要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．
探索型问题具有较强的综合性，因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识．经常用到的知识是：一元一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法（图象及其性质）、直角三角形的性质、四边形（特殊）的性质、等．其中用几何图形的某些特殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途径．因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力．
【典例精析】
A
B
C
图1
D
N
M
E
例1 如图1，在△ABC中，∠ACB = 90°，AC = BC，AB = 8，CD⊥AB，垂足为点D．M为边AB上任意一点，点N在射线CB上（点N与点C不重合），且MC = MN，NE⊥AB，垂足为点E．当点M在边AB上移动时，试探索线段ME的长是否会改变？说明你的理由．
〖思路分析〗
射线CB包括线段CB和线段CB的延长线两部分，点N在射线CB上运动时，可证明△CMD和△MEN全等，所以线段ME的长始终和线段CD相等，所以不会改变长度．
解：当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．由点N在射线CB上，可知点N在边BC上或点N在边CB的延长线上．
（ⅰ）如图1，如果点N在边BC上，可知点M在线段AD上．因为 AC = BC，∠ACB = 90°，所以 ∠A =∠B = 45°．又因为 AC = BC，CD⊥AB，AB = 8，所以 CD = BD = 4．即得 ．因为 MC = MN，所以 ∠MCN =∠MNC．因为 ∠MCN =∠MCD +∠BCD，∠MNC =∠B +∠BMN，所以 ∠MCD =∠NME．
又因为 CD⊥AB，NE⊥AB，所以 ∠CDM =∠ MEN = 90°．所以 △MCD≌△MNE（A．A．S）．所以 ME = CD = 4．
A
B
C
图2
D
N
M
E
（ⅱ）如图2，如果点N在边CB的延长线上，可知点M在线段BD上，且点E在边AB的延长线上．
因为∠ABC =∠MNC +∠BMN = 45°， ∠BCD =∠MCD +∠MCN = 45°，∠MCN =∠MNC，所以∠MCD =∠BMN．因为MC = MN，∠CDM =∠MEN = 90°，所以△MCD≌△NME（A．A．S）．所以 ME = CD = 4．所以由（ⅰ）、（ⅱ）可知，当点M在边AB上移动时，线段ME的长不变，ME = 4．
〖方法点睛〗点M在AB上和在AB的延长线上，从图1到图2是图形的变式题．随着点M的运动线段之间的关系不变，所以证明思路不变．

B
A
C
D
E
P
F
G

例2 如图，已知在正方形ABCD中，AB = 2，P是边BC上的任意一点，E是边BC延长线上一点，联结AP．过点P作PF⊥AP，与∠DCE 的平分线CF相交于点F．联结AF，与边CD相交于点G，联结PG．
（1）求证：AP = FP；
（2）探索线段BP、DG、PG之间的数量关系，并给出证明过程；
（3）当BP取何值时，PG // CF．
〖思路分析〗
1．过点F作FH⊥BC，结合所给条件无法证明△ABP和△PHF全等．在边AB上截取线段AH，使AH = PC，便可证明△AHP≌△PCF．
2．由第（1）小题的结论得△APF是等腰直角三角形，所以∠PAF=45°，将△ADG绕点A顺时针旋转90°后，BP与DG联结成一条线段，通过全等三角形可证BP 与DG的和等于PG．
3．当PG // CF时，△PCG是等腰直角三角形，由第（2）小题结论得PG=DG+BP，在Rt△PCG中，由勾股定理可求得BP的长．
B
A
C
D
E
P
F
G
图2
H
证明（1）如图2，在边AB上截取线段AH，使AH = PC，联结PH．由正方形ABCD，得∠B =∠BCD =∠D = 90°，AB = BC = AD．因为∠APF = 90°，所以∠APF =∠B．因为∠APC =∠B +∠BAP =∠APF +∠FPC，所以∠PAH =∠FPC．又因为∠BCD =∠DCE = 90°，CF平分∠DCE，所以∠FCE = 45°．所以∠PCF = 135°．又因为AB = BC，AH = PC，所以BH = BP，即得∠BPH =∠BHP = 45°．所以∠AHP = 135°，即得∠AHP =∠PCF．在△AHP和△PCF中，∠PAH =∠FPC，AH = PC，∠AHP =∠PCF，所以△AHP≌△PCF．所以AP = PF．
B
A
C
D
E
P
F
G
M
图3
（2）证明：如图3，延长CB至点M，使BM = DG，联结AM．
由AB = AD，∠ABM =∠D = 90°，BM = DG，得△ADG≌△ABM，即得AG = AM，∠MAB =∠GAD．因为AP = FP，∠APF = 90°，所以∠PAF = 45°．因为∠BAD = 90°，所以∠BAP +∠DAG = 45°，即得∠MAP=∠PAG = 45°．于是，由AM = AG，∠MAP =∠PAG，AP = AP，得△APM≌△APG．所以PM = PG．即得PB + DG = PG．
（3）解：由PG // CF，得∠GPC =∠FCE = 45°．于是，由∠BCD = 90°，得∠GPC =∠PGC = 45°．所以PC = GC．即得DG = BP．设BP = x，则DG = x．由AB = 2，得PC = GC = 2 – x．因为PB + DG = PG，所以PG = 2 x．在Rt△PGC中，∠PCG = 90°，得．即得．解得．所以当时，PG // CF．
〖方法点睛〗本题所需添加的辅助线比较特殊，在旋转型图形如：正方形，等边三角形，等腰直角三角形中较为常见．

