北京市北大附中八年级上册期末数学试卷.doc

北京市北大附中八年级上册期末数学试卷
一、选择题
1、下列图形是轴对称图形的是（   ）
A． B． C． D．
2、生物学家发现了某种花粉的直径约为0.0000036毫米，数据0.0000036用科学记数法表示正确的是（　　）
A．3.6×10﹣5 B．0.36×10﹣5 C．3.6×10﹣6 D．0.36×10﹣6
3、下列计算正确的是 （       ）
A． B． C． D．
4、若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（       ）
A． B． C． D．且
5、下列各式从左到右的变形，是因式分解的是（       ）
A． B．
C． D．
6、下列分式的变形正确的是（       ）
A． B． C． D．
7、如图，在和中，，，还需在添加一个条件才能使，则不能添加的条件是（       ）

A． B． C． D．
8、若关于x的分式方程的根是正数，则实数m的取值范围是（       ）
A．，且 B．且，
C．，且 D．且，
9、如图，，∠A=45°，∠C=∠E，则∠C的度数为（　　　）

A．45° B．22.5° C．67.5° D．30°
二、填空题
10、如图，点C在线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是S1和S2，两正方形的面积和S1+S2=40，已知BG=8，则图中阴影部分面积为（       ）

A．6 B．8 C．10 D．12
11、若分式的值为0，则的值为　．
12、已知点P（a-1，2a-4）关于y轴的对称点在第二象限，则a的取值范围是_______．
13、已知，则的值是_____．
14、已知，，则的值为______．
15、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M、N分别是OB、OA边上的点，当△PMN周长的最小值是5cm时，则∠AOB= ____________ ．

16、若是完全平方式，则k的值为______________．
17、已知x﹣3y＝1，x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，则xy的值是 _____．
18、如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC，AB＝5cm，AD＝BC＝3cm，点E在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点F在线段BC上由点B向点C运动设运动时间为t（s），当△ADE与以B，E，F为顶点的三角形全等时，则点F的运动速度为 ___cm/s．

三、解答题
19、因式分解：
(1)x3y﹣xy3；
(2)（x＋2）（x＋4）＋x2﹣4
20、解方程：
(1)
(2)
21、如图，点B、C、D、F在一条直线上，FD＝BC，DE＝CA，EF＝AB，求证：EF∥AB．

22、概念认识：如图①，在中，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”．

(1)问题解决：如图②，在中，，，若的邻三分线交于点，则的度数为 　　；
(2)如图③，在中，，分别是邻三分线和邻三分线，且，求的度数；
(3)延伸推广：在中，是的外角，的邻三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点．若，，直接写出的度数．（用含的代数式表示）
23、我们小学学分数时学过真分数和假分数，初中我们又学习了分式，现在我们来了解一下什么是“真分式”和“假分式”，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，称为“真分式”，如，；当分子的次数大于或等于分母的次数时，称为“假分式”，如：，．假分式也可以化为带分式的形式，即为整式与“真分式”的和的形式，如：，．
(1)分式是分式 　 　（填“真”或“假”）．
(2)请将分式化为带分式的形式，问当的值为整数时，求整数x的所有可能值．
24、我们知道，在学习了课本阅读材料：《综合与实践一面积与代数恒等式》后，利用图形的面积能解释与得出代数恒等式，请你解答下列问题：

