上海同济大学附属存志学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案.doc

上海同济大学附属存志学校九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

一、压轴题
1．如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D为直线AC上方抛物线上一动点；
①连接BC、CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S1， △BCE的面积为S2， 求的最大值；
②过点D作DF⊥AC，垂足为点F，连接CD，是否存在点D，使得△CDF中的某个角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由
2．已知函数均为一次函数，m为常数．

（1）如图1，将直线绕点逆时针旋转45°得到直线，直线交y轴于点B．若直线恰好是中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得成立，求函数图象间的距离；
（3）当时，函数图象分别交x轴，y轴于C，E两点，图象交x轴于D点，将函数的图象最低点F向上平移个单位后刚好落在一次函数图象上，设的图象，线段，线段围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴正半轴交于点，且点的坐标为，过点作垂直于轴的直线．是该抛物线上的任意一点，其横坐标为，过点作于点；是直线上的一点，其纵坐标为，以，为边作矩形．

（1）求的值．
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）当矩形是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求的值．
（4）当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小时，直接写出的取值范围．
4．已知：如图，抛物线交正半轴交于点，交轴于点，点在抛物线上，直线：过点，点是直线上的一个动点，的外心是．

（1）求，的值．
（2）当点移动到点时，求的面积．
（3）①是否存在点，使得点落在的边上，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
②过点作直线轴交直线于点，当点从点移动到点时，圆心移动的路线长为_____．（直接写出答案）
5．如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：
(Ⅰ)将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；
(Ⅱ)在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B′处，如图③，两次折痕交于点O；
(Ⅲ)展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④．
（探究）
（1）证明：OBC≌OED；
（2）若AB＝8，设BC为x，OB2为y，是否存在x使得y有最小值，若存在求出x的值并求出y的最小值，若不存在，请说明理由．

6．四边形ABCF中，AF∥BC，∠AFC=90°，△ABC的外接圆⊙O交CF于E，与AF相切于点A，过C作CD⊥AB于D，交BE于G．
（1）求证：AB=AC；
（2）①证明：GE=EC；
②若BC=8，OG=1，求EF的长．

7．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点．

（1）观察猜想：图1中，线段与的数量关系是_________，位置关系是_________；
（2）探究证明：把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
8．（问题发现）（1）如图①，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC+ED的最小值是　　．
（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的动点，点P为x轴上的动点，试求PM+PN的最小值．
（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB长为2米，边框BC长为3米，∠DAB＝∠B＝∠C＝90°，联动杆DE长为2米，联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，点G恰好是DE的中点，点F可在边框BC上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值并说明理由．

9．将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点B在第一象限，，，点P在边上（点P不与点重合）．

（1）如图①，当时，求点P的坐标；
（2）折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且，点O的对应点为，设．
①如图②，若折叠后与重叠部分为四边形，分别与边相交于点，试用含有t的式子表示的长，并直接写出t的取值范围；
②若折叠后与重叠部分的面积为S，当时，求S的取值范围（直接写出结果即可）．
10．如图，已知点A（3，0），以A为圆心作⊙A与Y轴切于原点，与x轴的另一个交点为B，过B作⊙A的切线l．
（1）以直线l为对称轴的抛物线过点A及点C（0，9），求此抛物线的解析式；
（2）抛物线与x轴的另一个交点为D，过D作⊙A的切线DE，E为切点，求此切线长；
（3）点F是切线DE上的一个动点，当△BFD与△EAD相似时，求出BF的长．

11．如图①，在矩形中，cm，，点从点出发，沿射线以 (cm/s)的速度匀速移动．连接，过点作,与射线相交于点，作矩形，连接．设点移动的时间为(s)，的面积为(cm2), 与的函数关系如图②所示．

(1) = ；
(2)求矩形面积的最小值；
(3)当为等腰三角形时，求的值．
12．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线交x轴于点A、点点A在点B的左边，交y轴于点C，直线经过点B，交y轴于点D，且，．
求b、c的值；
点在第一象限，连接OP、BP，若，求点P的坐标，并直接判断点P是否在该抛物线上；
在的条件下，连接PD，过点P作，交抛物线于点F，点E为线段PF上一点，连接DE和BE，BE交PD于点G，过点E作，垂足为H，若，求的值．