【星级训练】
第 天 ，年 月 日
1. ★★已知：在△ABC中，AB=AC，点P在直线BC上，PD⊥AB于点D，PE⊥AC于点E，BH是△ABC的高．
（1）当点P在边BC上时，求证：PD+PE=BH
（2）当点P在边BC的延长线上时，试探索PD、PE和BH之间的数量关系．

第 天 ，年 月 日
2. ★★★已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB、AC、BC的距离分别为H1，H2，H3，△ABC的高为H．“若点P在一边BC上如图（1），此时H3＝0可得结论：H1＋H2＋H3＝H．”请直接应用上述信息解决下列问题：当点P在△ABC内如图（2），以及点P在△ABC外如图（3）这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，H1，H2，H3与H之间又有怎样的关系，请写出你的猜想，不需要证明．

图1
图2
图3

第 天 ，年 月 日
3. ★★★A
B
C
M
N
D

已知在正△ABC中，AB=4，点M是射线AB上的任意一点（点M与点A、B不重合），点N在边BC的延长线上，且AM = CN．联结MN，交直线AC于点D．设AM = x，CD = y．
（1）如图，当点M在边AB上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
（2）当点M在边AB上，且四边形BCDM的面积等于△DCN面积的4倍时，求x的值．
（3）过点M作ME⊥AC，垂足为点E．当点M在射线AB上移动时，线段DE的长是否会改变？请证明你的结论．

第 天 ，年 月 日
A
B
C
P
E
D
300
（图1）
4. ★★★在Rt△ABC中，∠C=900，∠A=300，AB=4，将一个300角的顶点P放在AB边上滑动，保持300角的一边平行于BC，且交边AC于点E，300角的另一边交射线BC于点D，联结ED．
（1）如图1，当四边形PBDE为等腰梯形时，求AP的长；
（2）四边形PBDE有可能为平行四边形吗？若可能，求出PBDE为平行四边形时AP的长；若不可能，说明理由；
（3）若D在BC边上（不与B、C重合），试写出线段AP取值范围。

第 天 ，年 月 日
5. ★★★在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=AD=5cm，BC=11cm，点P从点D出发沿DA边以每秒1cm的速度移动，点Q从点B出发，沿BC边以每秒2cm的速度移动（当点P到达点A时，点P与点Q同时停止移动），假设点P移动的时间为x（秒），四边形ABQP的面积为y（平方厘米）。
A
B
D
C
Q
P
（1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）在移动的过程中，求四边形ABQP的面积与四边形QCDP的面积相等时x的值；
（3）在移动的过程中，是否存在x使得PQ=AB，若存在求出所有的x的值，若不存在请说明理由