(1)如图，根据3个正方形和6个长方形的面积之和等于大正方形的面积.可以得到代数恒等式：_____；
(2)已知，，求的值；
(3)若n、t满足如下条件：
，
，求t的值．
25、阅读材料1：
对于两个正实数，由于，所以，即，所以得到，并且当时，
阅读材料2：
若，则 ，因为，，所以由阅读材料1可得：，即的最小值是2，只有时，即=1时取得最小值.
根据以上阅读材料，请回答以下问题：
(1)比较大小
(其中≥1)；        -2(其中<-1)
(2)已知代数式变形为，求常数的值
(3)当= 时，有最小值，最小值为 (直接写出答案).
一、选择题
1、A
【解析】A
【分析】直接利用轴对称图形的定义进行判断．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：A．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2、C
【解析】C
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．
【详解】解：．
故选C．
【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，确定a与n的值是解题的关键．
3、A
【解析】A
【分析】根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则以及合并同类项法则，逐一判断选项，即可．
【详解】解：A项，，故该选项正确；
B项，，故该选项错误；
C项，不能合并，故该选项错误；
D项，，故该选项错误，
故选：A．
【点睛】本题主要考查整式的运算，掌握同底数幂的乘除法法则，幂的乘方法则以及合并同类项法则是解题的关键．
4、C
【解析】C
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，分式的分母不为0解答即可．
【详解】解：∵代数式在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，且x≠0
解得：x≥1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
5、B
【解析】B
【分析】根据因式分解的定义判断是否分解成几个因式的乘积即可求解．
【详解】解：A、是整式的计算，故该选项不符合题意；
B. ，是因式分解，故正确；
C、，含有加法，不是因式分解，故该选项不符合题意；       
D、，含有分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查因式分解的识别，解题的关键是熟知因式分解的定义．
6、C
【解析】C
【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．
【详解】解：A. 为最简分式，选项错误，不符合题意；       
B. ，选项错误，不符合题意；
C. ，选项正确，符合条件；
D. 为最简分式，选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．
7、D
【解析】D
【分析】根据全等三角形的判定定理依次分析可得答案．
【详解】解：，
，
即，
∵在与中，，，
若，则可依据证明，故A选项不符合题意；
若，则可依据证明，故B选项不符合题意；
若，则可依据证明，故C选项不符合题意；
若，则不能证明，故D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定定理，熟记全等三角形的判定定理：，，， ，，并熟练应用解决问题是解题的关键．
8、D
【解析】D
【分析】利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可．
【详解】解：方程两边同乘2（x﹣2）得：
m=2（x-1）﹣4（x-2），
解得：x=．
∵≠2，
∴m≠2，
由题意得：＞0，
解得：m＜6，
∴实数m的取值范围是：m＜6且m≠1、
故选：D．
【点睛】此题考查了分式方程的解、一元一次不等式的解法，解题的关键是掌握解分式方程的一般步骤、分式方程无解的判断方法．
9、B
【解析】B
【分析】根据平行线的性质可以得出∠DOE的度数，又根据三角形的外角定理和∠C=∠E，即可得出正确选项．
【详解】∵，∠A=45°
∴∠DOE=∠A=45°
∵∠C=∠E，∠C+∠E=∠DOE
∴
故选B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，灵活运用性质是本题的关键．
二、填空题
10、A
【解析】A
【分析】设BC=a，CG=b，建立关于a，b的关系，最后求面积．
【详解】解：设BC=a，CG=b，则S1=a2，S2=b2，a+b=BG=7、
∴a2+b2=40．
∵（a+b）2=a2+b2+2ab=64，
∴2ab=64-40=24，
∴ab=12，
∴阴影部分的面积等于ab=×12=5、
故选：A．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，通过面积关系构造使用完全平方公式的条件是求解本题的关键．
11、﹣2
【分析】直接利用分式的值为零，则分子为零，且分母不为零，进而得出答案．
【详解】解：由题意，得
a2﹣4＝0且a﹣2≠0，
解得a＝﹣2，
故答案为：﹣1、
【点睛】本题考查了分式为零的条件，要使分式的值为零，必须同时满足分子为零，且分母不为零．
12、##2＜a
【分析】根据关于y轴的对称点在第二象限可得点P在第一象限，再根据第一象限内点的坐标符号可得，再解不等式组即可．
【详解】解：∵点P（a-1，2a-4）关于y轴的对称点在第二象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解得：a＞2，
故答案为：a＞1、
【点睛】此题主要考查了关于y轴的对称点的坐标，以及一元一次不等式组的解法，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
13、
【分析】根据分式的加减法可得与的关系，在代入代数式求值即可．
【详解】

故答案为：．
【点睛】本题考查了分式的加减法，掌握分式的加减是解题的关键．
14、
【分析】根据逆用幂的乘方运算、同底数幂的除法，即可求解．
【详解】，，

故答案为：
【点睛】本题考查了幂的乘方运算、同底数幂的除法，掌握幂的乘方运算、同底数幂的除法法则是解题的关键．
15、30°##30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；
【解析】30°##30度
【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=DM，OP=OC，∠COB=∠POB；PN=CN，OP=OD，∠DOA=∠POA，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．
【详解】解：分别作点P关于OA、OB的对称点D、C，连接CD，
分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：