13．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，BC＝9，点P，Q分别在BC，AC上，CP＝3x，CQ＝4x（0＜x＜3）．把△PCQ绕点P旋转，得到△PDE，点D落在线段PQ上．
（1）求证：PQ∥AB；
（2）若点D在∠BAC的平分线上，求CP的长；
（3）若△PDE与△ABC重叠部分图形的周长为T，且12≤T≤16，求x的取值范围．

14．如图1，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．
（1）求抛物线M2的解析式；
（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；
（3）如图2，将直线OB向下平移，交抛物线M1于点E，F，交抛物线M2于点G，H，则的值是否为定值，证明你的结论．

15．如图，在平面直角坐标系xOy中，过⊙T外一点P引它的两条切线，切点分别为M，N，若，则称P为⊙T的环绕点．

(1)当⊙O半径为1时，
①在中，⊙O的环绕点是___________;
②直线y=2x+b与x轴交于点A，y轴交于点B，若线段AB上存在⊙O的环绕点，求b的取值范围；
（2）⊙T的半径为1，圆心为（0，t），以为圆心，为半径的所有圆构成图形H，若在图形H上存在⊙T的环绕点，直接写出t的取值范围．
16．已知，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为，点的坐标为．

（1）如图1，分别求的值；
（2）如图2，点为第一象限的抛物线上一点，连接并延长交抛物线于点，，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点为第一象限的抛物线上一点，过点作轴于点，连接、，点为第二象限的抛物线上一点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，连接，设，，点为线段上一点，点为第三象限的抛物线上一点，分别连接，满足，，过点作的平行线，交轴于点，求直线的解析式．
17．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．点在第四象限且在抛物线上．

（1）如（图1），当四边形面积最大时，在线段上找一点，使得最小，并求出此时点的坐标及的最小值；
（2）如（图2），将沿轴向右平移2单位长度得到，再将绕点逆时针旋转度得到，且使经过、的直线与直线平行（其中），直线与抛物线交于、两点，点在抛物线上．在线段上是否存在点，使以点、、、为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
18．在平面直角坐标系xoy中，点A (-4,-2)，将点A向右平移6个单位长度，得到点B.

（1）若抛物线y＝-x2＋bx＋c经过点A,B，求此时抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下的抛物线顶点为C，点D是直线BC上一动点（不与B，C重合），是否存在点D，使△ABC和以点A,B,D构成的三角形相似？若存在，请求出此时D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝-x2＋bx＋c的顶点在直线y＝x＋2上移动，当抛物线与线段有且只有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t的取值范围．
19．如图，在矩形ABCD中，已知AB=4，BC=2，E为AB的中点，设点P是∠DAB平分线上的一个动点（不与点A重合）．
（1）证明：PD=PE．
（2）连接PC，求PC的最小值．
（3）设点O是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P，使∠DPO=90°？若存在，请直接写出AP的长．

20．公司经销某种商品，经研究发现，这种商品在未来40天的销售单价（元/千克）关于时间的函数关系式分别为（，且为整数）；
，他们的图像如图1所示，未来40天的销售量（千克）关于时间的函数关系如图2的点列所示．

（1）求关于的函数关系式；
（2）那一天的销售利润最大，最大利润是多少？
（3）若在最后10天，公司决定每销售1千克产品就捐赠元给“环保公益项目”，且希望扣除捐赠后每日的利润不低于3600元以维持各种开支，求的最大值（精确到0.01元）．

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一、压轴题

1．（1）（2）①的最大值是，②﹣2或﹣.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）解：根据题意得A（﹣4，0），C（0，2），
∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、C两点，
∴ ，
∴ ，
∴y=﹣x2﹣x+2；
（2）解：①令y=0，即，
∴x1=﹣4，x2=1，
∴B（1，0），
如图1，过D作DM⊥x轴交AC于M，过B作BN⊥x轴交于AC于N，

