山东省青岛实验初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案.doc

山东省青岛实验初级中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、点点A在点B的左边，交y轴于点C，直线经过点B，交y轴于点D，且，．
求b、c的值；
点在第一象限，连接OP、BP，若，求点P的坐标，并直接判断点P是否在该抛物线上；
在的条件下，连接PD，过点P作，交抛物线于点F，点E为线段PF上一点，连接DE和BE，BE交PD于点G，过点E作，垂足为H，若，求的值．

2．已知抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点，顶点为点D．

（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且，求直线CE的解析式
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点，在抛物线对称轴上找一点F，使的值最小此时，在抛物线上是否存在一点K，使的值最小，若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知函数均为一次函数，m为常数．

（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
4．如图，过原点的抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），B为抛物线的顶点，连接OB，点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC⊥OB，垂足为点C．
（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；
（2）设点P的横坐标为m，将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90°，得△PO′C′，当点O′和点C′分别落在抛物线上时，求相应的m的值；
（3）当（2）中的点C′落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0＜n＜2）个单位，点B、C′平移后对应的点分别记为B′、C″，是否存在n，使得四边形OB′C″A的周长最短？若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由．

5．如图，A是以BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连接并延长CG与BE相交于点F，连接并延长AF与CB的延长线相交于点P．
（1）求证：BF＝EF；
（2）求证：PA是圆O的切线；
（3）若FG＝EF＝3，求圆O的半径和BD的长度．

6．四边形ABCF中，AF∥BC，∠AFC=90°，△ABC的外接圆⊙O交CF于E，与AF相切于点A，过C作CD⊥AB于D，交BE于G．
（1）求证：AB=AC；
（2）①证明：GE=EC；
②若BC=8，OG=1，求EF的长．

7．直线m∥n，点A、B分别在直线m，n上（点A在点B的右侧），点P在直线m上，AP＝AB，连接BP，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，连接AC交直线n于点E，连接PC，且ABE为等边三角形．
（1）如图①，当点P在A的右侧时，请直接写出∠ABP与∠EBC的数量关系是　 　，AP与EC的数量关系是　 　．
（2）如图②，当点P在A的左侧时，（1）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
（3）如图②，当点P在A的左侧时，若△PBC的面积为，求线段AC的长．

8．⊙O是四边形ABCD的外接圆，，OB与AC相交于点H，．

（1）求⊙O的半径；
（2）求AD的长；
（3）若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF//AC，EG//AD． EF与AD相交于点F，EG与AC相交于点G．试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不存在，请说明理由．
9．如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；
（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为OC上动点(与点O不重合)，作AF⊥BE，垂足为G，交BO于H．连接OG、CG．
(1)求证：AH=BE；
(2)试探究：∠AGO 的度数是否为定值？请说明理由；
(3)若OG⊥CG，BG=，求△OGC的面积．

11．如图，在中，为边的中点，为线段上一点，连结并延长交边于点，过点作的平行线，交射线于点，设．

（1）当时，求的值；
（2）设，求关于的函数关系式；
（3）当时，求的值．
12．如图，抛物线y＝mx2﹣4mx+2m+1与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，与y轴交于点C，且x2﹣x1＝2．

（1）求抛物线的解析式；
（2）E是抛物线上一点，∠EAB＝2∠OCA，求点E的坐标；
（3）设抛物线的顶点为D，动点P从点B出发，沿抛物线向上运动，连接PD，过点P做PQ⊥PD，交抛物线的对称轴于点Q，以QD为对角线作矩形PQMD，当点P运动至点（5，t）时，求线段DM扫过的图形面积．
13．如图，已知矩形ABCD中，AB=8，AD=6， 点E是边CD上一个动点，连接AE，将△AED沿直线AE翻折得△AEF.