∵点P关于OA的对称点为D，
∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA，
∵点P关于OB的对称点为C，
∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，
∴OC=OP=OD=5，∠AOB=∠COD，
∵△PMN周长的最小值是5cm，
∴PM+PN+MN=5，
∴DM+CN+MN=5，
即CD=5，
∴OC=OD=CD，
即△OCD是等边三角形，
∴∠COD=60°，
∴∠AOB=30°；
故答案为：30°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明△OCD是等边三角形是解决问题的关键．
16、9
【分析】根据完全平方公式求出k=32，再求出即可．
【详解】解：∵多项式4x2-12x+k是一个完全平方式，
∴（2x）2-2•2x•3+k是一个完全平方式，
∴k=32=9，
故答案为：8、
【解析】9
【分析】根据完全平方公式求出k=32，再求出即可．
【详解】解：∵多项式4x2-12x+k是一个完全平方式，
∴（2x）2-2•2x•3+k是一个完全平方式，
∴k=32=9，
故答案为：8、
【点睛】本题考查了完全平方式，能熟记完全平方式是解此题的关键，完全平方式有a2+2ab+b2和a2-2ab+b1、
17、4
【分析】先把x3﹣3x2y分解因式得x2（x﹣3y），把x﹣3y＝1整体代入x3﹣3x2y﹣7xy+9y2 ＝﹣3得x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，再倒用一次完全平方公式，即可求出xy的值．
【解析】4
【分析】先把x3﹣3x2y分解因式得x2（x﹣3y），把x﹣3y＝1整体代入x3﹣3x2y﹣7xy+9y2 ＝﹣3得x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，再倒用一次完全平方公式，即可求出xy的值．
【详解】解：∵x﹣3y＝1，
∴x2﹣6xy+9y2＝1，
∴x3﹣3x2y﹣7xy+9y2＝﹣3，
∴x2（x﹣3y）﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴x2﹣6xy+9y2﹣xy＝﹣3，
∴1﹣xy＝﹣3，
∴xy＝3、
【点睛】本题主要考查了整体代入的数学思想方法，和逆用完全平方公式，掌握整体代入法是解题的关键．
18、或
【分析】根据题意可得当和时两种情况讨论，然后根据全等三角形对应边相等分别列出方程求解即可．
【详解】解：设点F的运动速度为x m/s，
由题意可得，，，，
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴此时点
【解析】或
【分析】根据题意可得当和时两种情况讨论，然后根据全等三角形对应边相等分别列出方程求解即可．
【详解】解：设点F的运动速度为x m/s，
由题意可得，，，，
当时，
∴，
∴，
解得：，
∴此时点F的运动速度为1m/s；
当时，
，，
∴，，
解得：，．
∴此时点F的运动速度为m/s；
故答案为：1 或 ．
【点睛】此题考查了三角形全等的判定和性质，几何动点问题，解题的关键是根据题意分情况讨论，分别根据全等三角形的性质列出方程求解．
三、解答题
19、(1)xy（x+y）（x﹣y）
(2)2（x+2）（x+1）
【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解．
(1)
解：原式＝
【解析】(1)xy（x+y）（x﹣y）
(2)2（x+2）（x+1）
【分析】（1）先提公因式，再根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）先根据平方公式因式分解，然后提公因式，即可求解．
(1)
解：原式＝
；
(2)
解：原式＝

．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
20、(1)
(2)分式方程无解
【解析】(1)
解：方程两边都乘以2x-1得，2-5=2x-1，
解得x=-1，
经检验：x=-1是原方程的解；
(2)
方程两边都乘以（x+2）（x-2）得，x（x+2
【解析】(1)
(2)分式方程无解
【解析】(1)
解：方程两边都乘以2x-1得，2-5=2x-1，
解得x=-1，
经检验：x=-1是原方程的解；
(2)
方程两边都乘以（x+2）（x-2）得，x（x+2）-（x-2）（x+2）=8，
解得x=2，
经检验：x=2不是原方程的解，原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程，基本步骤是一化二解三检验．
21、见解析
【分析】先证△ABC≌△EFD（SSS），得出∠B＝∠F，再由平行线的判定即可证明．
【详解】证明：在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SSS），
∴∠B＝∠F，
∴AB∥F
【解析】见解析
【分析】先证△ABC≌△EFD（SSS），得出∠B＝∠F，再由平行线的判定即可证明．
【详解】证明：在△ABC和△EFD中，
，
∴△ABC≌△EFD（SSS），
∴∠B＝∠F，
∴AB∥FE．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明△ABC≌△EFD是解题的关键．
22、(1)85°
(2)45°
(3)或
【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；
（2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；
（3）分
【解析】(1)85°
(2)45°
(3)或
【分析】（1）根据题意可是“邻三分线”可求得的度数，再利用三角形外角的性质可求解；
（2）结合（1）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且，即可求的度数；
（3）分2种情况进行画图计算：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得，可求解；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，可得可求解．
(1)
解：的邻三分线交于点，，
，
，
，
故答案为：；
(2)
解：在中，，
，
又、分别是邻三分线和邻三分线，
，，
，
，
在中，
；
(3)
解：如图3-1所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，，，
，
即，
，，
；
如图3-2所示，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，