∴DM∥BN，
∴△DME∽△BNE，
∴ = = ，
设D（a，），
∴M（a，a+2），
∵B（1.0），
∴N（1，），
∴ = = （a+2）2+ ；
∴当a=－2时，的最大值是；
②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），
∴AC=2 ，BC=，AB=5，
∴AC2+BC2=AB2 ，
∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，取AB的中点P，
∴P（﹣，0），
∴PA=PC=PB=，
∴∠CPO=2∠BAC，
∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，
过作x轴的平行线交y轴于R，交AC的延长线于G，
情况一：如图，

∵∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，
∴∠CDG=∠BAC，
∴tan∠CDG=tan∠BAC=，
即，
令D（a，），
∴DR=﹣a，RC=，
∴ ，
∴a1=0（舍去），a2=﹣2，
∴xD=﹣2，
情况二，∵∠FDC=2∠BAC，
∴tan∠FDC= ，
设FC=4k，
∴DF=3k，DC=5k，
∵tan∠DGC= ，
∴FG=6k，
∴CG=2k，DG=3k，
∴RC= k，RG=k，
DR=3k﹣k=k，
∴ = = ，
∴a1=0（舍去），a2=，
点D的横坐标为﹣2或﹣．
2．（1）（0,1）；1或0 （2） （3）
【解析】
【分析】
（1）由题意，可得点B坐标，进而求得直线的解析式，再分情况讨论即可解的m值；
（2）由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH，证得四边形GPTH是正方形，求出GP即为距离；
（3）先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为，得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低点为其顶点,根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m值，即可得知点D 、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，如：，较小的可为平行于DE且与抛物线相切时围成的图形面积．
【详解】
解：（1）由题意可得点B坐标为（0,1），
设直线的表达式为y=kx+1，将点A（-1,0）代入得：k=1，
所以直线的表达式为：y=x+1,
若直线恰好是的图象，则2m-1=1,解得：m=1，
若直线恰好是的图象，则2m+1=1,解得：m=0，
综上，，或者
（2）如图，

，
，

，

设与x轴、y轴交于T，P，分别与x轴、y轴交于G，H，连接GP，TH
，
四边形GPTH是正方形
，，即

；
（3），
分别交x轴，y轴于C，E两点
，
图象交x轴于D点

二次函数开口向上，它的图象最低点在顶点
顶点
抛物线顶点F向上平移,刚好在一次函数图象上
且

，
∴，
由，得到，，
由得到与x轴，y轴交点是，，，
抛物线经过，两点
的图象，线段OD，线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的面积
探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积．
探究过程：
①观察大于S的情况．
很容易发现
，
，
（若有S小于其他值情况，只要合理，参照赋分．）
②观察小于S的情况．
选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种方法，选取以下三种特殊位置：
位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x，y轴分别交于M，N
，
直线
设直线

，
直线
点
，
位置二：如图

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R
设直线，
直线

，
直线
点
，
位置三：如图

当直线EQ与抛物线有唯一交点时，直线EQ与x轴交于点Q
设直线

，
直线
点
，

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中间部分时取值越接近S的值
探究的结论：按上述方法可得一个取值范围
（备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案．只要来龙去脉清晰、合理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得分．）
【点睛】
本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计算．
3．（1）；（2）；（3）；（4）或．
【解析】
【分析】
（1）将A点坐标代入函数解析式即可求得b的值；
（2）分别表示出P、Q、M的坐标，根据Q、M的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相同，列出方程求解即可；
（3）分别表示出PQ和MQ的长度，根据矩形是正方形时，即可求得m的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m的值；
（4）分，，，四种情况讨论，结合图形分析即可．
【详解】
解：（1）将点代入
得，
解得b=1,；
（2）由（1）可得函数的解析式为，
∴,
∵于点，
∴,
∵是直线上的一点，其纵坐标为，
∴，
若点与点重合，则
，
解得；
（3）由（2）可得，，
当矩形是正方形时，
即，
即或，
解得，
解得，
又，
∴抛物线的顶点为(1，2)，
∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P点在抛物线对称轴左侧，即，且M点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即，
解得，故m的值为；
（4）①如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，且P点应该在x轴上侧，
即且，
解得，
解得，
∴，
②如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该小于P点纵坐标，
即，解得，
∴；
③当时，P点和M点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意；
④如下图

