苏教七年级下册期末解答题压轴数学试题.doc

（完整版）苏教七年级下册期末解答题压轴数学试题精选
一、解答题
1．如图，直线，、是、上的两点，直线与、分别交于点、，点是直线上的一个动点（不与点、重合），连接、．

（1）当点与点、在一直线上时，，，则_____．
（2）若点与点、不在一直线上，试探索、、之间的关系，并证明你的结论．
2．在△ABC中，∠BAC＝90°，点D是BC上一点，将△ABD沿AD翻折后得到△AED，边AE交BC于点F．

(1)如图①，当AE⊥BC时，写出图中所有与∠B相等的角：　 ；所有与∠C相等的角：　 　 ．
(2)若∠C－∠B＝50°，∠BAD＝x°(0＜x≤45) ．
① 求∠B的度数；
②是否存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．若存在，并求x的值；若不存在，请说明理由．
3．【问题探究】如图1，DF∥CE，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β，猜想∠DPC与α、β之间有何数量关系？并说明理由；
【问题迁移】
如图2，DF∥CE，点P在三角板AB边上滑动，∠PCE=∠α，∠PDF=∠β.
（1）当点P在E、F两点之间运动时，如果α=30°，β=40°，则∠DPC= °.

（2）如果点P在E、F两点外侧运动时（点P与点A、B、E、F四点不重合），写出∠DPC与α、β之间的数量关系，并说明理由．

（图1） （图2）
4．如图①所示，在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内的点处.
（1）若，________.
（2）如图①，若各个角度不确定，试猜想，，之间的数量关系，直接写出结论.
②当点落在四边形外部时（如图②），（1）中的猜想是否仍然成立？若成立，请说明理由，若不成立，，，之间又存在什么关系？请说明．

（3）应用：如图③：把一个三角形的三个角向内折叠之后，且三个顶点不重合，那么图中的和是________.
5．已知在中，，点在上，边在上，在中，边在直线上，；
（1）如图1，求的度数；
（2）如图2，将沿射线的方向平移，当点在上时，求度数；
（3）将在直线上平移，当以为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出度数．

6．如图，，点在直线上，点在直线和之间，，平分．

（1）求的度数（用含的式子表示）；
（2）过点作交的延长线于点，作的平分线交于点，请在备用图中补全图形，猜想与的位置关系，并证明；
（3）将（2）中的“作的平分线交于点”改为“作射线将分为两个部分，交于点”，其余条件不变，连接，若恰好平分，请直接写出__________（用含的式子表示）．
7．在中，，是的角平分线，是射线上任意一点（不与、、三点重合），过点作，垂足为，交直线于．

（1）如图①，当点在线段上时，
（i）说明．
（ii）作的角平分线交直线于点，则与有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．
（2）当点在的延长线上时，作的角平分线交直线于点，此时与的位置关系为___________．
8．（问题情境）苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：
（1）探究1：如图1，在中，P是与的平分线和的交点，通过分析发现，理由如下：
∵和分别是和的角平分线，
∴，．
∴．
又∵在中，，
∴
∴

（2）探究2：如图2中，H是外角与外角的平分线和的交点，若，则______．若，则与有怎样的关系？请说明理由．
（3）探究3：如图3中，在中，P是与的平分线和的交点，过点P作，交于点D．外角的平分线与的延长线交于点E，则根据探究1的结论，下列角中与相等的角是______；
A． B． C．
（4）探究4：如图4中，H是外角与外角的平分线和的交点，在探究3条件的基础上，①试判断与的位置关系，并说明理由；
②在中，存在一个内角等于的3倍，则的度数为______

9．如图1，在中，平分，平分．
(1)若，则的度数为______；
(2)若，直线经过点．
①如图2，若，求的度数(用含的代数式表示)；
②如图3，若绕点旋转，分别交线段于点，试问在旋转过程中的度数是否会发生改变?若不变，求出的度数(用含的代数式表示)，若改变，请说明理由：
③如图4，继续旋转直线，与线段交于点，与的延长线交于点，请直接写出与的关系(用含的代数式表示)．

