2013北京市人大附中八年级下期末数学试卷.doc

2013-2014学年北京市人大附中八年级（下）期末数学试卷

一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014春•海淀区校级期末）下列各式中正确的是（　　）
A．=±4 B．=﹣2 C．=﹣2 D．=3
2．（3分）（2011•上海）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）（2014春•海淀区校级期末）下列图形中不是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．圆
4．（3分）（2014春•海淀区校级期末）下列说法正确的个数是（　　）
①平行四边形的邻边相等；
②矩形的两条对角线长相等；
③菱形的对角线互相垂直；
④等腰梯形同一底上的两个角相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
5．（3分）（2014春•海淀区校级期末）若x=﹣2是方程x2﹣2ax+8=0的一个根，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
6．（3分）（2002•四川）如果最简根式和是同类二次根式，那么a、b的值可以是（　　）
A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=﹣1，b=1 D．a=1，b=﹣2
7．（3分）（2014春•海淀区校级期末）方程x（x﹣2）=2（2﹣x）的根为（　　）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x1=x2=2 D．x1=2，x2=﹣2
8．（3分）（2015秋•济宁校级期末）用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（　　）
A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
9．（3分）（2014春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，若OA=2，OC=4，则点B′的坐标为（　　）

A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4）
10．（3分）（2014春•福清市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（　　）

A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的
B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的
C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的
D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的
11．（3分）（2014春•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD，且△CHM可由△BEM旋转而得，延长CH交AD于F，则下列结论错误的是（　　）

A．BM=CM B．FM=EH C．CF⊥AD D．FM⊥BC
12．（3分）（2014•濮阳二模）已知反比例函数的图象如图，则一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0根的情况是（　　）

A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定

二、填空题（每小题3分，共30分）
13．（3分）（2014春•海淀区校级期末）计算：﹣2=　　　　　　．
14．（3分）（2014春•海淀区校级期末）点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为　　　　　　．
15．（3分）（2011•随州）如图：点A在双曲线上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=　　　　　　．

16．（3分）（2014春•海淀区校级期末）已知+=y+4，则3x﹣2y=　　　　　　．
17．（3分）（2014春•海淀区校级期末）已知方程x2+（m﹣2）x+（n+3）=0的两根分别是﹣2、﹣3，则m﹣n=　　　　　　．
18．（3分）（2014•沈阳校级模拟）若+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是　　　　　　．
19．（3分）（2014春•海淀区校级期末）直线y=2x+1与双曲线y=有一个交点为（1，3），则它们的另一个交点为　　　　　　．
20．（3分）（2011秋•东丰县期末）将直角边为12cm的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是　　　　　　cm2．

21．（3分）（2012•大兴区二模）已知：如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，第④个图形中一共有　　　　　　个平行四边形，…，第n个图形中一共有平行四边形的个数为　　　　　　个．

22．（3分）（2014春•海淀区校级期末）如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=48°，点D在边BC上，BD=2CD，把Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=　　　　　　．

三、解答题（共34分）
23．（6分）（2014春•海淀区校级期末）计算：
（1）（+）+（﹣）；
（2）（3﹣2）2．
24．（6分）（2014春•海淀区校级期末）解方程：
（1）2x2+2x﹣1=0（公式法）；
（2）（2x﹣1）2=（3﹣x）2．
25．（3分）（2014春•海淀区校级期末）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1，将△ABC向右平移5个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点A′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，请你画出△A′B′C′和△A″B″C″（不要求写画法）．

26．（4分）（2011•朝阳区二模）如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD，为了节约材料，花园的一边AD靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD＜8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB的长．