(1) 当点C落在射线AF上时，求DE的长;
(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F，当AD与圆F相切时，求cos∠FAB的值;
(3)若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满∠BQP=45°，直接写出线段BP长的取值范围.
14．已知，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．

（1）如图1，分别求的值；
（2）如图2，点为第一象限的抛物线上一点，连接并延长交抛物线于点，，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点为第一象限的抛物线上一点，过点作轴于点，连接、，点为第二象限的抛物线上一点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，设，，点为线段上一点，点为第三象限的抛物线上一点，分别连接，满足，，过点作的平行线，交轴于点，求直线的解析式．
15．我们规定：有一组邻边相等，且这组邻边的夹角为的凸四边形叫做“准筝形”．

（1）如图1，在四边形中，，，，求证：四边形是“准筝形”；
（2）如图2，在“准筝形”中，，，，，求的长；
（3）如图3，在中，，，，设是所在平面内一点，当四边形是“准筝形”时，请直接写出四边形的面积．
16．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点A、B在函数的图象上，顶点C、D在函数的图象上，其中，对角线轴，且于点P．已知点B的横坐标为4．
（1）当，时，
①点B的坐标为________，点D的坐标为________，BD的长为________．
②若点P的纵坐标为2，求四边形ABCD的面积．
③若点P是BD的中点，请说明四边形ABCD是菱形．
（2）当四边形ABCD为正方形时，直接写出m、n之间的数量关系．

17．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，记∠ABC＝α，点D为射线BC上的动点，连接AD，将射线DA绕点D顺时针旋转α角后得到射线DE，过点A作AD的垂线，与射线DE交于点P，点B关于点D的对称点为Q，连接PQ．

（1）当△ABD为等边三角形时，
①依题意补全图1；
②PQ的长为　 　；
（2）如图2，当α＝45°，且BD＝时，求证：PD＝PQ；
（3）设BC＝t，当PD＝PQ时，直接写出BD的长．（用含t的代数式表示）
18．已知四边形是矩形．
（1）如图1，分别是上的点，垂直平分，垂足为，连接．
①求证：；
②若，求的大小；

（2）如图2，，分别是上的点，垂直平分，点是的中点，连接，若，直接写出的长．
19．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P分别作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB的周长与面积相等，则点P是“和谐点”．
（1）点M（1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P（a，3）是第一象限内的一个“和谐点”，是关于x，y的二元一次方程的解，求a，b的值．
（2）如图②，点E 是线段PB上一点，连接OE并延长交AP的延长线于点Q，若点P（2，3），，求点Q的坐标；
（3）如图③，连接OP，将线段OP向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段．若M是直线上的一动点，连接PM、OM，请画出图形并写出与，的数量关系．

20．已知在矩形ABCD中，AB=2，AD=4．P是对角线BD上的一个动点（点P不与点B、D重合），过点P作PF⊥BD，交射线BC于点F．联结AP，画∠FPE=∠BAP，PE交BF于点E．设PD=x，EF=y．
（1）当点A、P、F在一条直线上时，求△ABF的面积；
（2）如图1，当点F在边BC上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数定义域；
（3）联结PC，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD的长．

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一、压轴题

1．（1） ；（2），点P在抛物线上；（3）2.
【解析】
【分析】
(1)直线y=kx-6k，令y=0，则B(6，0)，便可求出点D、C的坐标，将B、C代入抛物线中，即可求得b、c的值；
(2)过点P，作轴于点L，过点B作于点T，先求出点P的坐标为(4，4)，再代入抛物线进行判断即可；
(3)连接PC，过点D作DM⊥BE于点M，先证△PCD≌△PLB，再分别证四边形EHKP、FDKP为矩形，求得=2.
【详解】
解：如图，直线经过点B，
令，则，即，
，，，
，，点，
点B、C在抛物线上，
，解得：，
函数表达式为：；
如图，过点P，作轴于点L，过点B作于点T，

