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全国中考数学二次函数的综合中考真题汇总含答案

一、二次函数
1．如图，已知抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其中，.

（1）若直线经过、两点，求直线和抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点，使点到点的距离与到点的距离之和最小，求出点的坐标；
（3）设点为抛物线的对称轴上的一个动点，求使为直角三角形的点的坐标.
【答案】（1）抛物线的解析式为，直线的解析式为.（2）；（3）的坐标为或或或.
【解析】
分析：（1）先把点A，C的坐标分别代入抛物线解析式得到a和b，c的关系式，再根据抛物线的对称轴方程可得a和b的关系，再联立得到方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可得到抛物线解析式；把B、C两点的坐标代入直线y=mx+n，解方程组求出m和n的值即可得到直线解析式；
（2）设直线BC与对称轴x=-1的交点为M，此时MA+MC的值最小．把x=-1代入直线y=x+3得y的值，即可求出点M坐标；
（3）设P（-1，t），又因为B（-3，0），C（0，3），所以可得BC2=18，PB2=（-1+3）2+t2=4+t2，PC2=（-1）2+（t-3）2=t2-6t+10，再分三种情况分别讨论求出符合题意t值即可求出点P的坐标．
详解：（1）依题意得：，解得：，
∴抛物线的解析式为.
∵对称轴为，且抛物线经过，
∴把、分别代入直线，
得，解之得：，
∴直线的解析式为.

（2）直线与对称轴的交点为，则此时的值最小，把代入直线得，
∴.即当点到点的距离与到点的距离之和最小时的坐标为.
（注：本题只求坐标没说要求证明为何此时的值最小，所以答案未证明的值最小的原因）.
（3）设，又，，
∴，，，
①若点为直角顶点，则，即：解得：，
②若点为直角顶点，则，即：解得：，
③若点为直角顶点，则，即：解得：
，.
综上所述的坐标为或或或.
点睛：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数（二次函数和一次函数）的解析式、利用轴对称性质确定线段的最小长度、难度不是很大，是一道不错的中考压轴题．

2．如图，在平面直角坐标系中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：（＜0）的顶点．

（1）求A、B两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；
（3）当△BDM为直角三角形时，求的值．
【答案】（1）A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．S△PBC最大值为
（3）或时，△BDM为直角三角形．
【解析】
【分析】
（1）在中令y=0，即可得到A、B两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，由S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC得到△PBC面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m的值．
【详解】
解：（1）令y=0，则，
∵m＜0，∴，解得：，．
∴A（，0）、B（3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C1的表达式为（），
把C（0，）代入可得，．
∴Ｃ1的表达式为：，即．
设P（p，），
∴ S△PBC = S△POC+ S△BOP–S△BOC=．
∵<0，∴当时,S△PBC最大值为．
（3）由C2可知： B（3，0），D（0，），M（1，），
∴BD2=，BM2=，DM2=．
∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM2+ DM2= BD2，即＋=，
解得：,(舍去)．
当∠BDM=90°时，BD2+ DM2= BM2，即＋=，
解得：，(舍去) ．
综上所述，或时，△BDM为直角三角形．

3．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点A、B，抛物线经过点A和点B，与x轴的另一个交点为C，动点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度向O点运动，同时动点E从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向A点运动，设运动的时间为t秒，0﹤t﹤5.