10．已知E、D分别在的边、上，C为平面内一点，、分别是、的平分线．

（1）如图1，若点C在上，且，求证：；
（2）如图2，若点C在的内部，且，请猜想、、之间的数量关系，并证明；
（3）若点C在的外部，且，请根据图3、图4直接写出结果出、、之间的数量关系．
【参考答案】
一、解答题
1．（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出
解析：（1）120°；（2）∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，证明见详解．
【分析】
（1）根据题意，当点与点、在一直线上时，作出图形，由AB∥CD，∠FHP=60°，可以推出=60°，计算∠PFD即可；
（2）根据点P是动点，分三种情况讨论：①当点P在AB与CD之间时；②当点P在AB上方时；③当点P在CD下方时，分别求出∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系即可．
【详解】
（1）当点与点、在一直线上时，作图如下，
∵AB∥CD，∠FHP=60°，，
∴=∠FHP=60°，
∴∠EFD=180°-∠GEP=180°-60°=120°，
∴∠PFD=120°，
故答案为：120°；

（2）满足关系式为∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
证明：根据点P是动点，分三种情况讨论：
①当点P在AB与CD之间时，
过点P作PQ∥AB，如下图，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP=∠EPQ，∠CFP=∠FPQ，
∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=∠AEP+∠CFP，
即∠EPF =∠AEP+∠CFP；

②当点P在AB上方时，如下图所示，
∵∠AEP=∠EPF+∠EQP，
∵AB∥CD，
∴∠CFP=∠EQP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP；

③当点P在CD下方时，
∵AB∥CD，
∴∠AEP=∠EQF，
∴∠EQF=∠EPF+∠CFP，
∴∠AEP=∠EPF+∠CFP，

综上所述，∠AEP、∠EPF、∠CFP之间满足的关系式为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP，
故答案为：∠EPF =∠AEP+∠CFP或∠AEP=∠EPF+∠CFP．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，外角的性质，掌握平行线的性质是解题的关键，注意分情况讨论问题．
2．(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得，
解析：(1)∠E、∠CAF；∠CDE、∠BAF； (2)①20°；②30
【分析】
（1）由翻折的性质和平行线的性质即可得与∠B相等的角；由等角代换即可得与∠C相等的角；
（2）①由三角形内角和定理可得，再由根据角的和差计算即可得∠C的度数，进而得∠B的度数．
②根据翻折的性质和三角形外角及三角形内角和定理，用含x的代数式表示出∠FDE、∠DFE的度数，分三种情况讨论求出符合题意的x值即可．
【详解】
（1）由翻折的性质可得：∠E＝∠B，
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠DFE＝90°，
∴180°－∠BAC＝180°－∠DFE＝90°，
即：∠B＋∠C＝∠E＋∠FDE＝90°，
∴∠C＝∠FDE，
∴AC∥DE，
∴∠CAF＝∠E，
∴∠CAF＝∠E＝∠B
故与∠B相等的角有∠CAF和∠E；
∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴∠BAF＋∠CAF＝90°, ∠CFA＝180°－（∠CAF＋∠C）＝90°
∴∠BAF＋∠CAF＝∠CAF＋∠C＝90°
∴∠BAF＝∠C
又AC∥DE，
∴∠C＝∠CDE，
∴故与∠C相等的角有∠CDE、∠BAF；
（2）①∵
∴
又∵，
∴∠C＝70°，∠B＝20°;
②∵∠BAD＝x°, ∠B＝20°则,,
由翻折可知：∵, ,
∴, ,
当∠FDE＝∠DFE时，, 解得：；
当∠FDE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
当∠DFE＝∠E时，，解得：（因为0＜x≤45，故舍去）；
综上所述，存在这样的x的值，使得△DEF中有两个角相等．且．
【点睛】
本题考查图形的翻折、三角形内角和定理、平行线的判定及其性质、三角形外角的性质、等角代换，解题的关键是熟知图形翻折的性质及综合运用所学知识．
3．∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠C
解析：∠DPC=α+β，理由见解析；（1）70 ；(2) ∠DPC=α – β，理由见解析.
【解析】（1）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；
（2）化成图形，根据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．
【问题探究】解：∠DPC=α+β
如图，