，
，，
点在第一象限，，
，，
，
，，
，
当时，，
故点P在抛物线上；
如图，连接PC，

，，
轴，
，
，
，
≌，
，，
，
，
过点P作于点K，连接DF，
，，
，四边形EHKP为平行四边形，
，四边形EHKP为矩形，
，
，，
，
在中，，
，，
，
，
过点D作于点M，
，，
，，
，，，
，直线PF与BD解析式中的k值相等，
，
联立并解得：，即，
，
，，
，，四边形FDKP为平行四边形，
，四边形FDKP为矩形，
，，
，
，，
，
．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，四边形综合性质，解直角三角形等知识，综合性很强，难度很大.
2．（1）；（2）；（3）点P的坐标为；（4）存在，点K的坐标为
【解析】
【分析】
（1）由于点A、B为抛物线与x轴的交点，可设两点式求解；也可将A、B、C的坐标直接代入解析式中利用待定系数法求解即可；
（2）根据两个三角形的高相等，则由面积比得出，求出AE,根据点A坐标可解得点E坐标,进而求得直线CE的解析式；
（3）分两种情况讨论①当四边形为平行四边形时；②当四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质和点的坐标位置关系得出纵坐标的关系式，分别代入坐标数值，解方程即可解答；
（4）根据抛物线的对称性，AF=BF，则HF+AF=HF+BF，当H、F、B共线时，HF+AF值最小，求出此时点F的坐标，设，由勾股定理和抛物线方程得，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为，则点S的坐标为，此时，,∴KF+KG=KS+KG,当S、K、G共线且平行y轴时，KF+KG值最小，由点G坐标解得，代入抛物线方程中解得，即为所求K的坐标．
【详解】
解：（1）方法1：设抛物线的解析式为
将点代入解析式中，则有．
∴抛物线的解析式为．
方法二：∵经过三点抛物线的解析式为，
将代入解析式中，则有
，解得：，
∴抛物线的解析式为．
（2），
．
．
．
．
的坐标为．
又点的坐标为．
直线的解析式为．
（3）．
∴顶点D的坐标为．
①当四边形为平行四边形时，由DQ∥CP，DQ=CP得：
，即．
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
②当四边形为平行四边形时，由CQ∥DP，CQ=DP得：
，即
．令，则．
．
∴点P的坐标为．
∴综合得：点P的坐标为
（4）∵点A或点B关于对称轴对称
∴连接与直线交点即为F点．
∵点H的坐标为，点的坐标为，
∴直线BH的解析式为：．
令，则．
当点F的坐标为时，的值最小．11分
设抛物线上存在一点，使得的值最小．
则由勾股定理可得：．
又∵点K在抛物线上，

代入上式中，

．
如图，过点K作直线SK，使轴，且点的纵坐标为．
∴点S的坐标为．
则．

（两处绝对值化简或者不化简者正确．）
．

当且仅当三点在一条直线上，且该直线干行于y轴，的值最小．
又∵点G的坐标为，
，将其代入抛物线解析式中可得：．
∴当点K的坐标为时，最小．

【点睛】
本题主要考查了二次函数与几何图形的综合，涉及待定系数法、平行四边形的性质、、三角形面积、求线段和的最小值（即将军饮马模型）等知识，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．
3．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】
解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，

，
，

，

设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即

；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图象交x轴于D点

二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上
且

，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线

，
直线
点
，
位置二：如图

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线

，
直线
点
，
位置三：如图

当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线

，
直线
点
，

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点睛】
本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
4．（1），点B（2，2）；（2）m=2或；（3）存在；n=时，抛物线向左平移．
【解析】
【分析】
（1）将点A和点O的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然后利用配方法可求得点B的坐标；
（2）由点A、点B、点C的坐标以及旋转的性质可知△△PDC为等腰直角三角形，从而可得到点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，），然后根据点在抛物线上，列出关于m的方程，从而可解得m的值；
（3）如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处，以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″，由线段的性质可知当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短，先求得点B′的坐标，根据点B移动的方向和距离从而可得出点抛物线移动的方向和距离．
【详解】
解：（1）把原点O（0，0），和点A（4，0）代入y=x2+bx+c．
得，
∴．
∴．
∴点B的坐标为（2，2）．
（2）∵点B坐标为（2，2）．
∴∠BOA=45°．
∴△PDC为等腰直角三角形．
如图，过C′作C′D⊥O′P于D．