（1）求抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，以A、D、E为顶点的三角形与△AOB相似；
（3）当△ADE为等腰三角形时，求t的值；
（4）抛物线上是否存在一点F，使得以A、B、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出F点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线的解析式为；
（2）t的值为或；
（3）t的值为或或；
（4）符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.
【解析】
（1）由B、C两点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）利用△ADE∽△AOB和△AED∽△AOB即可求出t的值；（3）过E作EH⊥x轴于点H，过D作DM⊥AB于点M即可求出t的值；（4）分当AD为边时，当AD为对角线时符合条件的点F的坐标.
解：(1)A（6,0），B（0,8），依题意知，解得，
∴.
(2)∵ A（6,0），B（0,8），∴OA=6，OB=8，AB=10，∴AD=t，AE=10-2t，
①当△ADE∽△AOB时，，∴，∴；
②当△AED∽△AOB时，，∴，∴；
综上所述，t的值为或.
(3) ①当AD=AE时，t=10-2t，∴；
②当AE=DE时，过E作EH⊥x轴于点H，则AD=2AH，由△AEH∽△ABO得，AH=，∴，∴；
③当AD=DE时，过D作DM⊥AB于点M，则AE=2AM，由△AMD∽△AOB得，AM=，∴，∴；
综上所述，t的值为或或.
(4) ①当AD为边时，则BF∥x轴，∴，求得x=4，∴F（4，8）；
②当AD为对角线时，则，∴，解得，∵x﹥0，∴，∴.
综上所述，符合条件的点F存在，共有两个（4，8），，-8）.
“点睛”本题考查二次函数综合题、相似三角形等知识，解题的关键是学会待定系数法确定函数解析式，学会分类讨论，用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．

4．如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点C，与过点C且平行于x轴的直线交于另一点，点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线解析式及点D的坐标；
（2）点在轴上，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求此时点的坐标；
（3）过点作直线CD的垂线，垂足为，若将沿翻折，点的对应点为．是否存在点，使恰好落在轴上？若存在，求出此时点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；点坐标为； （2）P1(0,2)； P2(,-2)；P3(,-2) ; （3）满足条件的点有两个，其坐标分别为：（， ），（，）．
【解析】
【分析】
1)用待定系数法可得出抛物线的解析式,令y=2可得出点D的坐标
(2)分两种情况进行讨论,①当AE为一边时,AE∥PD,②当AE为对角线时,根据平行四边形对顶点到另一条对角线距离相等,求解点P坐标
(3)结合图形可判断出点P在直线CD下方,设点P的坐标为(，),分情况讨论,①当P点在y轴右侧时,②当P点在y轴左侧时,运用解直角三角形及相似三角形的性质进行求解即可
【详解】
解：（1）∵抛物线经过，两点，
∴，解得：，，
∴抛物线解析式为：；
当时，，解得：，（舍），即：点坐标为．
（2）∵，两点都在轴上，∴有两种可能：
①当为一边时，∥，此时点与点重合（如图1），∴，
②当为对角线时，点、点到直线（即轴）的距离相等，
∴点的纵坐标为（如图2），

把代入抛物线的解析式，得：，
解得：，，
∴点的坐标为，，
综上所述：； ； ．
（3）存在满足条件的点，显然点在直线下方，设直线交轴于，
点的坐标为（，），
①当点在轴右侧时（如图3），

，
，
又∵，
∴,
又，∴，
∴，
∵，，，∴，∴，
∴，＝＝，
即，∴点的坐标为（，），
②当点在轴左侧时（如图4），

此时，，＝＝，
＝－（）＝，
又∵，，
∴，又
∴，∴，
∵，，，
∴，∴，
∴，
＝＝，
此时，点的坐标为（，）．
综上所述，满足条件的点有两个，其坐标分别为：（，），（，）．
【点睛】
此题考查二次函数综合题，解题关键在于运用待定系数法的出解析式，难度较大

5．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB：y＝kx+b（k＜0，b＞0），与x轴交于点A、与y轴交于点B，直线CD与x轴交于点C、与y轴交于点D．若直线CD的解析式为y＝﹣（x+b），则称直线CD为直线AB的”姊线”，经过点A、B、C的抛物线称为直线AB的“母线”．
（1）若直线AB的解析式为：y＝﹣3x+6，求AB的”姊线”CD的解析式为：　 　（直接填空）；
（2）若直线AB的”母线”解析式为：，求AB的”姊线”CD的解析式；
（3）如图2，在（2）的条件下，点P为第二象限”母线”上的动点，连接OP，交”姊线”CD于点Q，设点P的横坐标为m，PQ与OQ的比值为y，求y与m的函数关系式，并求y的最大值；
（4）如图3，若AB的解析式为：y＝mx+3（m＜0），AB的“姊线”为CD，点G为AB的中点，点H为CD的中点，连接OH，若GH＝，请直接写出AB的”母线”的函数解析式．