当时，若抛物线在矩形内的部分所对应的函数值随的增大而减小，
则M点的纵坐标应该大于P点纵坐标，
即，解得或，
故，
综上所述或．
【点睛】
本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M、P、Q的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
4．（1）；（2）；（3）①点E的坐标为：或或； ②圆心P移动的路线长=
【解析】
【分析】
（1）令求出点A（6，0），把点C（-4，n）代入在抛物线方程，解得：n=5，把点B（0，-3）代入，从而可得答案；
（2）记与轴的交点为，利用即可求解；
（3）①分当点P落在CA上时，点P落在AE上时，点P落在CE上时三种情况讨论即可； ②分E在D和B点两种情况，求出圆心点的坐标，则圆心P移动的路线长=，即可求解．
【详解】
解：（1）令

点A（6，0），
把点C（-4，n）代入在抛物线方程，
解得：
，
把点B（0，-3）代入，
解得：，
则：直线l：，…①

（2）由（1）知：A（6，0）、B（0，-3）、C（-4，5）、
AC中点为
设为：

解得：
所在的直线方程为：，
如图，AC与y轴交点H坐标为：（0，3），

（3）如下图： ①当点P落在CA上时， 圆心P为AC的中点
其所在的直线与AC垂直，

的垂直平分线即圆心P所在的直线方程为：
把代入得：

…②，

解得：
E的坐标为；
当点P落在AE上时， 设点
则点P的坐标，
则PA=PC，

解得：
故点
当点P落在CE上时， 则PC=PA，
同理可得：
故点
综上，点E的坐标为：或或；
②当E在D点时，作AD的垂直平分线交的垂直平分线于点，
则，的纵坐标为
代入②式，解得：
同理当当E在B点时， 作AB的垂直平分线交的垂直平分线于点，

的中点为：，
设为：，

解得：
AB直线方程为：，
设的垂直平分线方程为：

，
的垂直平分线方程为：

解得：

则圆心P移动的路线长=

故答案为：
【点评】
本题是二次函数的综合题，考查了二次函数与轴的交点坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式，三角形的外心的性质、一次函数的交点问题，勾股定理的应用，综合性很强，是难度较大类题目．
5．（1）见解析；（2）x=4，16
【解析】
【分析】
（1）连接EF，根据矩形和正方形的判定与性质以及折叠的性质，运用SAS证明OBC≌OED即可；
（2）连接EF、BE，再证明△OBE是直角三角形，然后再根据勾股定理得到y与x的函数关系式，最后根据二次函数的性质求最值即可．
【详解】
（1）证明：连接EF．
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠ABC＝∠BCD＝∠ADE＝∠DAF＝90°
由折叠得∠DEF＝∠DAF，AD＝DE
∴∠DEF＝90°
又∵∠ADE＝∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形
又∵AD＝DE，
∴四边形ADEF是正方形
∴AD＝EF＝DE，∠FDE＝45°
∵AD＝BC，
∴BC＝DE
由折叠得∠BCO＝∠DCO＝45°
∴∠BCO＝∠DCO＝∠FDE．
∴OC＝OD．
在△OBC与△OED中，

∴△OBC≌△OED（SAS）；

（2）连接EF、BE．
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝8．
由（1）知，BC＝DE
∵BC＝x，
∴DE＝x
∴CE＝8－x
由（1）知△OBC≌△OED
∴OB＝OE，∠OED＝∠OBC．
∵∠OED＋∠OEC＝180°，
∴∠OBC＋∠OEC＝180°．
在四边形OBCE中，∠BCE＝90°，∠BCE＋∠OBC＋∠OEC＋∠BOE＝360°，
∴∠BOE＝90°．
在Rt△OBE中，OB2＋OE2＝BE2．
在Rt△BCE中，BC2＋EC2＝BE2．∴OB2＋OE2＝BC2＋CE2．
∵OB2＝y，∴y＋y＝x2＋(8－x)2．
∴y＝x2－8x＋32
∴当x=4时，y有最小值是16．

