上海兰田中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案.doc

上海兰田中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案

一、压轴题
1．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BO于H．连接OG、CG．
(1)求证：AH=BE；
(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；
(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面积．

2．已知抛物线经过原点，与轴相交于点，直线与抛物线交于两点，与轴交于点，与轴交于点，点是线段上的一个动点(不与端点重合)，过点作交于点，连接

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；
（2）当的面积最大时，求线段的长；
（3）在（2）的条件下，若在抛物线上有一点和点P，使为直角三角形，请直接写出点的坐标．
3．如图，过原点的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．
（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；
（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．

4．如图，直线l：y＝﹣3x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝﹣x2+2x+b经过点B．
（1）该抛物线的函数解析式；
（2）已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM，设点M的横坐标为m，△ABM的面积为S，求S与m的函数表达式，并求出S的最大值；
（3）在（2）的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点M'．
①写出点M'的坐标；
②将直线l绕点A按顺时针方向旋转得到直线l'，当直线l′与直线AM'重合时停止旋转，在旋转过程中，直线l'与线段BM'交于点C，设点B，M'到直线l'的距离分别为d1，d2，当d1+d2最大时，求直线l'旋转的角度（即∠BAC的度数）．

5．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，点坐标为，与轴交于点，直线与抛物线交于，两点．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求的值和点坐标；
（3）点是直线上方抛物线上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，交直线于点，过点作轴的平行线，交于点，当是线段的三等分点时，求点坐标；
（4）如图2，是轴上一点，其坐标为，动点从出发，沿轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设的运动时间为（），连接，过作于点，以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，点在运动过程中，线段的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段与抛物线有公共点时的取值范围．

6．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；
(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
（探究）
（1）证明：OBC≌OED；
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．

7．在平面直角坐标系中，函数和的图象关于y轴对称，它们与直线分别相交于点．
（1）如图，函数为，当时，的长为_____；
（2）函数为，当时，t的值为______；
（3）函数为，
①当时，求的面积；
②若，函数和的图象与x轴正半轴分别交于点，当时，设函数的最大值和函数的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．

8．如图1，抛物线的顶点在轴上，交轴于，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与轴交于，顶点为．

（1）求点的坐标和平移后抛物线的解析式；
（2）点在原抛物线上，平移后的对应点为，若，求点的坐标；
（3）如图2，直线与平移后的抛物线交于．在抛物线的对称轴上是否存在点，使得以为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
9．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
10．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．

11．在平面直角坐标系中，经过点且与平行的直线，交轴于点，如图1所示．

（1）试求点坐标，并直接写出的度数；
（2）过的直线与成夹角，试求该直线与交点的横坐标；
（3）如图2，现有点在线段上运动，点在轴上，为线段的中点．
①试求点的纵坐标关于横坐标的函数关系式；
②直接写出点的运动轨迹长度为 ．
12．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点A（1，4）和点B，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，连结AB、BC、DC、DA，点B的横坐标为a（a＞1）

（1）求k的值
（2）若△ABD的面积为4；
①求点B的坐标，
②在平面内存在点E，使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E的坐标．
13．如图所示，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、.

（1）求证：；
（2）四边形能够成为菱形吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由；
（3）当________时，为直角三角形.
14．如图1，已知中，，，，它在平面直角坐标系中位置如图所示，点在轴的负半轴上（点在点的右侧），顶点在第二象限，将沿所在的直线翻折，点落在点位置

（1）若点坐标为时，求点的坐标；
（2）若点和点在同一个反比例函数的图象上，求点坐标；
（3）如图2，将四边形向左平移，平移后的四边形记作四边形，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点，则在平移过程中，是否存在这样的，使得以点为顶点的三角形是直角三角形且点在同一条直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由
15．已知，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．

（1）如图1，分别求的值；
（2）如图2，点为第一象限的抛物线上一点，连接并延长交抛物线于点，，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点为第一象限的抛物线上一点，过点作轴于点，连接、，点为第二象限的抛物线上一点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，设，，点为线段上一点，点为第三象限的抛物线上一点，分别连接，满足，，过点作的平行线，交轴于点，求直线的解析式．
16．如图，在平面直角坐标系中，以原点O为中心的正方形ABCD的边长为4m，我们把轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点O顺时针旋转任意角度时，它能够与反比例函数的图象相交于点E，F，G，H，则曲线段EF，HG与线段EH，GF围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当轴时，用含m，k的代数式表示点E的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH，则k的取值范围是________；
②已知，把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度时，直接写出使曲边四边EFGH存在的k的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O顺时针旋转角度得到曲边四边形EFGH，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD绕点O顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数的图象上，AB与y轴交于点M，，，试问此时曲边四边EFGH存在吗？请说明理由．