27．（4分）（2014春•海淀区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，求△CEF的周长．

28．（5分）（2014春•海淀区校级期末）已知关于x的方程x2﹣2x+（a+1）2=0有实根．
（1）求a的值；
（2）若关于x的方程mx2+（2﹣m）x﹣a﹣1=0的所有根均为整数，求整数m的值．
29．（6分）（2014春•海淀区校级期末）两个矩形如图1摆放在直线MN上，AD=EH=1，CD=DE=EF=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角α，同时将矩形EFGH绕点E逆时针旋转角α，其中0°＜α＜90°．
（1）如图2，当点C和F重合时，α=　　　　　　；
（2）如图3，当两个矩形的重叠部分为正方形时，α=　　　　　　，重叠部分的面积S=　　　　　　；
（3）如图4，当旋转到点B与点G重合时，设DC与EF交于P，BP的延长线交DE于Q，线段BQ与DE的关系是　　　　　　，利用你的结论（不用证明），计算两个矩形重叠部分的面积．

2013-2014学年北京市人大附中八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）（2014春•海淀区校级期末）下列各式中正确的是（　　）
A．=±4 B．=﹣2 C．=﹣2 D．=3
【考点】算术平方根．菁优网版权所有
【分析】根据算术平方根的定义对各选项分析判断利用排除法求解．
【解答】解：A、=4，故本选项错误；
B、=2，故本选项错误；
C、无意义，故本选项错误；
D、=3，故本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了算术平方根，熟记概念是解题的关键．

2．（3分）（2011•上海）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【考点】最简二次根式．菁优网版权所有
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；
B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C、，是最简二次根式；故C选项正确；
D.=5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．

3．（3分）（2014春•海淀区校级期末）下列图形中不是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．矩形 C．菱形 D．圆
【考点】中心对称图形．菁优网版权所有
【分析】根据中心对称的定义，结合选项进行判断即可．
【解答】解：A、不是中心对称图形．故选项正确；
B、是中心对称图形．故选项错误；
C、是中心对称图形．故选项错误；
D、是中心对称图形．故选项错误．
故选A．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

4．（3分）（2014春•海淀区校级期末）下列说法正确的个数是（　　）
①平行四边形的邻边相等；
②矩形的两条对角线长相等；
③菱形的对角线互相垂直；
④等腰梯形同一底上的两个角相等．
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】平行四边形的性质；菱形的性质；矩形的性质；等腰梯形的性质．菁优网版权所有
【分析】分别利用平行四边形的性质以及矩形、菱形、等腰梯形的性质判断得出即可．
【解答】解：①平行四边形的邻边不相等，原来的说法是错误的；
②矩形的两条对角线长相等，正确；
③菱形的对角线互相垂直，正确；
④等腰梯形同一底上的两个角相等，正确．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及矩形、菱形、等腰梯形的性质等知识，正确掌握相关性质是解题关键．

5．（3分）（2014春•海淀区校级期末）若x=﹣2是方程x2﹣2ax+8=0的一个根，则a的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【考点】一元二次方程的解．菁优网版权所有
【分析】把x的值代入已知方程，列出关于a的一元一次方程，通过解一元一次方程来求a的值．
【解答】解：依题意得 （﹣2）2﹣2×（﹣2）a+8=0
解得 a=﹣3．
故选：D．
【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

6．（3分）（2002•四川）如果最简根式和是同类二次根式，那么a、b的值可以是（　　）
A．a=0，b=2 B．a=2，b=0 C．a=﹣1，b=1 D．a=1，b=﹣2
【考点】同类二次根式．菁优网版权所有
【分析】根据同类二次根式的定义，列方程组求解．
【解答】解：∵和是同类二次根式
∴，解得，
故选A．
【点评】此题主要考查同类二次根式的定义：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．

7．（3分）（2014春•海淀区校级期末）方程x（x﹣2）=2（2﹣x）的根为（　　）
A．x=﹣2 B．x=2 C．x1=x2=2 D．x1=2，x2=﹣2
【考点】解一元二次方程-因式分解法．菁优网版权所有
【分析】先把2﹣x化为﹣）x﹣2），再移项，提公因式，根据连个因式相乘为0，可得出每一个因式为0，即可得出答案．
【解答】解：移项，得x（x﹣2）﹣2（2﹣x）=0，
提公因式，得（x﹣2）（x+2）=0，
∴x﹣2=0，x+2=0，
解得x1=2，x2=﹣2，
故选D．
【点评】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，是基础知识要熟练掌握．

