20192020学年北京市东城区八年级上册期末数学试卷(有答案).pdf

2019-20202019-2020 学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1（3 分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为 0.056 盎司 将 0.056用科学记数法表示为（）A5.6101B5.6102C5.6103D0.561012（3 分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）ABCD3（3 分）下列式子为最简二次根式的是（）ABCD4（3 分）若分式A0的值为 0，则 x 的值等于（）B2C3D35（3 分）下列运算正确的是（）Ab5b3=b2Cb2b4=b8B（b5）2=b7Da（a2b）=a2+2ab6（3 分）如图，在ABC 中，B=C=60，点 D 为 AB 边的中点，DEBC 于 E，若 BE=1，则 AC 的长为（）A2BC4D7（3 分）如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC将仪器上的点 A 与PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射线 AE，AE 就是PRQ 的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABCADC，这样就有QAE=PAE则说明这两个三角形全等的依据是（）ASASBASACAASDSSS8（3 分）如图，根据计算长方形 ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A（a+b）2=a2+2ab+b2C（a+b）（ab）=a2b2B（ab）2=a22ab+b2Da（a+b）=a2+ab9（3 分）如图，已知等腰三角形 ABC，AB=AC若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是（）AAE=ECBAE=BECEBC=BACDEBC=ABE10（3 分）如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB=40，点 M 和点 N 分别是射线 OA和射线 OB 上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（）A140B100C50D40二、填空题：（本题共 16 分，每小题 2 分）11（2 分）若二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是12（2 分）在平面直角坐标系中，若点 M（2，1）关于 y 轴对称的点的坐标为13（2 分）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，ACDF，请你添加一个适当的条件使得ABCDEF14（2 分）等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则周长是15（2 分）如图，D 在 BC 边上，ABCADE，EAC=40，则B 的度数为16（2 分）如图，在ABC 中，ACB=90，AD 是ABC 的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点 D 到 AB 的距离为17（2 分）如果实数 a，b 满足 a+b=6，ab=8，那么 a2+b2=18（2 分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段 AB求作：线段 AB 的垂直平分线小红的作法如下：如图，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C；再分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径（不同于中的半径）作弧，两弧相交于点 D，使点 D 与点 C 在直线 AB 的同侧；作直线 CD所以直线 CD 就是所求作的垂直平分线老师说：“小红的作法正确”请回答：小红的作图依据是三、解答题（本题共 9 个小题，共 54 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19（5 分）计算：20（5 分）因式分解：（1）x24（2）ax24axy+4ay221（5 分）如图，点 E，F 在线段 AB 上，且 AD=BC，A=B，AE=BF求证：DF=CE22（5 分）已知 x2+x=2，求（x+2）2x（x+3）+（x+1）（x1）的值23（5 分）解分式方程：24（5 分）先化简，再求值：25（6 分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于 1971 年 1 月 15 日正式开通运营截至2019-20201 月，北京地铁共有 19 条运营线路，覆盖北京市 11 个辖区据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002 年地铁每小时客运量的 4 倍，2019-2020 客运 240 万人所用的时间比 2002 年客运，其中 x=2240 万人所用的时间少 30 小时，求 2019-2020 地铁每小时的客运量？26（6 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AD于点 D，AM 是ABC 的外角CAE 的平分线（1）求证：AMBC；（2）若 DN 平分ADC 交 AM 于点 N，判断ADN 的形状并说明理由27（6 分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b 扩充得到一个新数 c，称所得的新数 c 为“如意数”（1）若 a=，b=1，直接写出 a，b 的“如意数”c；（2）如果 a=m4，b=m，求 a，b 的“如意数”c，并证明“如意数”c0（3）已知 a=x21（x0），且 a，b 的“如意数”c=x3+3x21，则 b=（用含 x的式子表示）28（6 分）如图，在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为点 D，连接 AD，BD，其中 BD 交直线 AP 于点 E（1）依题意补全图形；（2）若PAC=20，求AEB 的度数；（3）连结 CE，写出 AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论2019-20202019-2020 