6. ★★★★x
y
C
B
A
O
如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，正比例函数（为自变量）的图像与双曲线交于点，且点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）将直线（为自变量）向上平移4个单位得到直线BC，直线BC分别交轴、轴于B、C，如点D在直线BC上，在平面直角坐标系中求一点P，使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形．

A
O
x

C
D
B
y
图1

7. ★★★★如图1，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，点C是线段AB的中点，点D在线段OC上，点D的纵坐标为4．
（1）求点C的坐标和直线AD的解析式；
（2）P是直线AD上的点，请你找一点Q，使以O、A、P、Q这四个点为顶点的四边形是菱形，写出所有满足条件的点Q的坐标．

猜想证明
【要点导航】
此类问题通常由一个特殊图形到一般情况，引出一系列探究的问题．经历对一些命题和结论的猜想、证明、推广的过程，体会知识之间的内在联系，感受特殊到一般、数形结合等数学思想，对学生的想象、思维、归纳、分析都有较高的要求．此类题目变式多，证明方式也不尽相同，可以说是精彩纷呈．借题发挥，拓宽视野，这样做不仅有助于学生综合而灵活的运用知识，而且能不断提高学生独立探究问题解决的能力，更有助于培养学生思维的深刻性与批判性。
【典例精析】
A
B
C
D
E
M
图1
例1 如图1，已知点D在AC上，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形．
A
B
C
D
E
M
图2
（2）将△ADE绕点A逆时针旋转，如图2，（1）中的“△BMD为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由．
A
B
C
D
E
M
图4
（3）将绕点A逆时针旋转，如图3，（1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？（不用说明理由）．
A
B
C
D
E
M
图3
（4）我们是否可以猜想，将绕点A任意旋转一定的角度，如图4，（1）中的“为等腰直角三角形”均成立？
〖思路分析〗
1． 利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证明DM与BM垂直且相等．
2． 将△ADE绕点A转过或时，加倍延长DM，可构造出全等三角形，再利用等腰三角形三线合一的性质可证明为等腰直角三角形．
3． 将△ADE绕点A任意旋转一定的角度时，可以D、M、B为顶点构造正方形再证明为等腰直角三角形．
A
B
C
D
E
M
图5
N
证明（1）因为点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，所以BM=EC=MC，所以∠MBC=∠MCB．所以∠BME=2∠BCM．同理可证：DM=EC=MC，∠EMD=2∠MCD．所以∠BMD=2∠BCA=90°，所以BM=DM．所以△BMD是等腰直角三角形．
（2）第（1）题中的结论仍然成立．如图5，延长DM与BC交于点N，因为DE⊥AB，CB⊥AB，所以∠EDB=∠CBD=90°，所以DE∥BC．所以∠DEM=∠MCN．又因为∠EMD=∠NMC，EM=MC，所以△EDM≌△MNC．所以DM=MN．DE=NC=AD．又AB=BC，所以AB-AD=BC-CN，所以BD=BN．所以BM⊥DM．即∠BMD=90°．因为∠ABC=90°，所以BM=DN=DM．所以△BMD是等腰直角三角形．
（3）成立．
A
B
C
D
E
M
图6
N
P
（4）为等腰直角三角形的结论仍然成立．如图6，过点D作DN⊥DM，使得DN=DM，联结BN、AN．因为∠EDA=∠NDM=90°，所以∠EDM=∠AND，AD=AE，DM=DN，所以△EDM≌△AND．所以AN⊥DM，AN=EM，又因为EM=MC，所以AN =MC．利用三角形内角和可证∠BCM=∠NAB，又因为AB=BC，BM=BN，所以△MBC≌△NBA，所以∠NBA=∠MBC，因为∠ABC=90°，所以∠NBM=90°，联结MN，所以∠BMD=∠BND=90°，所以四边形DNBM是正方形．所以△BMD是等腰直角三角形．
〖方法点睛〗本题还可研究将△ADE绕点A旋转后当C、D、E三点一线，当B、A、D三点一线，E在AC上等多种情况下△BMD都是等腰直角三角形．