17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．

（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；
（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．

（1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”；
（2）如图2，在“准筝形”中，，，，，求的长；
（3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．
19．如图①，在矩形中，cm，，点从点出发，沿射线以 (cm/s)的速度匀速移动．连接，过点作,与射线相交于点，作矩形，连接．设点移动的时间为(s)，的面积为(cm2), 与的函数关系如图②所示．

(1) = ；
(2)求矩形面积的最小值；
(3)当为等腰三角形时，求的值．
20．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．

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一、压轴题

1．(1)见解析；(2)45°；(3)9.
【解析】
【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH ≌△BCE.可得AH=BE .
（2）证△AOH∽△BGH， ，，再证△OHG∽△AHB.，
得∠AGO=∠ABO=45°；
（3）先证△ABG ∽△BFG.  得,所以，AG·GF=BG 2 
=（）2=18. 再证△AGO ∽△CGF.得,所以，GO·CG =AG·GF=18.所以，S△OGC =CG·GO.   
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB =45°
∵AF⊥BE,
∴∠BAG+∠ABG=∠CBE +∠ABG=90°.
∴∠BAH=∠CBE.  
∴△ABH ≌△BCE.  
∴AH=BE .  
（2）∵∠AOH=∠BGH=90°, ∠AHO=∠BHG,
 ∴△AOH∽△BGH
∴
∴
     ∵∠OHG =∠AHB.
∴△OHG∽△AHB. 
∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值
（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,
∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,
∴△ABG ∽△BFG.  
∴,
∴AG·GF=BG 2 =（）2=18. 
∵△AHB∽△OHG，
∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.
∵∠AOB=∠BGF=90°,
∴∠AOG=∠GFC.   
∵∠AGO=45°,CG⊥GO,
∴∠AGO=∠FGC=45°.
∴△AGO ∽△CGF.      
∴,
∴GO·CG =AG·GF=18.
∴S△OGC =CG·GO=9.   
【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.
2．（1）抛物线的解析式为，点的坐标为；（2）；（3）点的坐标为或
【解析】
【分析】
（1）因为抛物线经过原点，A,B点，利用待定系数法求得抛物物线的解析式，再令y=0，求得与x轴的交点F点的坐标。
（2）过点作轴于点，先求出直线与坐标轴的两个交点，利用三角函数求出OM与OE的比值，再利用配方法求得面积的最值．
（3）利用两点间的距离公式求得，，，再利用勾股定理与分类讨论求出P点的坐标．
【详解】
解：抛物线经过原点

两点在抛物线上

解得
故抛物线的解析式为
令，则
解得（舍去），
故点的坐标为
过点作轴于点，

对于
当时，；
当时，

设直线与轴交于点，直线的解析式为
则
，易求直线的解析式为
令，解得
故点的横坐标为

又
当时，的面积最大，此时

点的坐标为
【提示】
把代入，得

设点的坐标为
则，
当时，
即
解得，
故点的坐标为
当时，
即
解得(不合题意，舍去)， 故点的坐标为
当时．过点作轴．交抛物线于点，连接
解得，此时故点与点重合，此时
综上可知．点的坐标为
【点晴】
本题主要考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的最值，抛物线与xx轴的交点，二次函数与一次函数的交点，勾股定理，三角形的面积，两点间的距离公式，运用了分类讨论思想．
3．（1），点B（2，2）；（2）m=2或；（3）存在；n=时，抛物线向左平移．
【解析】
【分析】
（1）将点A和点O的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B的坐标；
（2）由点A、点B、点C的坐标以及旋转的性质可知△△PDC为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，），然后根据点在抛物线上，列出关于m的方程，从而可解得m的值；
（3）如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处，以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．
【详解】
解：（1）把原点O（0，0），和点A（4，0）代入y=x2+bx+c．
得，
∴．
∴．
∴点B的坐标为（2，2）．
（2）∵点B坐标为（2，2）．
∴∠BOA=45°．
∴△PDC为等腰直角三角形．
如图，过C′作C′D⊥O′P于D．