8．（3分）（2015秋•济宁校级期末）用配方法解方程x2﹣x﹣1=0时，应将其变形为（　　）
A．（x﹣）2= B．（x+）2= C．（x﹣）2=0 D．（x﹣）2=
【考点】解一元二次方程-配方法．菁优网版权所有
【分析】本题要求用配方法解一元二次方程，首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式．
【解答】解：∵x2﹣x﹣1=0，
∴x2﹣x=1，
∴x2﹣x+=1+，
∴（x﹣）2=．
故选D．
【点评】配方法的一般步骤：
（1）把常数项移到等号的右边；
（2）把二次项的系数化为1；
（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．

9．（3分）（2014春•海淀区校级期末）在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A在x轴上，点C在y轴上，把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90°得到矩形OA′B′C′，若OA=2，OC=4，则点B′的坐标为（　　）

A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（4，2） D．（2，﹣4）
【考点】坐标与图形变化-旋转．菁优网版权所有
【分析】旋转90°后OC落在x轴上，OA在y轴上，得到OA′，OC′的长度可得第一象限内B′的坐标．
【解答】解：∵OABC是矩形，将矩形OABC绕原点O按顺时针方向旋转90°得到矩形OA′B′C′，
OC=4，OA=2．
∴OA′=2，OC′=4，
∴B′坐标为（4，2）．
故选：C．
【点评】本题考查了由图形旋转得到相应坐标；注意横纵坐标数值的变化及象限内点的符号特点．

10．（3分）（2014春•福清市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上，下面判断正确的是（　　）

A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的
B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的
C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的
D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的
【考点】旋转的性质；坐标与图形性质．菁优网版权所有
【分析】根据△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，得出△ABC≌△DEF，由点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上得出A与D是对应点，进而得出△DEF与△ABC位置关系．
【解答】解：∵△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，
∴△ABC≌△DEF，
∵点B，C，D在x轴上，点A，E，F在y轴上得出A与D是对应点，
∴△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的，
故选：A．
【点评】此题主要考查了旋转的性质，利用已知得出A与D是对应点进而得出答案是解题关键．

11．（3分）（2014春•海淀区校级期末）如图，△ABC中，AD是∠BAC内的一条射线，BE⊥AD，且△CHM可由△BEM旋转而得，延长CH交AD于F，则下列结论错误的是（　　）

A．BM=CM B．FM=EH C．CF⊥AD D．FM⊥BC
【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】由△CHM可由△BEM旋转而得，根据旋转的性质得BM=MC，∠CHM=∠BEH，ME=MH，而BE⊥AD，即∠BEF=90°，∠CHM=∠CFE+∠HEF，得到∠CFE=90°，又FM为EH边上的中线，得到FM=EH．因此可进行判断得到答案．
【解答】解：∵△CHM可由△BEM旋转而得，
∴BM=MC，∠CHM=∠BEH，ME=MH，
而BE⊥AD，即∠BEF=90°，
∴∠BEH=90°+∠HEF，
又∵∠CHM=∠CFE+∠HEF，
∴∠CFE=90°，
即CF⊥AD，
又∵ME=MH，
∴FM=EH．
所以A，B，C都正确．
故选D．
【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了三角形外角的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

12．（3分）（2014•濮阳二模）已知反比例函数的图象如图，则一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0根的情况是（　　）