【点睛】
本题是四边形综合题，主要考查了矩形和正方形的判定与性质、折叠的性质、全等三角形的判定、勾股定理以及运用二次函数求最值等知识点，灵活应用所学知识是解答本题的关键．
6．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，则OA=OB=OC，先证明OA∥FC，则有∠ACE=∠CAO，由∠ABE=∠ACE，然后得到∠AOB=∠AOC，即可得到结论成立；
（2）①先证明BE是直径，则先证明∠ACD=∠EBC，由∠ABC=∠ACB，则∠BCD=∠ABG=∠ACE，则得到∠EGC=∠ECG，即可得到GE=EC；
②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE中，由勾股定理得，得到半径，然后得到EC的长度；作OM⊥CE于点M，则EM=3，即可求出EF的长度．
【详解】
解：（1）连接OC，则OA=OB=OC，

∴∠ABO=∠BAO，∠ACO=∠CAO，
∵AF是切线，
∴∠FAO=90°=∠AFC，
∴OA∥FC，
∴∠CAO=∠ACE=∠ABO，
∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO，
∴∠AOB=∠AOC，
∴AB=AC；
（2）①∵AF∥BC，∠AFC=90°，
∴∠BCE=90°，
∴BE是直径，
∵CD⊥AB，
∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC，
∵∠DAC=∠BEC，
∴∠ACD=∠EBC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD，
∴∠ABO=∠BCD=∠ACE，
∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE，
∴∠EGC=∠ECG，
∴EG=EC；
②作OM⊥CE于点M，如图：

则四边形AOMF是矩形，
∴AO=FM，
∵OG=1，
设GE=EC=r+1，
在Rt△BCE中，由勾股定理得
，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴AO=FM=5，EC=6，
∵OM⊥EC，OM是半径，EC是弦，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出辅助线，运用数形结合的思想进行分析．
7．（1），；（2）等腰直角三角形，见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又△ABC为等腰直角三角形，AD=AE，所以得PN=PM，且互相垂直；
（2）由旋转可推出，再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN，再利用角度间关系推导出垂直即可；
（3）找到面积最大的位置作出图形，由（2）可知PM=PM，且PM⊥PN，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】
（1），；
已知点，，分别为，，的中点，根据三角形的中位线定理可得
，，，
根据平行线性质可得，
在中，，，
可得，
即得，
故答案为：；．
（2）等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可得，
又，
∴
∴，，
∵点，分别为，的中点
∴是的中位线
∴，且，
同理可证，且
∴，，，
∴，
，
∴，
即为等腰直角三角形．
（3）把绕点旋转的如图的位置，

此时，
且、的值最长，由（2）可知，
所以面积最大值为．
【点睛】
本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系．
8．（1）；（2）；（3）4，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，易证DBC'＝90°，C'B＝CB＝2，DB＝1，所以在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，故CD＝，即EC+ED的最小值是；
（2）作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M，根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A′的坐标，接着利用两点间的距离公式计算出A′B的长，然后用A′B的长减去两个圆的半径即可得到MN的长，即得到PM+PN的最小值；
（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．易知GE＝ DE＝1，所以点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，所以A'H＝=5，因此A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，即该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．
【详解】
解：（1）如图①，作点C关于AB的对称点C'，连接DE，与AB交于点E，连接CE．

∴CE＝C'E，
此时EC+ED＝EC'+ED＝C'D最短，
∵AC＝BC＝2，∠ACB＝90°
∴∠CBA＝∠CAB＝45°，C'B＝CB＝2
∴∠C'BA＝45°，
∴∠DBC'＝90°
∵D是BC边的中点，
∴DB＝1，
在Rt△DBC'中，C'D2＝12+22＝5，
∴CD＝，
∴EC+ED的最小值是，
故答案为；
（2）如图②，作⊙A关于x轴的对称⊙A′，连接BA′分别交⊙A′和⊙B'于M'、N，交x轴于P，连接PA，交⊙A于M．

则此时PM+PN＝PM'+PN＝M'N最小，
∵点A坐标（﹣2，3），
∴点A′坐标（﹣2，﹣3），
∵点B（3，4），
∴A'B＝＝，
∴M'N＝A′B﹣BN﹣A′M'＝﹣1﹣3＝﹣4
∴PM+PN的最小值为＝﹣4；
（3）如图③，延长AD、CE，交于点H，连接GH．