∵O′P=OP=m．
∴C′D=O′P=m．
∴点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，）．
当点O′在y=x2+2x上．
则−m2+2m＝m．
解得：，（舍去）．
∴m=2．
当点C′在y=x2+2x上，
则×()2+2×＝m，
解得：，（舍去）．
∴m=
（3）存在n=，抛物线向左平移．
当m=时，点C′的坐标为（，）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．

以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．
当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（，），点B（2，2）．
∴点A′（，）．
∴点A″的坐标为（，）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：，
解得：k=．
∴直线OA″的解析式为y=x．
将y=2代入得：x=2，
解得：x=，
∴点B′得坐标为（，2）．
∴n=2．
∴存在n=，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，）以及点B′的坐标是解题的关键．
4．（1）；（2） ，；（3）①；②45°
【解析】
【分析】
（1）利用直线l的解析式求出B点坐标，再把B点坐标代入二次函数解析式即可求出b的值．
（2）设M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），然后根据面积关系将△ABM的面积进行转化．
（3）①由（2）可知m＝，代入二次函数解析式即可求出纵坐标的值．
②可将求d1+d2最大值转化为求AC的最小值．
【详解】
（1）令x＝0代入y＝﹣3x+3，
∴y＝3，
∴B（0，3），
把B（0，3）代入y＝﹣x2+2x+b并解得：b＝3，
∴二次函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）令y＝0代入y＝﹣x2+2x+3，

∴0＝﹣x2+2x+3，
∴x＝﹣1或3，
∴抛物线与x轴的交点横坐标为-1和3，
∵M在抛物线上，且在第一象限内，
∴0＜m＜3，
令y＝0代入y＝﹣3x+3，
∴x＝1，
∴A的坐标为（1，0），
由题意知：M的坐标为（m，﹣m2+2m+3），
∴S＝S四边形OAMB﹣S△AOB＝S△OBM+S△OAM﹣S△AOB
＝×m×3+×1×（-m2+2m+3）-×1×3
＝﹣（m﹣）2+，
∴当m＝时，S取得最大值．
（3）①由（2）可知：M′的坐标为（，）．
②设直线l′为直线l旋转任意角度的一条线段，过点M′作直线l1∥l′，过点B作BF⊥l1于点F，

根据题意知：d1+d2＝BF，
此时只要求出BF的最大值即可，
∵∠BFM′＝，
∴点F在以BM′为直径的圆上，
设直线AM′与该圆相交于点H，
∵点C在线段BM′上，
∴F在优弧上，
∴当F与M′重合时，
BF可取得最大值，
此时BM′⊥l1，
∵A（1，0），B（0，3），M′（，），
∴由勾股定理可求得：AB＝，M′B＝，M′A＝，
过点M′作M′G⊥AB于点G，
设BG＝x，
∴由勾股定理可得：M′B2﹣BG2＝M′A2﹣AG2，
∴﹣（﹣x）2＝﹣x2，
∴x＝，
cos∠M′BG＝＝，∠M′BG=
此时图像如下所示，