，，，
，
即，
，，
．
综上所述：的度数为：或．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角三等分线的定义，正确理解题意是解题的关键．
23、(1)假
(2)2x+1-，1，0
【分析】（1）根据真分式和假分式的定义判断即可．
（2）先化为带分式，再求值．
（1）
∵分子次数高于分母次数，
∴该分式是“假分式”．
故答案为：假．
（2）
【解析】(1)假
(2)2x+1-，1，0
【分析】（1）根据真分式和假分式的定义判断即可．
（2）先化为带分式，再求值．
（1）
∵分子次数高于分母次数，
∴该分式是“假分式”．
故答案为：假．
（2）
原式＝＝2x+1-．
∵原分式的值是整数，
∴2x-1是2因数，
∴2x-1＝±1，±2，
∵x是整数，
∴x＝1，0．
【点睛】本题考查用新定义解题，理解新定义是求解本题的关键．
24、(1)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(2)ab+ac+bc的值为38；
(3)t的值为4、
【分析】（1）依据大正方形的面积=（a+b+c）2，各部分面积之和=a2+b2+c2+2ab+
【解析】(1)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
(2)ab+ac+bc的值为38；
(3)t的值为4、
【分析】（1）依据大正方形的面积=（a+b+c）2，各部分面积之和=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，从而可得答案；
（2）依据（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，进行计算即可；
（3）设n−2019=a，2021−2n=b，n+1=c，原式整理得（a+b+c）2= t2+2t−18+2−2t= t2−16，解方程即可求解．
(1)
解：最外层正方形的面积为：（a+b+c）2，
分部分来看，有三个正方形和六个长方形，
其和为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
总体看的面积和分部分求和的面积相等．即（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；
(2)
解：∵a+b+c=11，a2+b2+c2=45，
∴112=45+2(ab+ac+bc)，
∴ab+ac+bc=(121-45)÷2=38，
∴ab+ac+bc的值为38；
(3)
解：设n−2019=a，2021−2n=b，n+1=c，
则原式为：a2+b2+c2= t2+2t−18，ab+ac+bc=1−t，
由（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
得：（a+b+c）2= t2+2t−18+2−2t= t2−16，
∴（n−2019+2021−2n + n+1）2= t2−16，即t2=25，
∴t=-5，或t=5，
当t=-5时，a2+b2+c2= t2+2t−18=25-10-18=-3<0，不符合题意，舍去，
当t=5时，a2+b2+c2= t2+2t−18=25+10-18=17>0，符合题意，
∴t的值为4、
【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，明确相关图形的面积计算公式，数形结合，正确列式是解题的关键．
25、（1）；（2）；（3）0，2、
【分析】（1）根据求差法比较大小，由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论.
（2）根据材料（2）的方法，把代数式变形为，解答即可；
（3）先将变形为,由材料（2）
【解析】（1）；（2）；（3）0，2、
【分析】（1）根据求差法比较大小，由材料1可知将结果用配方法变形即可得出结论.
（2）根据材料（2）的方法，把代数式变形为，解答即可；
（3）先将变形为,由材料（2）可知时（即x=0，）有最小值．
【详解】解：（1），所以；
当时，由阅读材料1可得，，
所以；
（2）

，
所以；
（3）

∵x≥0，
∴
即：当时，有最小值，
∴当x=0时，有最小值为3.
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算和配方法的应用．读懂材料并加以运用是解题的关键．