【答案】（1）；（2）（2，0）、（0，4）、（﹣4，0）；（3）当m＝﹣，y最大值为；（4）y＝x2﹣2x﹣3．
【解析】
【分析】
（1）由k，b的值以及”姊线”的定义即可求解；
（2）令x＝0，得y值，令y＝0，得x值，即可求得点A、B、C的坐标，从而求得直线CD的表达式；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，
从而求得直线OP的表达式，将直线OP和CD表达式联立并解得点Q坐标，
由此求得，从而求得y＝﹣m2﹣m+3，故当m＝﹣，y最大值为；
（4）由直线AB的解析式可得AB的“姊线”CD的表达式y＝﹣（x+3），令x＝0，得 y值，令y＝0，得x值，可得点C、D的坐标，由此可得点H坐标，同理可得点G坐标，
由勾股定理得：m值，即可求得点A、B、C的坐标，从而得到 “母线”函数的表达式．
【详解】
（1）由题意得：k＝﹣3，b＝6，
则答案为：y＝（x+6）；
（2）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝2或﹣4，
点A、B、C的坐标分别为（2，0）、（0，4）、（﹣4，0），
则直线CD的表达式为：y＝（x+4）＝x+2；
（3）设点P的横坐标为m，则点P（m，n），n＝﹣m2﹣m+4，
则直线OP的表达式为：y＝x，
将直线OP和CD表达式联立得，
解得：点Q（，）
则＝﹣m2﹣m+4，
y＝＝﹣m2﹣m+3，
当m＝﹣，y最大值为；
（4）直线CD的表达式为：y＝﹣（x+3），
令x＝0，则y＝﹣，令y＝0，则x＝﹣3，
故点C、D的坐标为（﹣3，0）、（0，﹣），则点H（﹣，﹣），
同理可得：点G（﹣，），
则GH2＝（+）2+（﹣）2＝（）2，
解得：m＝﹣3（正值已舍去），
则点A、B、C的坐标分别为（1，0）、（0，3）、（﹣3，0），
则“母线”函数的表达式为：y＝a（x﹣1）（x+3）＝a（x2﹣2x﹣3），
即：﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，
故：“母线”函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3．
【点睛】
此题是二次函数综合题目，考查了“姊线”的定义，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，掌握二次函数的有关性质是解答此题的关键.

6．温州茶山杨梅名扬中国，某公司经营茶山杨梅业务，以3万元/吨的价格买入杨梅，包装后直接销售，包装成本为1万元/吨，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（2≤x≤10，单位：吨）之间的函数关系如图所示．
（1）若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨多少万元？
（2）当销售数量为多少时，该经营这批杨梅所获得的毛利润（w）最大？最大毛利润为多少万元？（毛利润＝销售总收入﹣进价总成本﹣包装总费用）
（3）经过市场调查发现，杨梅深加工后不包装直接销售，平均销售价格为12万元/吨．深加工费用y（单位：万元）与加工数量x（单位：吨）之间的函数关系是y＝x+3（2≤x≤10）．
①当该公司买入杨梅多少吨时，采用深加工方式与直接包装销售获得毛利润一样？
②该公司买入杨梅吨数在　 　范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些？

