上海国和中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案.doc

上海国和中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题
1．如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

2．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）．

（1）如图①，当时，求点P的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设．
①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
3．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知函数均为一次函数，m为常数．

（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
5．已知：如图，抛物线交正半轴交于点，交轴于点，点在抛物线上，直线：过点，点是直线上的一个动点，的外心是．

（1）求，的值．
（2）当点移动到点时，求的面积．
（3）①是否存在点，使得点落在的边上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
②过点作直线轴交直线于点，当点从点移动到点时，圆心移动的路线长为_____．（直接写出答案）
6．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
7．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
8．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 A(-1，0) ，B（点A在点B的左侧），交y轴与点(0，-3)，抛物线的对称轴为直线x＝1，点D为抛物线的顶点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）已知经过点A的直线y＝kx+b(k>0)与抛物线在第一象限交于点E，连接AD，DE，BE，当时，求点E的坐标．
（3）如图2，在（2）中直线AE与y轴交于点F，将点F向下平移个单位长度得到Q，连接QB．将△OQB绕点O逆时针旋转一定的角度（0°<<360°）得到，直线与x轴交于点G．问在旋转过程中是否存在某个位置使得是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．

9．如图1，平面直角坐标系中，等腰的底边在轴上，，顶点在的正半轴上，，一动点从出发，以每秒1个单位的速度沿向左运动，到达的中点停止．另一动点从点出发，以相同的速度沿向左运动，到达点停止．已知点、同时出发，以为边作正方形，使正方形和在的同侧．设运动的时间为秒（）．

（1）当点落在边上时，求的值；
（2）设正方形与重叠面积为，请问是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，取的中点，连结，当点、开始运动时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动，到达点停止运动．请问在点的整个运动过程中，点可能在正方形内（含边界）吗？如果可能，求出点在正方形内（含边界）的时长；若不可能，请说明理由．
10．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价（元/千克）关于时间的函数关系式分别为（，且为整数）；
，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量（千克）关于时间的函数关系如图2的点列所示．

（1）求关于的函数关系式；
（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求的最大值（精确到0.01元）．
11．如图①，在矩形中，cm，，点从点出发，沿射线以 (cm/s)的速度匀速移动．连接，过点作,与射线相交于点，作矩形，连接．设点移动的时间为(s)，的面积为(cm2), 与的函数关系如图②所示．

(1) = ；
(2)求矩形面积的最小值；
(3)当为等腰三角形时，求的值．
12．如图1，与为等腰直角三角形，与 重合，，．固定，将绕点顺时针旋转，当边与边重合时，旋转终止．现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设（或它们的延长线）分别交（或它们的延长线）于点，如图2．
（1）证明：；
（2）当为何值时，是等腰三角形？

13．对于⊙C与⊙C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与⊙C交于点Q（点Q可以与点P重合），且，则点P称为点A关于⊙C的“生长点”．
已知点O为坐标原点，⊙O的半径为1，点A（-1，0）．
（1）若点P是点A关于⊙O的“生长点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标________；
（2）若点B是点A关于⊙O的“生长点”，且满足，求点B的纵坐标t的取值范围；
（3）直线与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于⊙O的“生长点”，直接写出b的取值范围是_____________________________．

14．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、点点A在点B的左边，交y轴于点C，直线经过点B，交y轴于点D，且，．
求b、c的值；
点在第一象限，连接OP、BP，若，求点P的坐标，并直接判断点P是否在该抛物线上；
在的条件下，连接PD，过点P作，交抛物线于点F，点E为线段PF上一点，连接DE和BE，BE交PD于点G，过点E作，垂足为H，若，求的值．

15．如图，抛物线经过点A（1,0），B（4,0）与轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得四边形PAOC的周长最小？若存在，求出四边形PAOC周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q是线段OB上一动点，连接BC，在线段BC上是否存在这样的点M，使△CQM为等腰三角形且△BQM为直角三角形？若存在，求M的坐标；若不存在，请说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，4）和点B，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连结AB、BC、DC、DA，点B的横坐标为a（a＞1）

（1）求k的值
（2）若△ABD的面积为4；
①求点B的坐标，
②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E的坐标．
17．在平面直角坐标系中，抛物线经过点A、B、C，已知A（-1，0），B（3，0），C（0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P为线段BC上一点，过点P作轴的平行线，交抛物线于点D，当△BCD面积最大时，求点P的坐标；
（3）若M（m，0）是轴上一个动点，请求出CM+MB的最小值以及此时点M的坐标.