∵O′P=OP=m．
∴C′D=O′P=m．
∴点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，）．
当点O′在y=x2+2x上．
则−m2+2m＝m．
解得：，（舍去）．
∴m=2．
当点C′在y=x2+2x上，
则×()2+2×＝m，
解得：，（舍去）．
∴m=
（3）存在n=，抛物线向左平移．
当m=时，点C′的坐标为（，）．
如图，将AC′沿C′B平移，使得C′与B重合，点A落在A′处．

以过点B的直线y=2为对称轴，作A′的对称点A″，连接OA″．
当B′为OA″与直线y=2的交点时，四边形OB′C″A的周长最短．
∵BA′∥AC′，且BA′=AC′，点A（4，0），点C′（，），点B（2，2）．
∴点A′（，）．
∴点A″的坐标为（，）．
设直线OA″的解析式为y=kx，将点A″代入得：，
解得：k=．
∴直线OA″的解析式为y=x．
将y=2代入得：x=2，
解得：x=，
∴点B′得坐标为（，2）．
∴n=2．
∴存在n=，抛物线向左平移．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质、路径最短等知识点，由旋转的性质和平移的性质求得点点O′坐标为：（m，m），点C′坐标为：（，）以及点B′的坐标是解题的关键．
5．（1）详见解析；（2）详见解析；（3）BD＝2，r＝3．
【解析】
【分析】
（1）根据已知条件得到∠EBC＝∠ADC＝90°，根据平行线分线段成比例定理得出，等量代换即可得到结论；
（2）证明∠PAO＝90°，连接AO，AB，根根据直角三角形斜边中线的性质，切线的性质和等量代换，就可得出结论；
（3）连接AB，根据圆周角定理得到∠BAC＝∠BAE＝90°，推出FA＝FB＝FE＝FG＝3，过点F作FH⊥AG交AG于点H，推出四边形FBDH是矩形，得到FB＝DH＝3，根据勾股定理得到FH＝，设半径为r，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵EB是切线，AD⊥BC，
∴∠EBC＝∠ADC＝90°，
∴AD∥EB，（同位角相等，两直线平行）
∴，（平行线分线段成比例）
∵G是AD的中点，
∴AG＝GD，
∴EF＝FB；
（2）证明：连接AO，AB，

∵BC是⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，（直径所对圆周角为直角）
在Rt△BAE中，由（1）知，F是斜边BE的中点，直角三角形斜边中线为斜边一半，
∴AF＝FB＝EF，且等边对等角，
∴∠FBA＝∠FAB，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO，
∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBO＝90°，
∵∠EBO＝∠FBA+∠ABO＝∠FAB+∠BAO＝∠FAO＝90°，
∴PA是⊙O的切线；
（3）如图2，连接AB，AO，

∵BC是直径，
∴∠BAC＝∠BAE＝90°，
∵EF＝FB，
∴FA＝FB＝FE＝FG＝3，
过点F作FH⊥AG交AG于点H，
∵FA＝FG，FH⊥AG，
∴AH＝HG，
∵∠FBD＝∠BDH＝∠FHD＝90°，
∴四边形FBDH是矩形，
∴FB＝DH＝3，
∵AG＝GD，
∴AH＝HG＝1，GD＝2，FH＝，
∴BD＝，
设半径为r，在RtADO中，
∵，
∴，解得：r＝，
综上所示：BD＝，r＝．
【点睛】
本题主要考察了平行线的性质及定理、平行线分线段成比例定理、等边对等角、直角三角形斜边中线的性质、圆周角定理、勾股定理及圆的切线及其性质，该题较为综合，解题的关键是在于掌握以上这些定理，并熟练地将其结合应用．
6．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC，即可得到结论成立；
（2）①先证明BE是直径，则先证明∠ACD=∠EBC，由∠ABC=∠ACB，则∠BCD=∠ABG=∠ACE，则得到∠EGC=∠ECG，即可得到GE=EC；
②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE中，由勾股定理得，得到半径，然后得到EC的长度；作OM⊥CE于点M，则EM=3，即可求出EF的长度．
【详解】
解：（1）连接OC，则OA=OB=OC，

∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，
∵AF是切线，
∴∠FAO=90°=∠AFC，
∴OA∥FC，
∴∠CAO=∠ACE=∠ABO，
∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO，
∴∠AOB=∠AOC，
∴AB=AC；
（2）①∵AF∥BC，∠AFC=90°，
∴∠BCE=90°，
∴BE是直径，
∵CD⊥AB，
∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC，
∵∠DAC=∠BEC，
∴∠ACD=∠EBC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD，
∴∠ABO=∠BCD=∠ACE，
∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
∴∠EGC=∠ECG，
∴EG=EC；
②作OM⊥CE于点M，如图：

则四边形AOMF是矩形，
∴AO=FM，
∵OG=1，
设GE=EC=r+1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得
，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴AO=FM=5，EC=6，
∵OM⊥EC，OM是半径，EC是弦，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．
7．（1）∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；（2）成立，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（2）根据等边三角形的性质得到∠ABE＝60°，AB＝BE，根据旋转的性质得到∠CBP＝60°，BC＝BP，根据全等三角形的性质得到结论；
（3）过点C作CD⊥m于D，根据旋转的性质得到△PBC是等边三角形，求得PC＝3，设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，得到AC＝2t，根据平行线的性质得到∠CAD＝∠AEB＝60°，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：（1）∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，
即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
故答案为：∠ABP＝∠EBC，AP＝EC；
（2）成立，理由如下，
∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE＝60°，AB＝BE，
∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴∠CBP＝60°，BC＝BP，
∴∠ABP＝60°﹣∠PBE，∠CBE＝60°﹣∠PBE，
即∠ABP＝∠EBC，
∴△ABP≌△EBC（SAS），
∴AP＝EC；
（3）过点C作CD⊥m于D，

∵将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到BC，
∴△PBC是等边三角形，
∴PC2＝，
∴PC＝3，
设AP＝CE＝t，则AB＝AE＝3t，
∴AC＝2t，
∵m∥n，
∴∠CAD＝∠AEB＝60°，
∴AD＝AC＝t，CD＝AD＝t，
∵PD2+CD2＝PC2，
∴（2t）2+3t2＝9，
∴t＝（负值舍去），
∴AC＝2t＝．
【点睛】
本题主要考查等边三角形的判定及性质、旋转的性质应用、三角形全等的判定及性质、勾股定理等相关知识点，解题关键在于找到图形变化过程中存在的联系，类比推理即可得解．
8．（1）⊙O的半径为10，（2）AD长为19.2，（3）存在，四边形AGEF的面积的最大值为34.56．
【解析】
【分析】
（1）如图1

利用垂径定理构造直角三角形解决问题．
（2）如图2

在（1）基础上利用圆周角和圆心角的关系证明△OCH∽△DCK，求出Dk，再据垂径定理求得AD．
（3）如图3

以平行四边形AGEF的面积为函数，以AG边上的高为自变量，列出一个二次函数，利用二次函数的最值求解．
【详解】
（1）如图1

连接OC，因为,根据垂径定理知
HC=
在RT△BCH中
∵
∴由勾股定理知：
∴OH=OB-BH=OB-2
又∵OB=OC
所以在RT△OCH中，由勾股定理可得方程：
解得OC=10．
（2）如图2，在⊙O中：