【答案】（1）杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；（2）当x＝8时，此时W最大值＝40万元；（3）①该公司买入杨梅3吨；②3＜x≤8．
【解析】
【分析】
（1）设其解析式为y＝kx+b，由图象经过点（2，12），（8，9）两点，得方程组，即可得到结论；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，根据二次函数的性质即可得到结论；
（3）①根据题意列方程，即可得到结论；②根据题意即可得到结论．
【详解】
（1）由图象可知，y是关于x的一次函数．
∴设其解析式为y＝kx+b，
∵图象经过点（2，12），（8，9）两点，
∴，
解得k＝﹣，b＝13，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+13，
当x＝6时，y＝10，
答：若杨梅的销售量为6吨时，它的平均销售价格是每吨10万元；
（2）根据题意得，w＝（y﹣4）x＝（﹣x+13﹣4）x＝﹣x2+9x，
当x＝﹣＝9时，x＝9不在取值范围内，
∴当x＝8时，此时W最大值＝﹣x2+9x＝40万元；
（3）①由题意得：﹣x2+9x＝9x﹣（x+3）
解得x＝﹣2（舍去），x＝3，
答该公司买入杨梅3吨；
②当该公司买入杨梅吨数在 3＜x≤8范围时，采用深加工方式比直接包装销售获得毛利润大些．
故答案为：3＜x≤8．
【点睛】
本题是二次函数、一次函数的综合应用题，难度较大．解题关键是理清售价、成本、利润三者之间的关系．

7．（10分）（2015•佛山）如图，一小球从斜坡O点处抛出，球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画，斜坡可以用一次函数y=x刻画．

（1）请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）小球的落点是A，求点A的坐标；
（3）连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA，求△POA的面积；
（4）在OA上方的抛物线上存在一点M（M与P不重合），△MOA的面积等于△POA的面积．请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）（2，4）；（2）（，）；（3）；（4）（，）．
【解析】
试题分析：（1）利用配方法抛物线的一般式化为顶点式，即可求出二次函数图象的最高点P的坐标；
（2）联立两解析式，可求出交点A的坐标；
（3）作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．根据S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA，代入数值计算即可求解；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，由于两平行线之间的距离相等，根据同底等高的两个三角形面积相等，可得△MOA的面积等于△POA的面积．设直线PM的解析式为y=x+b，将P（2，4）代入，求出直线PM的解析式为y=x+3．再与抛物线的解析式联立，得到方程组，解方程组即可求出点M的坐标．
试题解析：（1）由题意得，y=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，
故二次函数图象的最高点P的坐标为（2，4）；
（2）联立两解析式可得：，解得：，或．
故可得点A的坐标为（，）；
（3）如图，作PQ⊥x轴于点Q，AB⊥x轴于点B．

S△POA=S△POQ+S△梯形PQBA﹣S△BOA
=×2×4+×（+4）×（﹣2）﹣××
=4+﹣
=；
（4）过P作OA的平行线，交抛物线于点M，连结OM、AM，则△MOA的面积等于△POA的面积．
设直线PM的解析式为y=x+b，
∵P的坐标为（2，4），
∴4=×2+b，解得b=3，
∴直线PM的解析式为y=x+3．
由，解得，，
∴点M的坐标为（，）．

考点：二次函数的综合题

8．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．

【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；（2）线段CD的长为2；（3）M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣（x﹣2）2+，则根据二次函数的性质得到C点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t，则D（2，﹣t），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t，则P（2+t，﹣t），然后把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得到关于t的方程，从而解方程可得到CD的长；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），利用抛物线的平移规律确定E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），当m＞0时，利用梯形面积公式得到•（m++2）•2=8当m＜0时，利用梯形面积公式得到•（﹣m++2）•2=8，然后分别解方程求出m即可得到对应的M点坐标．
【详解】（1）把A（﹣1，0）和点B（0，）代入y=﹣x2+bx+c得
，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+；
（2）∵y=﹣（x﹣2）2+，
∴C（2，），抛物线的对称轴为直线x=2，
如图，设CD=t，则D（2，﹣t），
∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t，
∴P（2+t，﹣t），
把P（2+t，﹣t）代入y=﹣x2+2x+得﹣（2+t）2+2（2+t）+=﹣t，
整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，
∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，），D点坐标为（2，），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移个单位，
而P点（4，）向左平移2个单位，向下平移个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），
设M（0，m），
当m＞0时，•（m++2）•2=8，解得m=，此时M点坐标为（0，）；
当m＜0时，•（﹣m++2）•2=8，解得m=﹣，此时M点坐标为（0，﹣）；
综上所述，M点的坐标为（0，）或（0，﹣）．

【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.