A．有两个不等实根 B．有两个相等实根
C．没有实根 D．无法确定
【考点】根的判别式；反比例函数的图象．菁优网版权所有
【分析】首先根据反比例函数的图象可以得到k的取值范围，然后根据k的取值范围即可判断方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0的判别式的正负情况，接着就可以判断方程的根的情况．
【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限内，
∴k﹣2＞0，
∴k＞2，
∵一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0的判别式为
△=b2﹣4ac=（2k﹣1）2﹣4（k2﹣1）=﹣4k+5，
而k＞2，
∴﹣4k+5＜0，
∴△＜0，
∴一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣1=0没有实数根．
故选C．
【点评】此题考查了反比例函数的图象和性质及一元二次方程判别式的应用，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：
（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；
（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；
（3）△＜0⇔方程没有实数根．

二、填空题（每小题3分，共30分）
13．（3分）（2014春•海淀区校级期末）计算：﹣2=　　．
【考点】二次根式的加减法．菁优网版权所有
【分析】先把各根式化为最简二次根式，再合并同类项即可．
【解答】解：原式=3﹣2
=．
故答案为：．
【点评】本题考查的是二次根式的加减，熟知二次根式的加减实质上是合并同类项是解答此题的关键．

14．（3分）（2014春•海淀区校级期末）点A的坐标为（2，﹣3），它关于坐标原点O对称的点的坐标为　（﹣2，3）　．
【考点】关于原点对称的点的坐标．菁优网版权所有
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接写出答案．
【解答】解：∵点A的坐标为（2，﹣3），
∴它关于坐标原点O对称的点的坐标为（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是熟练掌握点的变化规律．

15．（3分）（2011•随州）如图：点A在双曲线上，AB丄x轴于B，且△AOB的面积S△AOB=2，则k=　﹣4　．

【考点】反比例函数系数k的几何意义．菁优网版权所有
【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出k的符号，再根据S△AOB=2求出k的值即可．
【解答】解：∵反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∵S△AOB=2，
∴|k|=4，
∴k=﹣4．
故答案为：﹣4．
【点评】本题考查的是反比例系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．

16．（3分）（2014春•海淀区校级期末）已知+=y+4，则3x﹣2y=　11　．
【考点】二次根式有意义的条件．菁优网版权所有
【分析】根据二次根式有意义的条件求得x、y的值，然后将其代入所求的代数式求值．
【解答】解：∵x﹣1≥0，且1﹣x≥0，
∴x=1，
∴y=﹣4，
∴3x﹣2y=3×1﹣2×（﹣4）=11．
故答案是：11．
【点评】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．

17．（3分）（2014春•海淀区校级期末）已知方程x2+（m﹣2）x+（n+3）=0的两根分别是﹣2、﹣3，则m﹣n=　4　．
【考点】根与系数的关系．菁优网版权所有
【分析】先根据根与系数的关系得到﹣2+（﹣3）=﹣（m﹣2），﹣2×（﹣3）=n+3，再求出m和n的值，然后进行它们的差．
【解答】解：根据题意得﹣2+（﹣3）=﹣（m﹣2），﹣2×（﹣3）=n+3，
解得m=7，n=3，
所以m﹣n=7﹣3=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=．

18．（3分）（2014•沈阳校级模拟）若+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m的值是　﹣2　．
【考点】一元二次方程的定义．菁优网版权所有
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0，m2﹣2=2，求出即可．
【解答】解：∵+x﹣3=0是关于x的一元二次方程，
∴m﹣2≠0，m2﹣2=2，
解得：m=﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了对一元二次方程的定义的理解和运用，注意：一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）．

19．（3分）（2014春•海淀区校级期末）直线y=2x+1与双曲线y=有一个交点为（1，3），则它们的另一个交点为　　．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．菁优网版权所有
【分析】根据反比例函数与一次函数的交点问题，解方程组即可得到它们的另一个交点坐标．
【解答】解：解方程组得或，
所以它们的另一个交点坐标为（﹣，﹣2）．
故答案为（﹣，﹣2）．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．