学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析参考答案与试题解析一、选择题（本题共30 分，每小题 3 分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的1（3 分）世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为 0.056 盎司 将 0.056用科学记数法表示为（）A5.6101B5.6102C5.6103D0.56101【分析】绝对值小于1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a10n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定【解答】解：将 0.056 用科学记数法表示为 5.6102，故选：B【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a10n，其中 1|a|10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定2（3 分）江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是（）ABCD【分析】利用轴对称图形定义判断即可【解答】解：下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是，故选：A【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键3（3 分）下列式子为最简二次根式的是（）ABCD【分析】根据最简二次根式的定义判断即可【解答】解：A、B、C、D、2=|a+b|，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；是最简二次根式，故本选项符合题意；=，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；故选：C【点评】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义的内容是解此题的关键4（3 分）若分式A0的值为 0，则 x 的值等于（）B2C3D3【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零【解答】解：分式x2=0 且 x+30，x=2故选：B【点评】本题主要考查的是分式值为零的条件，熟练掌握分式值为零的条件是解题的关键5（3 分）下列运算正确的是（）Ab5b3=b2Cb2b4=b8B（b5）2=b7Da（a2b）=a2+2ab的值为 0，【分析】根据整式的除法和乘法判断即可【解答】解：A、b5b3=b2，正确；B、（b5）2=b10，错误；C、b2b4=b6，错误；D、a（a2b）=a22ab，错误；故选：A【点评】此题考查了整式的除法，熟练掌握除法法则是解本题的关键6（3 分）如图，在ABC 中，B=C=60，点 D 为 AB 边的中点，DEBC 于 E，若 BE=1，则 AC 的长为（）A2BC4D【分析】在 RtBDE 中可先求得 BD 的长，则可求得 AB 的长，由条件又可证得ABC 为等边三角形，则可求得 AC=AB，可求得答案【解答】解：B=60，DEBC，BD=2BE=2，D 为 AB 边的中点，AB=2BD=4，B=C=60，ABC 为等边三角形，AC=AB=4，故选：C【点评】本题主要考查直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，利用直角三角形的性质求得 AB 的长是解题的关键7（3 分）如图，小敏做了一个角平分仪 ABCD，其中 AB=AD，BC=DC将仪器上的点 A 与PRQ 的顶点 R 重合，调整 AB 和 AD，使它们分别落在角的两边上，过点 A，C 画一条射线 AE，AE 就是PRQ 的平分线此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得ABCADC，这样就有QAE=PAE则说明这两个三角形全等的依据是（）ASASBASACAASDSSS【分析】在ADC 和ABC 中，由于 AC 为公共边，AB=AD，BC=DC，利用 SSS 定理可判定ADCABC，进而得到DAC=BAC，即QAE=PAE【解答】解：在ADC 和ABC 中，ADCABC（SSS），DAC=BAC，即QAE=PAE故选：D【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用 SSS 判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意8（3 分）如图，根据计算长方形 ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A（a+b）2=a2+2ab+b2C（a+b）（ab）=a2b2B（ab）2=a22ab+b2Da（a+b）=a2+ab【分析】长方形 ABCD 的面积可以表示为 a（a+b），也可表示为两个长方形的面积和，即a2+ab，所以 a（a+b）=a2+ab【解答】解：长方形 ABCD 面积=两个小长方形面积的和，可得 a（a+b）=a2+ab故选：D【点评】此题应用面积法，通过大长方形的面积等于两个小长方形面积的和得出等式9（3 分）如图，已知等腰三角形 ABC，AB=AC若以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，则下列结论一定正确的是（）AAE=ECBAE=BECEBC=BACDEBC=ABE【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项【解答】解：AB=AC，ABC=ACB，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰 AC 于点 E，BE=BC，ACB=BEC，BEC=ABC=ACB，A=EBC，故选：C【点评】本题考查了等腰三角形的性质，当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度不大10（3 分）如图，点 P 是AOB 内任意一点，且AOB=40，点 M 和点 N 分别是射线 OA和射线 OB 上的动点，当PMN 周长取最小值时，则MPN 的度数为（）A140B100C50D40【分析】分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连 P1、P2，交 OA 于 M，交 OB 于 N，PMN 