∵∠DAB＝∠B＝∠C＝90°
∴∠DHE＝90°，
∵G是DE的中点，DE＝2，
∴GE＝DE＝1，
∵联动杆DE的两端D、E允许在AD、CE所在直线上滑动，
∴点G在以H为圆心，1为半径的圆周上运动，
作点A关于BC的对称点A'，连接A'H，与BC交于点F，与⊙H交于点G，
此时AF+FG＝A'F+FG＝A'G为最短，
∵AB＝2，AH＝BC＝3，A'B＝2，A'A＝4，
∴A'H＝=5，
∴A'G＝A'H﹣GH＝5﹣1＝4，
所以该装置中的两根连接杆AF与FG长度和的最小值为4．
【点睛】
本题考查了圆的综合题，涉及到勾股定理、轴对称性质求最短值，综合性比较强，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键．
9．（1）点P的坐标为；（2）①，t的取值范围是；②．
【解析】
【分析】
（1）过点P作轴，则，因为，，可得，进而得，由30°所对的直角边等于斜边的一半可得，进而用勾股定理可得，点P的坐标即求出；
（2）①由折叠知，，所以，；再根据，即可根据菱形的定义“四条边相等的四边形是菱形”可证四边形为菱形，所以，可得；根据点A的坐标可知，加之，从而有；而在中，，
又因为，所以得，由和的取值范围可得t的范围是；
②由①知，为等边三角形，由（1）四边形为菱形，所以,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，从而，,进而可得，又已知t的取值范围是，即可得．
【详解】
解：（1）如图，过点P作轴，垂足为H，则．
，
．
．
在中，，
，．
点P的坐标为．

（2）①由折叠知，，
，．
又，
．
四边形为菱形．
．可得．
点，
．有．
在中，．
，
，其中t的取值范围是．
②由①知，为等边三角形，
∵四边形为菱形，
∴,三角形DCQ为直角三角形，∠Q=60°，
∴，,
∴，
∵，
∴．
，
【点睛】
本题主要考查了折叠问题，菱形的判定与性质，求不规则四边形的面积等知识．
10．（1）；（2）；（3）或．
【解析】
试题分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点坐标式，然后将C点坐标代入求解即可．
（2）由于DE是⊙A的切线，连接AE，那么根据切线的性质知AE⊥DE，在Rt△AED中，AE、AB是圆的半径，即AE=OA=AB=3，而A、D关于抛物线的对称轴对称，即AB=BD=3，由此可得到AD的长，进而可利用勾股定理求得切线DE的长．
（3）若△BFD与EAD△相似，则有两种情况需要考虑：①△AED∽△BFD，②△AED∽△FBD，根据不同的相似三角形所得不同的比例线段即可求得BF的长．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+k；
∵抛物线经过点A（3，0）和C（0，9），
∴，
解得：
∴y=（x-6）2-3．
（2）连接AE；
∵DE是⊙A的切线，
∴∠AED=90°，AE=3，
∵直线l是抛物线的对称轴，点A，D是抛物线与x轴的交点，
∴AB=BD=3，
∴AD=6；
在Rt△ADE中，DE2=AD2-AE2=62-32=27，
∴DE=3．
（3）当BF⊥ED时；
∵∠AED=∠BFD=90°，∠ADE=∠BDF，
∴△AED∽△BFD，
∴，
即，
∴BF=；
当FB⊥AD时，
∵∠AED=∠FBD=90°，∠ADE=∠FDB，
∴△AED∽△FBD，
∴，
即BF=；
∴BF的长为或．