20．（3分）（2011秋•东丰县期末）将直角边为12cm的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB′C′，那么图中阴影部分面积是　　cm2．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】由等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB'C'，根据旋转的性质得∠CAC′=15°，∠C′=∠C=90°，AC′=AC=12，而△ABC为等腰直角三角形，得到∠CBA=45°，则∠DAC′=45°﹣15°=30°，得到DC′=AC′=12×=4，利用三角形的面积公式即可得到阴影部分面积．
【解答】解：设AB与B′C′交于D点，
∵等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转15°后得到△AB'C'，
∴∠CAC′=15°，∠C′=∠C=90°，AC′=AC=12，
而△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CAB=45°，
∴∠DAC′=45°﹣15°=30°，
在Rt△ADC′中，DC′=AC′=12×=4，
∴S△ADC′=×12×4=24（cm2）．
故答案为24．

【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质以及含30度的直角三角形三边的关系．

21．（3分）（2012•大兴区二模）已知：如图，互相全等的平行四边形按一定的规律排列．其中，第①个图形中有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，第④个图形中一共有　19　个平行四边形，…，第n个图形中一共有平行四边形的个数为　n2+n﹣1　个．

【考点】规律型：图形的变化类．菁优网版权所有
【分析】由于图②平行四边形有5个=（2+2）（2﹣1）+1，图③平行四边形有11个=（2+3）（3﹣1）+1，图④平行四边形有19=（2+4）（4﹣1）+1，第n个图形平行四边形的个数是（2+n）（n﹣1）+1，把n=4代入求出即可．
【解答】解：∵图②平行四边形有5个=﹣1，
图③平行四边形有11个=﹣1，
…
∴第n个图有﹣1=n2+n﹣1个平行四边形，
∴图④的平行四边形的个数为42+4﹣1=19
故答案为19，n2+n﹣1．
【点评】考查了规律型：图形的变化类，本题是一道根据图形进行数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，然后利用规律解决一般问题．

22．（3分）（2014春•海淀区校级期末）如图，Rt△ABC中，已知∠C=90°，∠B=48°，点D在边BC上，BD=2CD，把Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=　84°或120°　．

【考点】旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】由于BD=2CD，则把Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度后，点B的对应点B′可能落在AB或BC边上，分类讨论：当旋转后点B的对应点B′落在AB边上，如图1，根据旋转的性质得DB′=DB，∠B′DB=m，再根据等腰三角形的性质得∠DB′B=∠B=48°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠B′DB=180°﹣∠DB′B﹣∠B=84°；当点B的对应点B′落在AB边上，如图2，根据旋转的性质得∴DB′=DB，∠B′DB=m，由于BD=2CD，则DB′=2CD，根据含30度的直角三角形三边的关系得∠CB′D=30°，再利用互余计算出∠CDB′=60°，然后利用邻补角的定义得到∠B′DB=120°．
【解答】解：当旋转后点B的对应点B′落在AB边上，如图1，
∵Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度得到Rt△A′B′C′，
∴DB′=DB，∠B′DB=m，
∴∠DB′B=∠B=48°，
∴∠B′DB=180°﹣∠DB′B﹣∠B=84°，即m=84°；
当点B的对应点B′落在AB边上，如图2，
∵Rt△ABC绕点D逆时针旋转m（0°＜m＜180°）度得到Rt△A′B′C′，
∴DB′=DB，∠B′DB=m，
∵BD=2CD，
∴DB′=2CD，
∵∠C=90°，
∴∠CB′D=30°，
∴∠CDB′=60°，
∴∠B′DB=180°﹣60°=120°，即m=120°，
综上所述，m的值为84°或120°．
故答案为84°或120°．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和等腰三角形的性质．

三、解答题（共34分）
23．（6分）（2014春•海淀区校级期末）计算：
（1）（+）+（﹣）；
（2）（3﹣2）2．
【考点】二次根式的混合运算．菁优网版权所有
【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
（2）利用完全平方公式计算．
【解答】解：（1）原式=2+2+﹣
=3+；