9．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线y=x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=﹣1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）知F（x0，y0）为平面内一定点，M（m，n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣x+1．（2）点P的坐标为（，﹣1）．（3）定点F的坐标为（2，1）．
【解析】
分析：（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0，由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组，解之即可求出顶点F的坐标．
详解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0），
设抛物线的解析式为y=a（x-2）2．
∵该抛物线经过点（4，1），
∴1=4a，解得：a=，
∴抛物线的解析式为y=（x-2）2=x2-x+1．
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
，解得：，，
∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）．
作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）．

∵点B（4，1），直线l为y=-1，
∴点B′的坐标为（4，-3）．
设直线AB′的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（1，）、B′（4，-3）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴直线AB′的解析式为y=-x+，
当y=-1时，有-x+=-1，
解得：x=，
∴点P的坐标为（，-1）．
（3）∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，
∴（m-x0）2+（n-y0）2=（n+1）2，
∴m2-2x0m+x02-2y0n+y02=2n+1．
∵M（m，n）为抛物线上一动点，
∴n=m2-m+1，
∴m2-2x0m+x02-2y0（m2-m+1）+y02=2（m2-m+1）+1，
整理得：（1--y0）m2+（2-2x0+2y0）m+x02+y02-2y0-3=0．
∵m为任意值，
∴，
∴，
∴定点F的坐标为（2，1）．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）利用两点之间线段最短找出点P的位置；（3）根据点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于x0、y0的方程组．

10．（2017南宁，第26题，10分）如图，已知抛物线与坐标轴交于A，B，C三点，其中C（0，3），∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N．
（1）直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
（2）点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
（3）证明：当直线l绕点D旋转时，均为定值，并求出该定值．

【答案】（1）a=，A（﹣，0），抛物线的对称轴为x=；（2）点P的坐标为（，0）或（，﹣4）；（3）．
【解析】
试题分析：（1）由点C的坐标为（0，3），可知﹣9a=3，故此可求得a的值，然后令y=0得到关于x的方程，解关于x的方程可得到点A和点B的坐标，最后利用抛物线的对称性可确定出抛物线的对称轴；
（2）利用特殊锐角三角函数值可求得∠CAO=60°，依据AE为∠BAC的角平分线可求得∠DAO=30°，然后利用特殊锐角三角函数值可求得OD=1，则可得到点D的坐标．设点P的坐标为（，a）．依据两点的距离公式可求得AD、AP、DP的长，然后分为AD=PA、AD=DP、AP=DP三种情况列方程求解即可；
（3）设直线MN的解析式为y=kx+1，接下来求得点M和点N的横坐标，于是可得到AN的长，然后利用特殊锐角三角函数值可求得AM的长，最后将AM和AN的长代入化简即可．
试题解析：（1）∵C（0，3），∴﹣9a=3，解得：a=．
令y=0得：，∵a≠0，∴，解得：x=﹣或x=，∴点A的坐标为（﹣，0），B（，0），∴抛物线的对称轴为x=．
（2）∵OA=，OC=3，∴tan∠CAO=，∴∠CAO=60°．
∵AE为∠BAC的平分线，∴∠DAO=30°，∴DO=AO=1，∴点D的坐标为（0，1）．
设点P的坐标为（，a）．
依据两点间的距离公式可知：AD2=4，AP2=12+a2，DP2=3+（a﹣1）2．
当AD=PA时，4=12+a2，方程无解．
当AD=DP时，4=3+（a﹣1）2，解得a=0或a=2（舍去），∴点P的坐标为（，0）．
当AP=DP时，12+a2=3+（a﹣1）2，解得a=﹣4，∴点P的坐标为（，﹣4）．
综上所述，点P的坐标为（，0）或（，﹣4）．
（3）设直线AC的解析式为y=mx+3，将点A的坐标代入得：，解得：m=，∴直线AC的解析式为．
设直线MN的解析式为y=kx+1．
把y=0代入y=kx+1得：kx+1=0，解得：x=，∴点N的坐标为（，0），∴AN==．
将与y=kx+1联立解得：x=，∴点M的横坐标为．
过点M作MG⊥x轴，垂足为G．则AG=．

