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等差数列的前n项和教学设计
高中数学第二组 匡颖
教材分析
等差数列的前ｎ项和是数列的重要内容，也是数列研究的基本问题．在现实生活中，等差数列的求和是经常遇到的一类问题．等差数列的求和公式，为我们求等差数列的前ｎ项和提供了一种重要方法．
教材首先通过具体的事例，探索归纳出等差数列前ｎ项和的求法，接着推广到一般情况，推导出等差数列的前ｎ项和公式．为深化对公式的理解，通过对具体例子的研究，弄清等差数列的前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系，并能熟练地运用等差数列的前ｎ项和公式解决问题．这节内容重点是探索掌握等差数列的前ｎ项和公式，并能应用公式解决一些实际问题，难点是前ｎ项和公式推导思路的形成．
教学目标
1. 通过等差数列前ｎ项和公式的推导，让学生体验数学公式产生、形成的过程，培养学生抽象概括能力．
2. 理解和掌握等差数列的前ｎ项和公式，体会等差数列的前ｎ项和与二次函数之间的联系，并能用公式解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力和逻辑推理能力．
3. 在研究公式的形成过程中，培养学生的探究能力、创新能力和科学的思维方法．
任务分析
这节内容主要涉及等差数列的前ｎ项公式及其应用．
对公式的推导，为便于学生理解，采取从特殊到一般的研究方法比较适宜，如从历史上有名的求和例子1＋2＋3＋……＋100的高斯算法出发，一方面引发学生对等差数列求和问题的兴趣，另一方面引导学生发现等差数列中任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和等于首项与末项的和这个规律，进而发现求等差数列前ｎ项和的一般方法，这样自然地过渡到一般等差数列的求和问题．对等差数列的求和公式，要引导学生认识公式本身的结构特征，弄清前ｎ项和与等差数列的项、项数、公差之间的关系．为加深对公式的理解和运用，要强化对实例的教学，并通过对具体实例的分析，引导学生学会解决问题的方法．特别是对实际问题，要引导学生从实际情境中发现等差数列的模型，恰当选择公式．对于等差数列前ｎ项和公式和二次函数之间的联系，可引导学生拓展延伸．
教学设计
一、问题情景
1. 在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问: )前9圈一共有多少块石板?

2. 在200多年前，有个10岁的名叫高斯的孩子，在老师提出问题：“1＋2＋3＋…＋100＝？”时，很快地就算出了结果．他是怎么算出来的呢？他发现1＋100＝2＋99＝3＋97＝…＝50＋51＝101，于是1＋2＋…＋100＝101×50＝5050．
3. 受高斯算法启发，你能否求出1＋2＋3＋…＋99的和．
高斯的方法妙在哪里呢？这种方法能否推广到求一般等差数列的前ｎ项和？

二、建立模型
1. 数列的前ｎ项和定义
对于等差数列｛ａn｝，我们称ａ1＋ａ2＋…＋ａn为数列｛ａn｝的前ｎ项和，用Sn表示，即Sn＝ａ1＋ａ2＋…＋ａn．
2. 等差数列的求和公式
（1）如何用高斯算法来推导等差数列的前ｎ项和公式？
对于公差为ｄ的等差数列｛ａn｝：
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an　　　　　　　　　　 ①
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1 ②

由此得到等差数列的前ｎ项和公式

小结：这种方法称为倒序相加法，是数列求和的一种常用方法．
（2）结合通项公式ａn＝ａ1＋（ｎ—1）ｄ，又能得怎样的公式？

（3）两个公式有什么相同点和不同点，各反映了等差数列的什么性质？
学生讨论后，教师总结：相同点是利用二者求和都须知道首项ａ1和项数ｎ；不同点是前者还须要知道ａn，后者还须要知道ｄ．因此，在应用时要依据已知条件合适地选取公式．公式本身也反映了等差数列的性质：前者反映了等差数列的任意的第ｋ项与倒数第ｋ项的和都等于首、末两项之和，后者反映了等差数的前ｎ项和是关于ｎ的没有常数项的“二次函数”．
三、解释应用
［例　题］
例1、在我国古代,9是数字之极,代表尊贵之意,所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计.例如,北京天坛圆丘的地面由扇环形的石板铺成,最高一层的中心是一块天心石,围绕它的第一圈有9块石板,从第二圈开始,每一圈比前一圈多9块,共有9圈.请问: )前9圈一共有多少块石板?
解 由等差数列前n项和公式,得前9圈一共有石板

答 ：第9圈有81块石板,前9圈一共有405块石板.

例2、已知一个等差数列｛an｝的前10项的和是310，前20项的和是1220，由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？
解　由题意知S10＝310，S20＝1 220，
将它们代入公式Sn＝na1＋d，
得到
解方程得
∴Sn＝n×4＋×6＝3n2＋n.
另解：S10＝＝310⇒a1＋a10＝62 ①
S20＝＝1 220⇒a1＋a20＝122 ②
②－①得：a20－a10＝60，
∴10d＝60，∴d＝6，a1＝4.
Sn＝na1＋d＝3n2＋n.
反思与感悟　(1)在解决与等差数列前n项和有关的问题中，要注意方程思想和整体思想的运用；
(2)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二．

［练　习］
训练1　在等差数列{an}中，已知d＝2，an＝11，Sn＝35，求a1和n.

四.小结:
1.推导等差数列前 项和公式的思路；
　　 2.公式的应用中的数学思想.
五．作业 P17第3题