∵AC=CD，
∴OC⊥AD（垂径定理）
∴AD=2KD，∠HCK=∠DCK
又∵∠DKC=∠OHC=90°
∴△OCH∽△DCK
∴
∴=9.6
∴AD=2KD=19.2．
（3）如图3

本题与⊙O无关，但要运用前面数据．作FM⊥AC于M，作DN⊥AC于N，显然四边形AGEF为平行四边形，设平行四边形AGEF的面积为y、EM=x、DN=a（a为常量），
先运用(2)的△OCH∽△DCK，得CK=7.2．
易得△DFE∽△DAC，
∴（相似三角形对应高之比等于相似比）
∴
∴AG=
∴平行四边形AGEF的面积y=(0＜x＜a）
由二次函数知识得，当x=时，y有最大值．
把x=代入到中得，
∴此时EF、EG、FG恰是△ADC的中位线
∴四边形AGEF的面积y最大=．
【点睛】
本题主要考查与圆有关线段的计算、与二次函数有关的几何最值问题．（1）的关键是利用垂径定理构造直角三角形，最后用勾股定理进行计算．（2）的关键是运用与圆有的角的性质证明相似，再进行计算．（3）难点是分清图形的变与不变，选择恰当的变量并列出函数关系式．
9．（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．
【解析】
【分析】
（1）先根据直线经过点，即可确定B、C的坐标，然后用带定系数法解答即可；
（2）先求出A、B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；
（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标
【详解】
解：（1）∵直线经过点
∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0,5）
当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5,0）
∴解得
∴该抛物线的解析式为
（2）的为直角三角形，理由如下：
∵解方程=0，则x1=1，x2=5
∴A（1,0），B（5,0）
∵抛物线的对称轴l为x=3
∴△APB为等腰三角形
∵C的坐标为（5,0）, B的坐标为（5,0）
∴OB=CO=5,即∠ABP=45°
∴∠ABP=45°，
∴∠APB=180°-45°-45°=90°
∴∠APC=180°-90°=90°
∴的为直角三角形；
（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，
∵M1A=M1C，
∴∠ACM1=∠CAM1
∴∠AM1B=2∠ACB
∵△ANB为等腰直角三角形.
∴AH=BH=NH=2
∴N（3，2）
设AC的函数解析式为y=kx+b
∵C(0，5),A(1，0)
∴ 解得b=5，k=-5
∴AC的函数解析式为y=-5x+5
设EM1的函数解析式为y=x+n
∵点E的坐标为（）
∴=× +n，解得：n=
∴EM1的函数解析式为y=x+
∵ 解得
∴M1的坐标为（）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2
设M2（a，-a+5）
则有：3=，解得a=
∴-a+5=
∴M2的坐标为（，）．
综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．