∵l1∥l′，F与M′重合，BF⊥l1
∴∠B M′P=∠BCA＝，
又∵∠M′BG=∠CBA=
∴∠BAC＝．
【点睛】
本题主要考查了一次函数与二次函数的综合以及一次函数旋转求角度问题，正确掌握一次函数与二次函数性质及综合问题的解法是解题的关键．
5．（1）；（2）m=2，D(﹣1，)；（3）P（， ）或P(1，)；
（4）0＜t≤．
【解析】
【分析】
(1)根据A，C两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解．
(2)通过(1)中的二次函数解析式求出B点坐标，代入一次函数,即可求出m的值，联立二次函数与一次函数可求出D点坐标．
(3)设出P点坐标，通过P点坐标表示出N，F坐标，再分类讨论PN=2NF，NF=2PN，即可求出P点(4)由A，D两点坐标求出AD的函数关系式，因为以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，所以∥AD，即可求出的函数关系式，设直线与抛物线交于第一象限P点，所以当与P重合时，t有最大值，利用中点坐标公式求出PQ中点H点坐标,进而求出MH的函数关系式，令y=0求出函数与x轴交点坐标，从而可求出t的值,求出t的取值范围．
【详解】
解：(1)∵A，
把A,C代入抛物线，
得：
解得
∴．
（2）令y=0即，
解得 ，
∴B（4,0）
把B（4,0）代入
得
m=2
，
∴ 得 或
∴B(4,0),D(﹣1，)
∴,m=2，D(﹣1，)．
（3）设P（a，），则F（a，），
∵DN⊥PH，
∴N点纵坐标等于D点的纵坐标
∴N(a，)
FN=－（）=，PN=－=，
∵是线段的三等分点，
∴①当FN=2PN时，
=2（），
解得：a=或a=﹣1（舍去），
∴P（， ）．
②当2FN=PN时，
2（）=（），
得a=1或a=﹣1（舍去），
∴P(1,)，
综上P点坐标为P（， ）或P(1,)，
(4)由（2）问得D(﹣1，)，又A，
设AD：y=kx+b，
，
∴ ，
∴AD：y=x+5，
又GM⊥AD，
∴可设GM： y=x+p，
以所在直线为对称轴，线段经轴对称变换后的图形为，
∴∥AD，
可设：y=x+q，又Q，代入，
得：×+q=0，
q=2，
∴：y=x+2，
设直线与抛物线交于第一象限N点,,所以当与N点重合时,t有最大值，
∴ ，
解得： 或 ，
∴N(1,)又Q，
设H为N,Q中点，
则H（，），
又∵H在直线GM上，
∴把H代入GM y=x+p ，
得：，
P= ，
∴y=x+，
令y=0得：0=x+，
∴x= ，
即QM=+= ，
∵M的速度为5，
∴t=÷5= ，
∴0＜t≤．

【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．
6．（1）见解析；（2）x=4，16
【解析】
【分析】
（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明OBC≌OED即可；
（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】
（1）证明：连接EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°
由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE
∴∠DEF＝90°
又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形
∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°
∵AD＝BC，
∴BC＝DE
由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°
∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．
∴OC＝OD．
在△OBC与△OED中，

∴△OBC≌△OED（SAS）；

（2）连接EF、BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8．
由（1）知，BC＝DE
∵BC＝x，
∴DE＝x
∴CE＝8－x
由（1）知△OBC≌△OED
∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．
∵∠OED＋∠OEC＝180°，
∴∠OBC＋∠OEC＝180°．
在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，
∴∠BOE＝90°．
在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．
在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．
∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．
∴y＝x2－8x＋32
∴当x=4时，y有最小值是16．

【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
7．（1）4；（2）1；（3）①；②．
【解析】
【分析】
（1）由题意，先求出的解析式，再求出P、Q两点的坐标，即可求出PQ的长度；
（2）由题意，先求出的解析式，结合PQ的长度，即可求出t的值；
（3）①根据题意，先求出的解析式，然后求出点P和点Q的纵坐标，得到PQ的长度，利用三角形的面积公式即可求出面积；
②根据题意，先求出函数和的解析式，然后求出两个函数的对称轴，利用二次函数的对称性和增减性进行分类讨论：当时，以及当时，分别求出h与c的关系式即可．
【详解】
解：（1）∵函数为，函数和的图象关于y轴对称，
∴函数为，
当时，有
；
；
∴点P为（2，3），点Q为（2，），
∴的长为；
故答案为：4；
（2）∵函数为，函数和的图象关于y轴对称，
∴函数为；
∵，
∴点P在第一象限，点Q在第四象限，
设点P为（t，），点Q为（t，），
∵，
∴，
解得：；
故答案为：1；
（3）①∵函数为，函数和的图象关于y轴对称，
∴函数为：，即；
∵，
∴把代入函数，则；
把代入函数，则；
∴，
∴；
②由①可知，函数为，函数为，
∵函数和的图象与x轴正半轴分别交于点，
∴，
解得： ，
∴函数可化为：，函数可化为：；
∴函数的对称轴为：，
函数的对称轴为：，
∵，则，
则函数，函数均是开口向下；
∴函数在上，y随x增大而增大，在上是y随x增大而减小；
函数在上，y随x增大而减小；
∵，，
当时，则
函数在时取到最大值；函数在时取到最小值，则
∴，
即（）；
当时，则
函数在时取到最大值；函数在时取到最小值，则
，
即（）；
综合上述，h关于c的函数解析式为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的综合问题，考查了二次函数的对称性、增减性，也考查了一次函数的图像和性质，待定系数法求函数的解析式，以及两点之间的距离，求三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数和一次函数的性质进行解题，注意运用数形结合、分类讨论的思想进行分析，从而进行解题．
8．（1）B点坐标(0，-1)，平移后的抛物线为；（2）点M的坐标为或；（3）存在，，，，，详解见解析．
【解析】
【分析】
（1）将x=0代入抛物线公式求出y值，即可得到抛物线与y轴交点B的坐标，平移后的抛物线的顶点为E(1,4)，可根据顶点式求出平移后抛物线的解析式；
（2）因为抛物线向上平移4个单位，所以MN=4，又因为OM=ON，可知点M的纵坐标为-2，将y=-2代入原抛物线，即可求出x值，点M的坐标就可以表示出来．
（3）要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆（直径对应圆周角为直角），交抛物线对称轴x=-1可得点、的坐标解，另外可以使∠PCF=90°或∠CFP=90°，可分别得出点、的坐标解．
【详解】
解：（1）抛物线与y轴相交于点B，将x=0代入，求得y=-1，
∴B点坐标(0，-1)．
∵设平移后的抛物线为，顶点为E(1,4)，即h=1，k=4，
∴，
即平移后的抛物线为．
（2）