∵∠MAG=60°，∠AGM=90°，∴AM=2AG==，∴= == =．
点睛：本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，分类讨论是解答问题（2）的关键，求得点M的坐标和点N的坐标是解答问题（3）的关键．

11．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点，与x轴另一交点为A．点P以每秒个单位长度的速度在线段BC上由点B向点C运动（点P不与点B和点C重合），设运动时间为t秒，过点P作x轴垂线交x轴于点E，交抛物线于点M．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，过点P作y轴垂线交y轴于点N，连接MN交BC于点Q，当时，求t的值；
（3）如图②，连接AM交BC于点D，当△PDM是等腰三角形时，直接写出t的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+3x+4；（2）t的值为；（3）当△PDM是等腰三角形时，t＝1或t＝﹣1．
【解析】
【分析】
（1）求直线y=-x+4与x轴交点B，与y轴交点C，用待定系数法即求得抛物线解析式．
（2）根据点B、C坐标求得∠OBC=45°，又PE⊥x轴于点E，得到△PEB是等腰直角三角形，由t求得BE=PE=t，即可用t表示各线段，得到点M的横坐标，进而用m表示点M纵坐标，求得MP的长．根据MP∥CN可证，故有，把用t表示的MP、NC代入即得到关于t的方程，求解即得到t的值．
（3）因为不确定等腰△PDM的底和腰，故需分3种情况讨论：①若MD=MP，则∠MDP=∠MPD=45°，故有∠DMP=90°，不合题意；②若DM=DP，则∠DMP=∠MPD=45°，进而得AE=ME，把含t的式子代入并解方程即可；③若MP=DP，则∠PMD=∠PDM，由对顶角相等和两直线平行内错角相等可得∠CFD=∠PMD=∠PDM=∠CDF进而得CF=CD．用t表示M的坐标，求直线AM解析式，求得AM与y轴交点F的坐标，即能用t表示CF的长．把直线AM与直线BC解析式联立方程组，解得x的值即为点D横坐标．过D作y轴垂线段DG，得等腰直角△CDG，用DG即点D横坐标，进而可用t表示CD的长．把含t的式子代入CF=CD，解方程即得到t的值．
【详解】
（1）直线y＝﹣x+4中，当x＝0时，y＝4
∴C（0，4）
当y＝﹣x+4＝0时，解得：x＝4
∴B（4，0）
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过B，C两点
∴ 解得：
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4
（2）∵B（4，0），C（0，4），∠BOC＝90°
∴OB＝OC
∴∠OBC＝∠OCB＝45°
∵ME⊥x轴于点E，PB＝t
∴∠BEP＝90°
∴Rt△BEP中，
∴，
∴
∵点M在抛物线上
∴，
∴ ，
∵PN⊥y轴于点N
∴∠PNO＝∠NOE＝∠PEO＝90°
∴四边形ONPE是矩形
∴ON＝PE＝t
∴NC＝OC﹣ON＝4﹣t
∵MP∥CN
∴△MPQ∽△NCQ
∴
∴
解得：（点P不与点C重合，故舍去）
∴t的值为
（3）∵∠PEB＝90°，BE＝PE
∴∠BPE＝∠PBE＝45°
∴∠MPD＝∠BPE＝45°
①若MD＝MP，则∠MDP＝∠MPD＝45°
∴∠DMP＝90°，即DM∥x轴，与题意矛盾
②若DM＝DP，则∠DMP＝∠MPD＝45°
∵∠AEM＝90°
∴AE＝ME
∵y＝﹣x2+3x+4＝0时，解得：x1＝﹣1，x2＝4
∴A（﹣1，0）
∵由（2）得，xM＝4﹣t，ME＝yM＝﹣t2+5t
∴AE＝4﹣t﹣（﹣1）＝5﹣t
∴5﹣t＝﹣t2+5t
解得：t1＝1，t2＝5（0＜t＜4，舍去）