例2 点A、B、C在同一直线上，在直线AC的同侧作和，连接AF，CE．取AF、CE的中点M、N，连接BM，BN， MN．
（1）若和是等腰直角三角形，且（如图1），则是
三角形．
（2）在和中，若BA=BE，BC=BF，且，（如图2），则是 三角形，且 ．
（3）若将（2）中的绕点B旋转一定角度，（如图3），其他条件不变，那么（2）中的结论是否成立？ 若成立，给出你的证明；若不成立，写出正确的结论并给出证明．
A
B
C
E
F
M
N
图1

A
B
C
E
F
M
N
图3
A
B
C
E
F
M
N
图2

〖思路分析〗
1．△ABF和△EBC可看作绕点B旋转90°后可重合的两个三角形，BM和BN是对应斜边上的中线，夹角为90°，所以是等腰直角三角形．
2．∠MBN可看作是两个全等三角形△ABF和△EBC对应边上的中线，它们的夹角∠MBN和对应边的夹角∠ABE和∠FBC相等．
3．要证明∠MBN和∠FBC相等，只要证明∠FBM和∠CBN相等，所以要证明△MFB和△NCB全等．
解（1）等腰直角．
（2）等腰、．
（3）结论仍然成立．证明：在△ABF和△EBC中，BA=BE，∠ABF=∠EBC，BF=BC，所以△ABF≌△EBC．所以AF=CE，∠AFB=∠ECB．因为M，N分别是AF、CE的中点，所以FM=CN．所以△MFB≌△NCB．所以BM=BN，∠MBF=∠NBC，所以所以∠MBN+∠FBN=∠FBC+∠FBN，即∠MBN=∠FBC．所以结论依然成立．
〖方法点睛〗从图1到图3是连续的图形变式题．图形由特殊到一般，虽然图形改变，但是证明思路不变．

【星级训练】
第 天 ，年 月 日
1. ★★★如图1，四边形ABCD，将顶点为A的角绕着顶点A顺时针旋转，若角的一条边与DC的延长线交于点F，角的另一条边与CB的延长线交于点E，连接EF．
（1）若四边形ABCD为正方形，当∠EAF=45°时，有EF=DF－BE．请你思考如何证明这个结论（只思考，不必写出证明过程）；
（2）如图2，如果在四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式（只需写出结论）；
（3）如图3，如果四边形ABCD中，AB=AD，∠ABC与∠ADC互补，当∠EAF=∠BAD时，EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式并给予证明．
（4）在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周长（直接写出结果即可）．
A
B
C
D
E
F
图3
A
B
C
D
E
F
图2
A
B
C
D
E
F
图1

第 天 ，年 月 日
2. ★★★在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图1，易证 EG=CG且EG⊥CG．
（1）将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图2，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．
A
B
C
D
E
F
G
图3
（2）将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图3，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．
A
B
C
D
E
F
G
图1
A
B
C
D
E
F
G
图2

第 天 ，年 月 日
3. ★★★已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）
F
B
A
D
C
E
G
图1
F
B
A
C
E
图3
D
F
B
A
D
C
E
G
图2

第 天 ，年 月 日
4. ★★★如图， 已知等边三角形ABC中，点D、E、F分别为边AB、AC、BC的中点，M为直线BC上一动点，△DMN为等边三角形（点M的位置改变时，△DMN也随之整体移动）．
（1）如图1，当点M在点B左侧时，请你连结EN，并判断EN与MF有怎样的数量关系？点F是否在直线NE上？请写出结论，并说明理由；
（2）如图2，当点M在BC上时，其它条件不变，（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
A
E
F
D

B
N
C
M
（3）如图3，若点M在点C右侧时，请你判断（1）的结论中EN与MF的数量关系是否仍然成立? 若成立，请直接写出结论；若不成立，请说明理由．

（图1） （图2） （ 图3）

标注△DAE和△FHG为阴影
实验操作参考答案

G
F
E
D
A
C
B
H
1. 解（1）BF +AG= AE．如图1，过点F作FH⊥DA，垂足为H，因为在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，所以四边形ABFH是矩形．所以FH=AB=DA．因为BD⊥FG，所以∠G=90°–∠ADE=∠DEA．又所以∠DAE=∠FHG=90°