18．如图，在直角中，，，作的平分线交于点，在上取点，以点为圆心经过、两点画圆分别与、相交于点、（异于点）．

（1）求证：是的切线；
（2）若点恰好是的中点，求的长；
（3）若的长为．
①求的半径长；
②点关于轴对称后得到点，求与的面积之比．
19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．

（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；
（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
20．如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．

（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；
（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；
（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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一、压轴题

1．（1）t=4；
（2）S=；
（3）存在，当t=4、或时，△PEF是等腰三角形．
【解析】
试题分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，可以得出四边形AGHD为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出结论t的值；
（2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；
（3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-t，分为三种情况：EF=EP时可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，可以求出t值．
试题解析：（1）如图2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，

∴四边形AGHD为矩形．
∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
∴△ABG≌△DCH，
∴BG=（BC-AD）=3，AG=4，
∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；
（2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，

∵tan∠DBC=，tan∠C=tan∠ABC=，
∴GP=t，PQ=t，BN=t+t=t，
∴NR=t，
∴S=；
如图3，当3＜t≤4时，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，BN=t+4，
∴NR=t+2，
∴S==2t+4；
如图4，当4＜t≤7时，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
∴CN=3-（t-4）=7-t，
∴NR=，
∴S=；
如图5，当7＜t≤8时，BP=t，

∴GP=t，PQ=4，PH=8-t，
∴S=
∴S=；
（3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
∴cos∠ABC=cos∠PEF=，
由（1）可知EP=BP=t，
则EF=EQ=PQ-EP=4-t，
①如图6，当EF=EP时，4-t=t，
∴t=4；

②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，

∴ER=EP=EF，
∴t=（4-t)，
∴t=；
③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，

∵ES=EF=PE，
∴（4-t) =×t，
∴t=．
∴当t=4、或时，△PEF是等腰三角形．
考点：相似形综合题．
2．（1）点P的坐标为；（2）①，t的取值范围是；②．
【解析】
【分析】
（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出；
（2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，，
又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；
②由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，从而，,进而可得，又已知t的取值范围是，即可得．
【详解】
解：（1）如图，过点P作轴，垂足为H，则．
，
．
．
在中，，
，．
点P的坐标为．

（2）①由折叠知，，
，．
又，
．
四边形为菱形．
．可得．
点，
．有．
在中，．
，
，其中t的取值范围是．
②由①知，为等边三角形，
∵四边形为菱形，
∴,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，
∴，,
∴，
∵，
∴．
，
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
3．（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为
【解析】
【分析】
（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式；
（3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；
（4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为，则点S的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标．
【详解】
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为
将点代入解析式中，则有．
∴抛物线的解析式为．
方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，
将代入解析式中，则有
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2），
．
．
．
．
的坐标为．
又点的坐标为．
直线的解析式为．
（3）．
∴顶点D的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：
，即．
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：
，即
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
∴综合得：点P的坐标为
（4）∵点A或点B关于对称轴对称
∴连接与直线交点即为F点．
∵点H的坐标为，点的坐标为，
∴直线BH的解析式为：．
令，则．
当点F的坐标为时，的值最小．11分
设抛物线上存在一点，使得的值最小．
则由勾股定理可得：．
又∵点K在抛物线上，

代入上式中，

．
如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．
∴点S的坐标为．
则．

（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
．

当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．
又∵点G的坐标为，
，将其代入抛物线解析式中可得：．
∴当点K的坐标为时，最小．

【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
4．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】
解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，

，
，

，

设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即

；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图象交x轴于D点

二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上
且

，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线

，
直线
点
，
位置二：如图

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线

，
直线
点
，
位置三：如图

当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线

，
直线
点
，

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点睛】
本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
5．（1）；（2）；（3）①点E的坐标为：或或； ②圆心P移动的路线长=
【解析】
【分析】
（1）令求出点A（6，0），把点C（-4，n）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B（0，-3）代入，从而可得答案；
（2）记与轴的交点为，利用即可求解；
（3）①分当点P落在CA上时，点P落在AE上时，点P落在CE上时三种情况讨论即可； ②分E在D和B点两种情况，求出圆心点的坐标，则圆心P移动的路线长=，即可求解．
【详解】
解：（1）令