③若MP＝DP，则∠PMD＝∠PDM
如图，记AM与y轴交点为F，过点D作DG⊥y轴于点G
∴∠CFD＝∠PMD＝∠PDM＝∠CDF
∴CF＝CD
∵A（﹣1，0），M（4﹣t，﹣t2+5t），设直线AM解析式为y＝ax+m
∴ 解得： ，
∴直线AM：
∴F（0，t）
∴CF＝OC﹣OF＝4﹣t
∵tx+t＝﹣x+4，解得：，
∴，
∵∠CGD＝90°，∠DCG＝45°
∴，
∴
解得：
综上所述，当△PDM是等腰三角形时，t＝1或．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，解二元一次方程组和一元二次方程，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，涉及等腰三角形的分类讨论，要充分利用等腰的性质作为列方程的依据．

12．已知函数（为常数）
（1）当，
①点在此函数图象上，求的值；
②求此函数的最大值．
（2）已知线段的两个端点坐标分别为，当此函数的图象与线段只有一个交点时，直接写出的取值范围．
（3）当此函数图象上有4个点到轴的距离等于4，求的取值范围．
【答案】（1）①②；（2），时，图象与线段只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或．
【解析】
【分析】
（1）①将代入；②当时，当时有最大值为5；当时，当时有最大值为；故函数的最大值为；
（2）将点代入中，得到，所以时，图象与线段只有一个交点；将点）代入和中，得到，
所以时图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，得到；当时，，得到，当时，，．
【详解】
解：（1）当时，
，
①将代入，
∴；
②当时，当时有最大值为5；
当时，当时有最大值为；
∴函数的最大值为；
（2）将点代入中，
∴，
∴时，图象与线段只有一个交点；
将点代入中，
∴，
将点代入中，
∴，
∴时图象与线段只有一个交点；
综上所述：，时，图象与线段只有一个交点；
（3）当时，，
，∴；
当时，，
，∴，
当时，，
；
∴函数图象上有4个点到轴的距离等于4时，或．
【点睛】
考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.

13．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=﹣x2+x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；（3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
【解析】
分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x-2，则Q（m，-m2+m+2）、M（m，m-2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB∽△MBQ得，再证△MBQ∽△BPQ得，即，解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，易得点Q坐标．
详解：（1）由抛物线过点A（-1，0）、B（4，0）可设解析式为y=a（x+1）（x-4），
将点C（0，2）代入，得：-4a=2，
解得：a=-，
则抛物线解析式为y=-（x+1）（x-4）=-x2+x+2；
（2）由题意知点D坐标为（0，-2），
设直线BD解析式为y=kx+b，
将B（4，0）、D（0，-2）代入，得：
，解得：，
∴直线BD解析式为y=x-2，
∵QM⊥x轴，P（m，0），
∴Q（m，--m2+m+2）、M（m，m-2），
则QM=-m2+m+2-（m-2）=-m2+m+4，
∵F（0，）、D（0，-2），
∴DF=，
∵QM∥DF，
∴当-m2+m+4=时，四边形DMQF是平行四边形，
解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）如图所示：

∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，
∵∠MPB=∠BPQ=90°，
∴∠MBP+∠BMP=90°，
∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴，即，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．

14．已知抛物线的图象如图所示：
（1）将该抛物线向上平移2个单位，分别交x轴于A、B两点，交y轴于点C，则平移后的解析式为　　．
（2）判断△ABC的形状，并说明理由．
（3）在抛物线对称轴上是否存在一点P，使得以A、C、P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象的平移规律，可得新的函数解析式；
（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得A，B，C的坐标，根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（3）根据等腰三角形的定义，分三种情况，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．
【详解】
（1）将该抛物线向上平移2个单位，得：yx2x+2．
故答案为yx2x+2；
（2）当y=0时，x2x+2=0，解得：x1=﹣4，x2=1，即B（﹣4，0），A（1，0）．
当x=0时，y=2，即C（0，2）．
AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．
∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；
（3）yx2x+2的对称轴是x，设P（，n），AP2=（1）2+n2n2，CP2（2﹣n