如上图所示，∵原坐标顶点A(1，0)，平移后抛物线顶点为E(1,4)，
∴抛物线向上平移了4个单位，即MNy轴，MNx轴，
又∵OM=ON，MN=4，
∴点O在垂直平分线上，点M、N关于x轴对称，
∴M点的纵坐标为–2，
将代入，得：

解得：，
∴点M的坐标为或．
（3）存在，且，，，．
如图所示，点P一共有四种结果，

∵C点为平移后的解析式与x轴的左交点，将y=0代入，得，
∴C(-1，0)，且点B(0，-1)，将点B(0，-1)、C(-1，0)代入直线BC解析式为：，
∴，解得：，即直线BC解析式：，
根据题意可知，直线BC与平移后的解析式相交于点F，
∴，解得：x=-1（舍）或4，y=-5，即F(4，-5)，
∵要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，可以画一个以C、F为直径的圆，该圆与抛物线对称轴x=-1交点即为点P（因为圆的直径对应的圆周角为90°，即∠CPF=90°）
∴以C、F为直径的圆，圆心为线段CF的中点(，)，直径为线段CF的长，
∴圆的方程为：，将x=1代入圆的方程，得：y=1或-6，
即，，
∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠PCF=90°，直线CP与x轴夹角也为45°，即直线CP斜率为1，直线CP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为，
又∵直线CF解析式：，即斜率k=-1，即直线CF与x轴夹角为45°，要使C、F、P为顶点的三角形为直角三角形，则使∠CFP=90°，直线FP与x轴夹角也为45°，即直线FP斜率为1，直线FP的解析式为：，此时该直线与抛物线对称轴x=1的交点为．
【点睛】
本题考查了一元二次函数与坐标轴、直线的交点，一元二次函数的平移及应用，圆的直径所对应的圆周角为直角等知识点，该题有一定的难度，所以一定要结合图形进行分析，这样才不会把解遗漏．
9．（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为
【解析】
【分析】
（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式；
（3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；
（4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为，则点S的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标．
【详解】
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为
将点代入解析式中，则有．
∴抛物线的解析式为．
方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，
将代入解析式中，则有
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2），
．
．
．
．
的坐标为．
又点的坐标为．
直线的解析式为．
（3）．
∴顶点D的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：
，即．
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：
，即
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
∴综合得：点P的坐标为
（4）∵点A或点B关于对称轴对称
∴连接与直线交点即为F点．
∵点H的坐标为，点的坐标为，
∴直线BH的解析式为：．
令，则．
当点F的坐标为时，的值最小．11分
设抛物线上存在一点，使得的值最小．
则由勾股定理可得：．
又∵点K在抛物线上，

代入上式中，

．
如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．
∴点S的坐标为．
则．

（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
．

当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．
又∵点G的坐标为，
，将其代入抛物线解析式中可得：．
∴当点K的坐标为时，最小．