点A（6，0），
把点C（-4，n）代入在抛物线方程，
解得：
，
把点B（0，-3）代入，
解得：，
则：直线l：，…①

（2）由（1）知：A（6，0）、B（0，-3）、C（-4，5）、
AC中点为
设为：

解得：
所在的直线方程为：，
如图，AC与y轴交点H坐标为：（0，3），

（3）如下图： ①当点P落在CA上时， 圆心P为AC的中点
其所在的直线与AC垂直，

的垂直平分线即圆心P所在的直线方程为：
把代入得：

…②，

解得：
E的坐标为；
当点P落在AE上时， 设点
则点P的坐标，
则PA=PC，

解得：
故点
当点P落在CE上时， 则PC=PA，
同理可得：
故点
综上，点E的坐标为：或或；
②当E在D点时，作AD的垂直平分线交的垂直平分线于点，
则，的纵坐标为
代入②式，解得：
同理当当E在B点时， 作AB的垂直平分线交的垂直平分线于点，

的中点为：，
设为：，

解得：
AB直线方程为：，
设的垂直平分线方程为：

，
的垂直平分线方程为：

解得：

则圆心P移动的路线长=

故答案为：
【点评】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．
6．（1）y＝x2+2x﹣3；（2）①存在，点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；②点M（﹣，﹣）
【解析】
【分析】
（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），即可求解；
（2）①分点P（P′）在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；
②证明△AGR≌△RHM（AAS），则点M（m+n，n﹣m﹣3），利用点M在抛物线上和AR＝NR，列出等式即可求解．
【详解】
解：（1）y＝ax2+bx﹣3＝a（x+3）（x﹣1），
解得：a＝1，
故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3①；
（2）由抛物线的表达式知，点C、D的坐标分别为（0，﹣3）、（﹣1，﹣4），
由点C、D的坐标知，直线CD的表达式为：y＝x﹣3；
tan∠BCO＝，则cos∠BCO＝；
①当点P（P′）在点C的右侧时，

∵∠P′AB＝∠BCO，
故P′B∥y轴，则点P′（1，﹣2）；
当点P在点C的左侧时，
设直线PB交y轴于点H，过点H作HN⊥BC于点N，
∵∠PBC＝∠BCO，
∴△BCH为等腰三角形，则
BC＝2CH•cos∠BCO＝2×CH×＝，
解得：CH＝，则OH＝3﹣CH＝，故点H（0，﹣），
由点B、H的坐标得，直线BH的表达式为：y＝x﹣②，
联立①②并解得：，
故点P的坐标为（1，﹣2）或（﹣5，﹣8）；
②∵∠PAB＝∠BCO，而tan∠BCO＝，
故设直线AP的表达式为：y＝，将点A的坐标代入上式并解得：s＝1，
故直线AP的表达式为：y＝x+1，
联立①③并解得：，故点N（，）；
设△AMN的外接圆为圆R，

当∠ANM＝45°时，则∠ARM＝90°，设圆心R的坐标为（m，n），
∵∠GRA+∠MRH＝90°，∠MRH+∠RMH＝90°，
∴∠RMH＝∠GAR，
∵AR＝MR，∠AGR＝∠RHM＝90°，
∴△AGR≌△RHM（AAS），
∴AG＝m+3＝RH，RG＝﹣n＝MH，
∴点M（m+n，n﹣m﹣3），
将点M的坐标代入抛物线表达式得：n﹣m﹣3＝（m+n）2+2（m+n）﹣3③，
由题意得：AR＝NR，即（m+3）2＝（m﹣）2+（）2④，
联立③④并解得：，
故点M（﹣，﹣）．
【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识等，其中（2）①，要注意分类求解，避免遗漏．
7．（1），；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又△ABC为等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；
（2）由旋转可推出，再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】
（1），；
已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得
，，，
根据平行线性质可得，
在中，，，
可得，
即得，
故答案为：；．
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得，
又，
∴
∴，，
∵点，分别为，的中点
∴是的中位线
∴，且，
同理可证，且
∴，，，
∴，
，
∴，
即为等腰直角三角形．
（3）把绕点旋转的如图的位置，