的周长=P1P2，然后得到等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1=100，即可得出MPN=OPM+OPN=OP1M+OP2N=100【解答】解：分别作点P 关于 OA、OB 的对称点 P1、P2，连接P1P2，交OA 于 M，交OB 于 N，则OP1=OP=OP2，OP1M=MPO，NPO=NP2O，根据轴对称的性质，可得 MP=P1M，PN=P2N，则PMN 的周长的最小值=P1P2，P1OP2=2AOB=80，等腰OP1P2中，OP1P2+OP2P1=100，MPN=OPM+OPN=OP1M+OP2N=100，故选：B【点评】本题考查了轴对称最短路线问题，正确正确作出辅助线，得到等腰OP1P2中OP1P2+OP2P1=100是关键 凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点二、填空题：（本题共 16 分，每小题 2 分）11（2 分）若二次根式在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是x1【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于 x 的不等式，求出 x 的取值范围即可【解答】解：式子x10，解得 x1故答案为：x1【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于 012（2 分）在平面直角坐标系中，若点 M（2，1）关于 y 轴对称的点的坐标为（2，1）【分析】根据关于 y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变；即点（x，y）关于 y 轴的对称点的坐标是（x，y）即可得到点 M（2，1）关于 y 轴对称的点的坐标【解答】解：点 M（2，1）关于 y 轴的对称点的坐标是（2，1），故答案为：（2，1）【点评】此题主要考查了关于x 轴、y 轴对称的点的坐标规律，比较容易，关键是熟记规律：（1）关于 x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数（2）关于 y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变13（2 分）如图，点 B、F、C、E 在一条直线上，已知 FB=CE，ACDF，请你添加一个适当的条件A=D使得ABCDEF在实数范围内有意义，【分析】根据全等三角形的判定定理填空【解答】解：添加A=D理由如下：FB=CE，BC=EF又ACDF，ACB=DFE在ABC 与DEF 中，ABCDEF（AAS）故答案是：A=D，【点评】本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用全等三角形的判定定理进行证明是解此题的关键，是一个开放型的题目，比较典型14（2 分）等腰三角形一边等于 5，另一边等于 8，则周长是18 或 21【分析】因为等腰三角形的两边分别为5 和 8，但没有明确哪是底边，哪是腰，所以有两种情况，需要分类讨论【解答】解：当 5 为底时，其它两边都为 8，5、8、8 可以构成三角形，周长为 21；当 5 为腰时，其它两边为 5 和 8，5、5、8 可以构成三角形，周长为 18，所以答案是 18 或 21故填 18 或 21【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论15（2 分）如图，D 在 BC 边上，ABCADE，EAC=40，则B 的度数为70【分析】根据全等三角形的性质得出 AB=AD，BAC=DAF，求出BAD=EAC=40，根据等腰三角形的性质得出B=ADB，即可求出答案【解答】解：ABCADE，AB=AD，BAC=DAF，BACDAC=DAFDAC，BAD=EAC，EAC=40，BAD=40，AB=AD，B=ADB=（180BAD）=70，故答案为：70【点评】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质和三角形内角和定理等知识点，能根据全等三角形的性质得出 AB=AD 和求出BAD=EAC 是解此题的关键16（2 分）如图，在ABC 中，ACB=90，AD 是ABC 的角平分线，BC=10cm，BD：DC=3：2，则点 D 到 AB 的距离为4cm【分析】先由 BC=10cm，BD：DC=3：2 计算出 DC=4cm，由于ACB=90，则点 D 到 AC 的距离为 4cm，然后根据角平分线的性质即可得到点 D 到 AB 的距离等于 4cm【解答】解：BC=10cm，BD：DC=3：2，DC=4cm，AD 是ABC 的角平分线，ACB=90，点 D 到 AB 的距离等于 DC，即点 D 到 AB 的距离等于 4cm故答案为 4cm【点评】本题考查了角平分线的判定与性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上17（2 分）如果实数 a，b 满足 a+b=6，ab=8，那么 a2+b2=20【分析】原式利用完全平方公式化简，将已知等式代入计算即可求出值【解答】解：a+b=6，ab=8，a2+b2=（a+b）22ab=3616=20，故答案为：20【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键18（2 分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段的垂直平分线已知：线段 AB求作：线段 AB 的垂直平分线小红的作法如下：如图，分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径作弧，两弧相交于点 C；再分别以点 A 和点 B 为圆心，大于AB 的长为半径（不同于中的半径）作弧，两弧相交于点 D，使点 D 与点 C 在直线 AB 的同侧；作直线 CD所以直线 CD 就是所求作的垂直平分线老师说：“小红的作法正确”请回答：小红的作图依据是到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论【解答】解：如图，由作图可知，AC=BC=AD=BD，直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线【点评】本题考查的是作图基本作图，熟知线段垂直平分线的作法是解答此题的关键三、解答题（本题共 9 个小题，共 54 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19（5 分）计算：【分析】利用零指数幂、负整数幂的意义和二次根式的乘法法则运算【解答】解：原式=3+2+1+21+1【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可20（5 