过P作PH∥DF
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=α， ∠PDF=∠2
∵∠DPC=∠2+∠1=α+β
【问题迁移】（1）70

（图1） （ 图2）
(2) 如图1，∠DPC=β -α
∵DF∥CE,
∴∠PCE=∠1=β，
∵∠DPC=∠1-∠FDP=∠1-α．
∴∠DPC=β -α
如图2，∠DPC= α -β
∵DF∥CE,
∴∠PDF=∠1=α
∵∠DPC=∠1-∠ACE=∠1-β．
∴∠DPC=α - β
4．(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.
【分析】
（1）根据题意，已知，，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；
（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′
解析：(1)50°；(2)①见解析;②见解析;(3)360°.
【分析】
（1）根据题意，已知，，可结合三角形内角和定理和折叠变换的性质求解；
（2）①先根据折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，由两个平角∠AEB和∠ADC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
②利用两次外角定理得出结论；
（3）由折叠可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6等于六边形的内角和减去（∠B'GF+∠B'FG）以及（∠C'DE+∠C'ED）和（∠A'HL+∠A'LH），再利用三角形的内角和定理即可求解．
【详解】
解：（1）∵，，
∴∠A′=∠A=180°-（65°+70°）=45°，
∴∠A′ED+∠A′DE =180°-∠A′=135°，
∴∠2=360°-（∠C+∠B+∠1+∠A′ED+∠A′DE）=360°-310°=50°；
（2）①,理由如下
由折叠得：∠ADE=∠A′DE，∠AED=∠A′ED，
∵∠AEB+∠ADC=360°，
∴∠1+∠2=360°-∠ADE-∠A′DE-∠AED-∠A′ED=360°-2∠ADE-2∠AED，
∴∠1+∠2=2（180°-∠ADE-∠AED）=2∠A；
②，理由如下：

∵是的一个外角
∴.
∵是的一个外角
∴
又∵
∴
（3）如图

由题意知，
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=720°-（∠B'GF+∠B'FG）-（∠C'DE+∠C'ED）-（∠A'HL+∠A'LH）=720°-（180°-∠B'）-（180°-C'）-（180°-A'）=180°+（∠B'+∠C'+∠A'）
又∵∠B=∠B'，∠C=∠C'，∠A=∠A'，
∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．
【点睛】
题主要考查了折叠变换、三角形、四边形内角和定理．注意折叠前后图形全等；三角形内角和为180°；四边形内角和等于360度．
5．（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论；
（3）分和两种情况求解即可得
解析：（1）60°；（2）15°；（3）30°或15°
【分析】
（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论；
（2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论；
（3）分和两种情况求解即可得出结论．
【详解】
解：（1），
，
，
，
，
；
（2）由（1）知，，
，
，
，
；
（3）当时，如图3，
由（1）知，，
；

当时，如图4，
，
点，重合，
，
，
由（1）知，，
，
即当以、、为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或．

【点睛】
此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出是解本题的关键．
6．（1）；（2）画图见解析，，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）根据平行线的传递性推出，再利用平行线的性质进行求解；
（2）猜测，根据平分，推导出，再根据、平分，通过等量代换求解；
（3）分两种情
解析：（1）；（2）画图见解析，，证明见解析；（3）或
【分析】
（1）根据平行线的传递性推出，再利用平行线的性质进行求解；
（2）猜测，根据平分，推导出，再根据、平分，通过等量代换求解；
（3）分两种情况进行讨论，即当与，充分利用平行线的性质、角平分线的性质、等量代换的思想进行求解．
【详解】
（1）过点作，