此时，
且、的值最长，由（2）可知，
所以面积最大值为．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
8．（1）；（2）点E的坐标为（，）；（3）存在；点的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法代入计算，结合对称轴，即可求出解析式；
（2）取AD中点M，连接BM，过点A作AE∥BM，交抛物线于点E；然后求出直线AE的解析式，结合抛物线的解析式，即可求出点E的坐标；
（3）由题意，先求出点F的坐标，然后得到点Q的坐标，得到OQ和OB的长度，然后结合等腰三角形的性质进行分类讨论，可分为四种情况进行分析，分别求出点的坐标即可．
【详解】
解：（1）根据题意，设二次函数的解析式为，
∵对称轴为，则，
把点（-1，0），点（0，-3）代入，有
，
又∵，
∴，，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）由（1）可知，
顶点D的坐标为（1，），点B为（3，0），
∵点A为（，0），
∴AD的中点M的坐标为（0，2）；
如图，连接AD，DE，BE，取AD中点M，连接BM，过点A作AE∥BM，交抛物线于点E；

此时点D到直线AE的距离等于点B到直线AE距离的2倍，
即，
设直线BM为，
把点B、点M代入，有，
∴直线BM为，
∴直线AE的斜率为，
∵点A为（，0），
∴直线AE为，
∴，解得：（舍去）或；
∴点E的坐标为（，）；
（3）由（2）可知，直线AE为，
∴点F的坐标为（0，），
∵将点F向下平移个单位长度得到Q，
∴点Q的坐标为（0，），
∴，
∵点B为（3，0），则OB=3，
在Rt△OBQ中，，
∴，
由旋转的性质，得，，
①当时，是等边三角形，如图：

∴点G的坐标为（，0），
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为（，）；
②当，是等腰三角形，如图：

∵，
∴，
∵，
∴点的坐标为（，）；
③当时，是等边三角形，如图：

此时点G的坐标为（，0），
∴点的坐标为（，）；
④当时，是等腰三角形，如图：

此时，
∴点的坐标为（，）；
综合上述，点的坐标为：（，）或（，）或（，）或（，）．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，也考查了解直角三角形，旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的性质，以及坐标与图形，解题的关键是熟练掌握图形的运动问题，正确的确定点的位置是关键；注意运用数形结合的思想，分类讨论的思想进行解题．
9．（1）t=1；（2）存在，，理由见解析；（3）可能，或或理由见解析
【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求出直线AC的解析式，根据题意用t表示出点H的坐标，代入求解即可；
（2）根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4,用待定系数法求出直线AB的解析式，求出点H落在BC边上时的t值，求出此时重叠面积为﹤，进一步求出重叠面积关于t的表达式，代入解t的方程即可解得t值；
（3）由已知求得点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,结合图形分情况讨论即可得出符合条件的时长．
【详解】
（1）由题意，A(0，2)，B(-4，0)，C(4，0)，
设直线AC的函数解析式为y=kx+b，
将点A、C坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当点落在边上时，点E(3-t，0)，点H（3-t，1），
将点H代入，得：
，解得：t=1；
（2）存在，，使得．
根据已知，当点F运动到点O停止运动前，重叠最大面积是边长为1的正方形的面积，即不存在t，使重叠面积为，故t﹥4，
设直线AB的函数解析式为y=mx+n，
将点A、B坐标代入，得：
，解得：，
∴直线AC的函数解析式为，
当t﹥4时，点E（3-t，0）点H（3-t，t-3），G(0，t-3)，
当点H落在AB边上时，将点H代入，得：
，解得：；
此时重叠的面积为，
∵﹤，∴﹤t﹤5，
如图1，设GH交AB于S，EH交AB于T,
将y=t-3代入得：，
解得：x=2t-10，
∴点S(2t-10，t-3)，
将x=3-t代入得：，
∴点T，
∴AG=5-t，SG=10-2t，BE=7-t，ET=，
,