考点：二次函数综合题．
11．（1）1；（2）矩形DEFG面积的最小值为；（3）当△CDG为等腰三角形时，t的值为或4或
【解析】
【分析】
（1）由函数图象可知，△ADC的面积为6，求出AC=5cm，再由图象可知运动时间为5s，则可得出答案；
（2）过点E作MN⊥BC，MN与射线BC相交于点N，与AD相交于点M，证明△ENF∽△DME，得出，证明△ENC∽△ABC，得出EF=DE，则S矩形DEFG=EF•DE=DE2．当DE⊥AC时，DE取得最小值，则可得出答案；
（3）证明△CDG∽△ADE，得出，可分三种情况：当CG=DG时，当CG=CD时，当CD=DG时，分别求出t的值即可．
【详解】
（1）由图象可知，△ADC的面积为6，
∵矩形ABCD中，AB=3cm，
∴CD=3cm，
∴S△ADC=×AD×CD=6，
∴AD=4cm，
∴AC=(cm)，
由图象可知当t=5时，点E移动到点C，
∴(cm/s)．
故答案为：1；
（2）如图1，过点E作MN⊥BC，MN与射线BC相交于点N，与AD相交于点M，

则在Rt△ENF和Rt△DME中，
∵∠NEF+∠MED=90°，且∠MDE+∠MED=90°，
∴∠NEF=∠MDE，
又∵∠ENF=∠DME=90°，
∴△ENF∽△DME，
∴，
∵EN∥AB，
∴△ENC∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由垂线段最短知，当DE⊥AC时，DE取得最小值，
此时，即，
∴矩形DEFG面积的最小值为；
（3）∵∠EDG=∠ADC=90°，
∴∠EDG-∠EDC=∠ADC-∠EDC，
∴∠CDG=∠ADE，
又∵，
∴△CDG∽△ADE，
∴，
①如图2，当CG=DG时，有AE=DE，

此时点E为AC的中点，，
∴；
②如图2，当CG=CD时，有AE=AD，
此时AE=4，
∴t=4；
③如图3，当CD=DG时，有AD=DE，

∴DE=4，
过点D作DH⊥AC于点H，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH∽△ACD，
∴，即，
∴，
∴，
∴．
综合以上可得，当△CDG为等腰三角形时，t的值为或4或．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，矩形的面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
12．（1） ；（2），点P在抛物线上；（3）2.
【解析】
【分析】
(1)直线y=kx-6k，令y=0，则B(6，0)，便可求出点D、C的坐标，将B、C代入抛物线中，即可求得b、c的值；
(2)过点P，作轴于点L，过点B作于点T，先求出点P的坐标为(4，4)，再代入抛物线进行判断即可；
(3)连接PC，过点D作DM⊥BE于点M，先证△PCD≌△PLB，再分别证四边形EHKP、FDKP为矩形，求得=2.
【详解】
解：如图，直线经过点B，
令，则，即，
，，，
，，点，
点B、C在抛物线上，
，解得：，
函数表达式为：；
如图，过点P，作轴于点L，过点B作于点T，

，
，，
点在第一象限，，
，，
，
，，
，
当时，，
故点P在抛物线上；
如图，连接PC，

，，
轴，
，
，
，
≌，
，，
，
，
过点P作于点K，连接DF，
，，
，四边形EHKP为平行四边形，
，四边形EHKP为矩形，
，
，，
，
在中，，
，，
，
，
过点D作于点M，
，，
，，
，，，
，直线PF与BD解析式中的k值相等，
，
联立并解得：，即，
，
，，
，，四边形FDKP为平行四边形，
，四边形FDKP为矩形，
，，
，
，，
，
．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图象与性质，四边形综合性质，解直角三角形等知识，综合性很强，难度很大.
13．（1）证明见解析；（2）6；（3）1≤x≤．
【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理求出AC的长，再根据计算可知，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC∽△BAC，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B，由此可得出PQ∥AB；
（2）连接AD，根据PQ∥AB和点D在∠BAC的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ，由此可得AQ＝DQ，分别表示AQ和DQ由此可得方程12﹣4x＝2x，解出x，即可求出CP；·
（3）先求出当点E在AB上时x的值，再分两种情况进行分类讨论．
【详解】
（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB＝15，BC＝9，
∴AC＝＝＝12．
∵＝＝，＝＝，
∴＝．
∵∠C＝∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ＝∠B，
∴PQ∥AB；
（2）解：连接AD，

∵PQ∥AB，
∴∠ADQ＝∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ＝∠DAB，
∴∠ADQ＝∠DAQ，
∴AQ＝DQ．
∵PD＝PC＝3x，QC=4x
∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.
∴DQ＝2x．
∵AQ＝12﹣4