分）因式分解：（1）x24（2）ax24axy+4ay2【分析】（1）原式利用平方差公式分解即可；（2）原式提取 a，再利用完全平方公式分解即可【解答】解：（1）原式=（x+2）（x2）；（2）原式=a（x24xy+4y2）=a（x2y）2【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键21（5 分）如图，点 E，F 在线段 AB 上，且 AD=BC，A=B，AE=BF求证：DF=CE【分析】利用 AE=BF，得到 AF=BE，证明ADFBCE（SAS），即可得到 DF=CE（全等三角形的对应边相等）【解答】证明：点 E，F 在线段 AB 上，AE=BF，AE+EF=BF+EF，即：AF=BE，在ADF 与BCE 中，ADFBCE（SAS）DF=CE（全等三角形对应边相等）【点评】本题考查了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是证明ADFBCE22（5 分）已知 x2+x=2，求（x+2）2x（x+3）+（x+1）（x1）的值【分析】根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式可以化简题目中的式子，然后根据 x2+x=2，即可解答本题【解答】解：（x+2）2x（x+3）+（x+1）（x1）=x2+4x+4x23x+x21=x2+x+3，x2+x=2，原式=2+3=5【点评】本题考查整式的混合运算化简求值，解答本题的关键是明确整式的化简求值，的方法23（5 分）解分式方程：【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x 的值，经检验即可得到分式方程的解【解答】解：方程两边同乘（x2），得 1+2（x2）=1x解得：x=，经检验 x=是分式方程的解【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验24（5 分）先化简，再求值：，其中 x=2【分析】根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 x 的值代入计算可得【解答】解：原式=当 x=原式=，2 时，=【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则25（6 分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于 1971 年 1 月 15 日正式开通运营截至2019-20201 月，北京地铁共有 19 条运营线路，覆盖北京市 11 个辖区据统计，2017 年地铁每小时客运量是2002 年地铁每小时客运量的 4 倍，2019-2020 客运 240 万人所用的时间比 2002 年客运240 万人所用的时间少 30 小时，求 2019-2020 地铁每小时的客运量？【分析】设2002 年地铁每小时客运量 x 万人，则2019-2020 地铁每小时客运量 4x 万人，根据 2019-2020 客运 240 万人所用的时间比 2002 年客运 240 万人所用的时间少 30 小时列出分式方程，求出答案即可【解答】解：设 2002 年地铁每小时客运量 x 万人，则 2019-2020 地铁每小时客运量 4x万人，由题意得，解得 x=6，经检验 x=6 是分式方程的解，答：2019-2020 每小时客运量 24 万人【点评】本题考查了分式方程的应用；解这类问题时要注意分析题中的等量关系，由时间关系列出方程是解决问题的关键26（6 分）如图，在ABC 中，AB=AC，AD于点 D，AM 是ABC 的外角CAE 的平分线（1）求证：AMBC；（2）若 DN 平分ADC 交 AM 于点 N，判断ADN 的形状并说明理由【分析】（1）根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明即可；（2）利用平分线的定义和平行线的性质进行解答即可【解答】证明：（1）AB=AC，ADBC，BAD=CAD=AM 平分EAC，EAM=MAC=MAD=MAC+DAC=ADBCADC=90MAD+ADC=180AMBC（2）ADN 是等腰直角三角形，理由是：AMAD，AND=NDC，DN 平分ADC，ADN=NDC=AND=AD=AN，ADN 是等腰直角三角形【点评】此题考查等腰三角形的性质，关键是根据等腰三角形的性质和平行线的判定与性质解答27（6 分）定义：任意两个数a，b，按规则c=ab+a+b 扩充得到一个新数 c，称所得的新数 c 为“如意数”（1）若 a=，b=1，直接写出 a，b 的“如意数”c；（2）如果 a=m4，b=m，求 a，b 的“如意数”c，并证明“如意数”c0（3）已知 a=x21（x0），且 a，b 的“如意数”c=x3+3x21，则 b=x+2（用含 x的式子表示）【分析】（1）根据“如意数”的定义即可判断；（2）利用配方法即可解决问题；（3）根据“如意数”的定义，构建方程求出 b 即可；【解答】解：（1）c=1+1=2+1（2）c=（m4）（m）+（m4）+（m）=m2+4m4=（m2）20，c0（3）由题意 x3+3x21=（x21）b+（x21）+b，x2b=x3+2x2，x0，b=x+2故答案为 x+2【点评】本题考查因式分解的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型28（6 分）如图，在等边三角形 ABC 的外侧作直线 AP，点 C 关于直线 AP 的对称点为点 D，连接 AD，BD，其中 BD 交直线 AP 于点 E（1）依题意补全图形；（2）若PAC=20，求AEB 的度数；（3）连结 CE，写出 AE，BE，CE 之间的数量关系，并证明你的结论【分析】（1）根据要求画出图象即可；（2）根据AEB=D+PAD，只要求出D，DAE 即可；（3）结论：CE+AE=BE在 BE 上取点 M 使 ME=AE，只要证明AECAMB 即可解决问题；【解答】解：（1）图象如图所示；（2）在等边ABC 中，AC=AB，BAC=60，由对称可知：AC=AD，PAC=PAD，AB=AD，ABD=D，PAC=20，PAD=20，BAD=BAC+PAC+PAD=100，AEB=D+PAD=60，（3）结论：CE+AE=BE理由：在 BE 上取点 M 使 ME=AE，在等边ABC 中，AC=AB，BAC=60由对称可知：AC=AD，EAC=EAD，设EAC=DAE=xAD=AC=AB，AEB=60 x+x=60AME 为等边三角形，易证：AECAMB，CE=BM，CE+AE=BE【点评】本题考查作图轴对称变换，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，