所以重叠面积S==4--=，
由=得：，﹥5(舍去)，
∴；

（3）可能，≤t≤1或t=4．
∵点D为AC的中点，且OA=2,OC=4，
∴点D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,
易知M点在水平方向以每秒是4个单位的速度运动；
当0﹤t﹤时，M在线段OD上，H未到达D点，所以M与正方形不相遇；
当﹤t﹤1时， +÷（1+4）=秒，
∴时M与正方形相遇，经过1÷（1+4）=秒后，M点不在正方行内部，则；
当t=1时，由（1）知，点F运动到原E点处，M点到达C处；
当1≤t≤2时，当t=1+1÷（4-1）=秒时，点M追上G点，经过1÷（4-1）=秒，点都在正方形内（含边界），
当t=2时，点M运动返回到点O处停止运动，
当 t=3时，点E运动返回到点O处, 当 t=4时，点F运动返回到点O处,
当时，点都在正方形内（含边界），
综上，当或或时，点可能在正方形内（含边界）．

【点睛】
本题考查了一次函数与几何图形的综合，涉及求一次函数的解析式、正方形的性质、直角三角形的性质、不规则图形的面积、解一元二次方程等知识，解答的关键是认真审题，提取相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，进而推理、探究、发现和计算．
10．(1)m=,
(2) t=40时w最大=13200，
(3)的最大值是．
【解析】
【分析】
(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k1t+b1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上代入解析式即可,
设时的解析式为m=k2t+b2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上
代入解析式即可，
(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售额最大，利润就最大,设y1的总价为w1，y2的总价为w2，总价=销售单价×销售量即可列出,
w1=与w2=两种总销售w=w1+w2，把w函数配方讨论当，第一段w最大与，在第二段，w最大经比较即可
(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)
后10天每日销售额Q=w-am=-2t2+(290-4a)t+4800-60a，Q≥3600,构造抛物线Q在Q=3600直线上方有解即可，在-20，开口向下，在3600上方取值，且满足，对称轴=，只要对称轴介于30与40之间即可．
【详解】
(1)由图2知m 与t 是一次函数关系，设0≤t≤30时的解析式为m=k1t+b1，由图形的点（0,120），（30,180）在函数图像上,
则,
解得,
m=2t+120,
设时的解析式为m=k2t+b2，由图形的点（40,220），（30,180）在函数图像上,
则,
解得,
m=4t+60,
m=,

(2)由商品没有成本价，为此只要商品的销售总值最大，利润就最大,
设y1的总价为w1，y2的总价为w2，
w1=,
整理得w1=,
w2=,
整理得w2=,
总销售w=w1+w2=,
配方得w=,
当，第一段w最大=11760，而，>40,在第二段，w随t的增大而增大，t=40，w最大=13200，经比较11760<13200，t=40时w最大=13200，
(3)根据题意决定每销售1千克产品就捐赠元给“环保公益项目”，则捐赠额a(4t+60)，
后10天每日销售额Q=w-am=-2t2+(290-4a)t+4800-60a，则Q-3600=-2t2+(290-4a)t+1200-60a ，
∵-20，开口向下，在3600上方取值，且满足，
对称轴为t=只要,
,
,
的最大值是．

【点睛】
本题考查分段函数的解析式的求法与利用，两图象结合并利用，求日销售最大利润，抛物线顶点式，分段比较，在最后又利用捐赠构造新函数，求对称轴，利用对称轴解决问题，此题难度较大，综合能力强，必须掌握好函数的各方面的知识．
11．（1）1；（2）矩形DEFG面积的最小值为；（3）当△CDG为等腰三角形时，t的值为或4或
【解析】
【分析】
（1）由函数图象可知，△ADC的面积为6，求出AC=5cm，再由图象可知运动时间为5s，则可得出答案；
（2）过点E作MN⊥BC，MN与射线BC相交于点N，与AD相交于点M，证明△ENF∽△DME，得出，证明△ENC∽△ABC，得出EF=DE，则S矩形DEFG=EF•DE=DE2．当DE⊥AC时，DE取得最小值，则可得出答案；
（3）证明△CDG∽△ADE，得出，可分三种情况：当CG=DG时，当CG=CD时，当CD=DG时，分别求出t的值即可．
【详解】
（1）由图象可知，△ADC的面积为6，
∵矩形ABCD中，AB=3cm，
∴CD=3cm，
∴S△ADC=×AD×CD=6，
∴AD=4cm，
∴AC=(cm)，
由图象可知当t=5时，点E移动到点C，
∴(cm/s)．
故答案为：1；
（2）如图