【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
10．（1）1；（2）y=；（3）PD的长为±1或．
【解析】
试题分析：（1）根据矩形ABCD ， A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，可得， ，得一，从而可得 ；
（2）先证明∽ ，从而得到 ，由AD//BC ，可得，从而根据三角函数可得 ，由得 ，代入，即可得；
（3）分∠CPF的∠FPE的内部与外部两种情况进行讨论即可得.
试题解析：（1）∵矩形ABCD ，∴，
∴ ， ∵A、P、F在一条直线上，且PF⊥BD，
∴ ， ∴，
∴，∵，
∴ ， ∴，
∴ ；

（2）∵PF⊥BP ，∴，
∴ ，∵ ，∴，
∴， 又∵∠BAP =∠FPE，
∴∽ ，∴ ，
∵AD//BC ， ∴，
∴ ， 即 ，
∵ ， ∴ ，
∴，
∴；
（3）∠CPF=∠BPE，
①如图所示，当点F在CE上时，
∵∠BPF=∠FPD=90°，∴∠DPC=∠FPE，
∵∠FPE=∠BAP，∴∠DPC=∠BAP，
∵AB//CD，∴∠ABD=∠CDB，
∴△PAB∽△CPD，
∴PB：CD=AB：PD，
∴PB·PD=CD·AB，
∴x（）=2×2，
∴x=；

②如图所示，当点F在EC延长线上时，
过点P作PN⊥CD于点N，在CD上取一点M，连接PM，使∠MPF=∠CPF，
则有PC：PM=CH：MH，
∵∠BPF=∠DPF=90°，∴∠BPC=∠DPM，
∵∠BPE=∠CPF，∴∠BPE=∠EPF，
∵∠BAP=∠FPE，∴∠BAP=∠DPM，
∵∠ABD=∠BDC，
∴△PAB∽△MPD，
∴PB：MD=AB：PD，
由PD=x，tan∠PDM=tan∠PFC=2，
易得：DN= ，PN=，CN=2-，
PH=2x，FH= ，CH=2-x，
由PB：MD=AB：PD可得MD= ，从而可得MN，
在Rt△PCN中利用勾股定理可得PC，
由PC：PM=CH：MH可得PM，
在在Rt△PMN中利用勾股定理可得关于x 的方程，
解得x= ，

综上：PD的长为：或 .
【点睛】本题考查了相似综合题，涉及到的知识点有相似三角形的判定与性质，三角函数的应用，三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例等，解题的关键是根据图形正确地确定相似的三角形，添加适当的辅助线等.
11．（1）B（，0），30°；（2）或；（3）①y=+1（1-≤x≤1）；②
【解析】
【分析】
（1）由题意得出直线AB的解析式，令y=0即可得到点B坐标，再利用正切的含义求出∠ABO的度数；
（2）设这样两条直线与直线AB交点为C、D（其中点C在点D上方），作CE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，证明△CEM≌△MFD，令C（a，a+2），从而得到点D坐标，代入直线AB的解析式，即可得到结果；
（3）①分别过C作CP⊥x轴于P，取PD中点Q，连接NQ，根据C、D坐标得到点N的坐标，从而求出点N的横纵坐标之间的关系；
②首先得到点N的运动轨迹，再用两点之间距离的求法求解即可．
【详解】
解：（1）∵经过点且与平行的直线，交x轴于点B，
∴直线AB的解析式为：y=+2，
令y=0，解得：x=，
∴B（，0），
∵tan∠ABO==，
∴∠ABO=30°；
（2）这样的直线有2条，设它们与直线AB交点为C、D（其中点C在点D上方），
作CE⊥x轴于E，CF⊥x轴于F，
可得：△CMD为等腰直角三角形，
∴CM=DM，又∠ECM=90°-∠OMC=∠DMF，∠CEM=∠DFM=90°，
∴△CEM≌△MFD（AAS），
令C（a，a+2），可得CE=MF=a +2，ME=DF=1-a，
∴D（a+3,1-a），
将D点坐标代入直线AB解析式得a=，
∴此时D点横坐标为，
综上所述，所求横坐标为或；

（3）①将C（m，n）代入直线AB解析式可得n=m+2，
分别过C作CP⊥x轴于P，取PD中点Q，连接NQ，
则NQ∥CP且NQ=CP，
根据C、D坐标可得CP=m+2，OP=m，DO=3m-2，
∴DQ=PQ=2m-1，NQ=m+1，故N（-m+1，m+1），
设x=-m+1，y=m+1，
则