【点睛】
本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
10．(1)见解析；(2)45°；(3)9.
【解析】
【分析】（1）利用正方形性质，证△ABH ≌△BCE.可得AH=BE .
（2）证△AOH∽△BGH， ，，再证△OHG∽△AHB.，
得∠AGO=∠ABO=45°；
（3）先证△ABG ∽△BFG.  得,所以，AG·GF=BG 2 
=（）2=18. 再证△AGO ∽△CGF.得,所以，GO·CG =AG·GF=18.所以，S△OGC =CG·GO.   
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=90°，AB=CB，∠ABO=∠ECB =45°
∵AF⊥BE,
∴∠BAG+∠ABG=∠CBE +∠ABG=90°.
∴∠BAH=∠CBE.  
∴△ABH ≌△BCE.  
∴AH=BE .  
（2）∵∠AOH=∠BGH=90°, ∠AHO=∠BHG,
 ∴△AOH∽△BGH
∴
∴
     ∵∠OHG =∠AHB.
∴△OHG∽△AHB. 
∴∠AGO=∠ABO=45°,即∠AGO的度数为定值
（3）∵∠ABC=90°,AF⊥BE,
∴∠BAG=∠FBG,∠AGB=∠BGF=90°,
∴△ABG ∽△BFG.  
∴,
∴AG·GF=BG 2 =（）2=18. 
∵△AHB∽△OHG，
∴∠BAH=∠GOH=∠GBF.
∵∠AOB=∠BGF=90°,
∴∠AOG=∠GFC.   
∵∠AGO=45°,CG⊥GO,
∴∠AGO=∠FGC=45°.
∴△AGO ∽△CGF.      
∴,
∴GO·CG =AG·GF=18.
∴S△OGC =CG·GO=9.   
【点睛】此题为综合题，要熟练掌握正方形性质和相似三角形判定方法还有相似三角形的性质.
11．（1）AG：AB=；（2）；（3）或．
【解析】
【分析】
（1）根据推出BE=AG和AD=AB，进而得出AG是AD的一半即可推出最后结果；
（2）先设AB=1，可推出BE=，，再证明，进而得出，即可写出关于的函数关系式；
（3）当点H在边DC上时，根据可推出，进而列出方程即得；当点在的延长线上时，根据可推出，进而列出方程即得．
【详解】
（1）∵在中，AD=BC，AD∥BC
∴
∴
∵，即
∴
∴AD=AB，AG= BE
∵E为BC的中点
∴BE=BC
∴AG=AB
则AG：AB=；
（2）∵
∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=
∵AD∥BC
∴
∴
∵GH∥AE
∴∠DGH=∠DAE
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠AEB
∴∠DGH=∠AEB
在中，∠D=∠ABE
∴
∴
∴；
（3）分两种情况考虑：
∵
∴不妨设AB=1，则AD=x，BE=
∵AD∥BC
∴
∴
①当点H在边DC上时，如图1所示：

∵DH=3HC
∴
∴
∵
∴，即
解得：；
②当在的延长线上时，如图2所示：

∵DH=3HC
∴
∴
∵
∴，即
解得：
综上所述，或
【点睛】
本题属于相似三角形综合题，涉及的知识有：平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，以及平行线的性质．解本题的关键是根据H点在射线DC上，将H点的位置分为：点H在边DC上以及点在的延长线上．
12．（1）；（2）（，﹣）或（，）；（3）1.
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线的对称轴公式以及与x轴的交点坐标可得，又x2﹣x1＝2，可求得x1＝1，x2＝3，由此可得A，B两点坐标.将A点坐标代入抛物线解析式可求得m的值，由此可得抛物线解析式；
（2）作MN垂直且平分线段AC，交y轴与点F，连接FA.可得∠OFA=2∠OCA，所以∠OFA=∠EAB，在Rt△OFA中表示∠OFA的正切值，分点E在x轴下方和x轴上方两种情况讨论，分别构造直角三角形表示∠EAB（∠E'AB）的正切值.根据相等角的正切值相等列出方程解方程即可；
（3）连接AD，过P作PS⊥QD于点S，作PH⊥x轴于点H，过B作BI∥QD，交PS于点I，先证明M的轨迹在x轴上，当P在B点时，M在A点.点P从点B出发沿抛物线向上运动时，M在A处沿x轴向左边运动．MD扫过的面积即S△MAD，求S△MAD即可.
【详解】
解：（1）∵抛物线与x轴有两个交点A（x1，0），B（x2，0）
∴抛物线对称轴直线x＝＝＝2
∴
又∵x2﹣x1＝2
∴x1＝1，x2＝3
则点A（1，0），B（3，0）
把点A（1，0）代入y＝mx2﹣4mx+2m+1中得，
m﹣4m+2m+1＝0
解得，m＝1
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3
（2）如图①

作MN垂直且平分线段AC，交y轴与点F．连接FA，则∠OFA＝2∠OCA
由MN垂直平分AC得FC＝FA，设F（0，n），则OF＝n，OA＝