（2）原式=18﹣12+12
=30﹣12．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

24．（6分）（2014春•海淀区校级期末）解方程：
（1）2x2+2x﹣1=0（公式法）；
（2）（2x﹣1）2=（3﹣x）2．
【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．菁优网版权所有
【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式求解；
（2）先移项得到（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2=0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）△=22﹣4×2×（﹣1）=12，
x==，
所以x1=，x2=；
（2）（2x﹣1）2﹣（3﹣x）2=0，
（2x﹣1+3﹣x）（2x﹣1﹣3+x）=0，
2x﹣1+3﹣x=0或2x﹣1﹣3+x=0，
所以x1=﹣2，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．

25．（3分）（2014春•海淀区校级期末）如图，在10×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为单位1，将△ABC向右平移5个单位，得到△A′B′C′，再把△A′B′C′绕点A′顺时针旋转90°，得到△A″B″C″，请你画出△A′B′C′和△A″B″C″（不要求写画法）．

【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．菁优网版权所有
【分析】根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可，再作出点A′、B′、C′绕点A′顺时针旋转90°后的对应点A″、B″、C″的位置，然后顺次连接即可．
【解答】解：△A′B′C′和△A″B″C″如图所示．

【点评】本题考查了利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

26．（4分）（2011•朝阳区二模）如图，要建一个面积为40平方米的矩形花园ABCD，为了节约材料，花园的一边AD靠着原有的一面墙，墙长为8米（AD＜8），另三边用栅栏围成，已知栅栏总长为24米，求花园一边AB的长．

【考点】一元二次方程的应用．菁优网版权所有
【分析】设垂直墙的篱笆的长为x，那么余下的篱笆长为（24﹣2x），x和（24﹣2x）就是鸡场的长和宽．然后用面积做等量关系可列方程求解．
【解答】解：设AB长为x米，则BC长为（24﹣2x）米．（1分）
依题意，得x（24﹣2x）=40（2分）
整理，得x2﹣12x+20=0．
解方程，得x1=10，x2=2．（3分）
所以当x=10时，24﹣2x=4；
当x=2时，24﹣2x=20（不符合题意，舍去）．（4分）
答：AB的长为10米．（5分）
【点评】本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．本题是用24米的篱笆围成三个边．

27．（4分）（2014春•海淀区校级期末）如图，正方形ABCD的边长为a，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，求△CEF的周长．

【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有
【分析】先根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=∠B=90°，根据旋转的定义，把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，根据旋转的性质得AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，于是可判断点G在CB的延长线上，接着利用“SAS”证明在△EAG≌△EAF，得到EG=EF=BE+DF，然后利用三角形周长的定义得到△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=2a．
【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
∴把△ADF绕点A顺时针旋转90°可得到△ABG，如图，
∴AG=AF，BG=DF，∠GAF=90°，∠ABG=∠B=90°，
∴点G在CB的延长线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠GAF﹣∠EAF=45°，
∴∠EAG=∠EAF，
在△EAG和△EAF中，
，
∴△EAG≌△EAF（SAS），
∴EG=EF，
而EG=BE+BG=BE+DF，
∴EF=BE+DF，
∴△CEF的周长=CE+CF+BE+DF=CB+CD=a+a=2a．

【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了全等三角形的判定与性质和正方形的性质．

28．（5分）（2014春•海淀区校级期末）已知关于x的方程x2﹣2x+（a+1）2=0有实根．
（1）求a的值；
（2）若关于x的方程mx2+（2﹣m）x﹣a﹣1=0的所有根均为整数，求整数m的值．
【考点】根的判别式．菁优网版权所有
【分析】（1）利用根的判别式的符号来求a的值；
（2）利用（1）的结果，将关于x的方程mx2+（1﹣m）x﹣a=0转化为方程mx2+（2﹣m）x﹣2=0，然后分类讨论：二次项系数的取值分两种情况：当m=0和m≠0时的两种情况．
【解答】解：（1）∵关于x的方程x2﹣2x+（a+1）2=0有实根，
∴△=4a﹣4××（a+1）2≥0，且a≥0，
整理，得
﹣（a﹣1）2≥0，
则a﹣1=0，
解得a=1；

（2）由（1）知，a=1，则由原方程，得
∵mx2+（2﹣m）x﹣2=0，
∴（mx+1）（x﹣2）=0；
①当m≠0时，
∴x1=﹣，x2=1，
∴整数m的值为1或﹣1；
②当m=0时，x=2；
综上所述，整数m的值是0，1，﹣1．
【点评】本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．

29．（6分）（2014春•海淀区校级期末）两个矩形如图1摆放在直线MN上，AD=EH=1，CD=DE=EF=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转角α，同时将矩形EFGH绕点E逆时针旋转角α，其中0°＜α＜90°．
（1）如图2，当点C和F重合时，α=　30°　；
（2）如图3，当两个矩形的重叠部分为正方形时，α=　45°　，重叠部分的面积S=　6﹣4　；
（3）如图4，当旋转到点B与点G重合时，设DC与EF交于P，BP的延长线交DE于Q，线段BQ与DE的关系是　垂直平分相等　，利用你的结论（不用证明），计算两个矩形重叠部分的面积．

【考点】几何变换综合题．菁优网版权所有
【分析】（1）由CD=FE=DE=2，得到△CDE为等边三角形，则∠DCE=60°，得到∠1=180°﹣∠ADC﹣∠CDE=180°﹣90°﹣60°=30°，得到α=30°；
（2）由四边形MFNC为正方形，而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．得到NF=NC，∠FNC=90°，则∠DNE=90°，ND=NE，得到∠NDE=∠NED=45°，所以∠1=180°﹣90°﹣45°=45°，即α=45°，由于△DFE是等腰直角三角形，DE=2，可求出DF=，CF=2﹣，即可求出重合正方形面积；
（3）垂直平分相等，可证明△BFP≌△EQP，得到PF=QE，在△BFP中用勾股定理列方程求出PF，即可求出重合部分面积．
【解答】解：（1）如图2，
∵CD=FE=DE=2，
∴△CDE为等边三角形，
∴∠DCE=60°，
∴∠MDA=180°﹣∠ADC﹣∠CDE=180°﹣90°﹣60°=30°，
而∠MDA等于旋转角，
∴α=30°；
（2）如图3，∵四边形MFNC为正方形，
而矩形ABCD绕点D顺时针旋转和矩形EFGH绕点E逆时针旋转相同的角度．
∴NF=NC，∠FNC=90°，
∴∠DNE=90°，ND=NE，
∴∠NDE=∠NED=45°，
∴∠ADM=180°﹣90°﹣45°=45°，
∴α=45°．
∵△DEF是等腰直角三角形，DE=2，
∴DF=，CF=2﹣，
∴S正方形=（2﹣）2=6﹣4；
（3）线段BQ与DE的关系是：垂直平分相等．
如图4，
在△BFP和△EQP中

∴△BFP≌△EQP，
∴PQ=PF，
设PF=x，则BP=2﹣x，
∵BP2=PF2+BF2，
∴（2﹣x）2=12+x2
∴x=，
∴S四边形BFPC=2S△BFP=2××1×=．
故答案为：（1）30°；（2）45°，；（3）垂直平分相等．

【点评】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、等边三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、以及勾股定理和图形面积计算等知识，熟练运用旋转的性质以及具有较强的逻辑推理能力是解决问题的关键．

参与本试卷答题和审题的老师有：星期八；gbl210；HJJ；sd2011；nhx600；CJX；438011；bjy；leikun；zcx；gsls；Liuzhx；ZJX；zjx111；sjzx；HLing；1339885408@（排名不分先后）
菁优网
2016年5月19日