，
，
，
．
（2）根据题意，补全图形如下：

猜测，
由（1）可知：，
平分，
，
，
，
，
又平分，
，
，
．
（3）①如图1，

，
由（2）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
又平分，
，
；
②如图2，

，（同①）；
若，
则有，
又，
，
，
，
综上所述：或，
故答案是：或．
【点睛】
本题考查了平行线的性质、角平分线、三角形内角和定理、垂直等相关知识点，解题的关键是掌握相关知识点，作出适当的辅助线，通过分类讨论及等量代换进行求解．
7．（1）（i）见解析；（ii），理由见解析；（2）
【分析】
（1）（i）根据平分可以得到，再根据，，即可得到答案；
（ii）设，根据，，即可求解；
（2）根据∠PDO=∠A+∠DBA，∠A+∠ABC
解析：（1）（i）见解析；（ii），理由见解析；（2）
【分析】
（1）（i）根据平分可以得到，再根据，，即可得到答案；
（ii）设，根据，，即可求解；
（2）根据∠PDO=∠A+∠DBA，∠A+∠ABC=90°，∠ABC=∠CPG，利用角平分线的性质，即可得到．
【详解】
解：（1）（i）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．

（ii）．
设，
∴．
∵，
∴，
又∵
∴
∴，
∴．

（2），理由如下：
∵∠ACB=90°
∴∠PCB=90°，∠A+∠ABC=90°
∵PQ⊥AB
∴∠PQB=∠PCB=90°
又∵∠CGP=∠BGQ
∴∠ABC=∠CPG
∵∠PDO=∠A+∠DBA，BD是∠ABC的角平分线
∴
∵PF是∠APQ的角平分线
∴
∴
∴∠POD=90°
∴PF⊥BD．

【点睛】
本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，对顶角的性质，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
8．（2）；；理由见解析；（3）B；（4）①，理由见解析；②45°或60°
【分析】
（2）由（1）中结论可得，依据角平分线的定义，即可得出和均为直角；再根据四边形内角和进行计算，即可得到的度数以及与的
解析：（2）；；理由见解析；（3）B；（4）①，理由见解析；②45°或60°
【分析】
（2）由（1）中结论可得，依据角平分线的定义，即可得出和均为直角；再根据四边形内角和进行计算，即可得到的度数以及与的关系；
（3）由（1）中结论可得，再根据垂线的定义以及三角形外角性质，即可得出，进而得到；
（4）①根据，即可得到，再根据角平分线的定义，即可得到，依据，即可判定；
②由①可得，即可得出，再根据在中一个内角等于的倍，分三种情况讨论，即可得出的度数．
【详解】
解：（2）由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，
∴，
同理可得，
∴四边形中，，
故答案为：；
若，则与关系为：．
理由：由（1）可得，，
∵是外角与外角的平分线和的交点，是与的平分线和的交点，
∴，
同理可得，
∴四边形中，．
（3）由（1）可得，，
∵，平分，
∴，，
∵是的外角，
∴，
∴，
故答案为：；
（4）①．
理由：∵，
∴，
∵，分别平分，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②由①可得，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
分三种情况：
①若，则，
解得（不合题意），
②若，则，
∴，
解得，
∴，
由（2）可得，，即，
∴；
③若，则，
∴，
解得，
∴，
由（2）可得，，即，
∴；
综上所述，的度数为或．
故答案为：或．
【点睛】
本题属于三角形综合题，主要考查的是角平分线的定义，三角形外角性质，三角形内角和定理以及平行线的判定的综合运用，熟记基本图形中的结论，准确识图并灵活运用基本结论是解题的关键．
9．（1）130°；（2）①90-；②不变，90-；③∠NDC+∠MDB=90-．
【分析】
（1）根据已知，以及三角形内角和等于180，即可求解；
（2）①根据平行线的性质可以证得∠ABD=∠BDM=
解析：（1）130°；（2）①90-；②不变，90-；③∠NDC+∠MDB=90-．
【分析】
（1）根据已知，以及三角形内角和等于180，即可求解；
（2）①根据平行线的性质可以证得∠ABD=∠BDM=∠MBD，∠CND=∠A=，再利用含有的式子分别表示出∠NDC、∠MDB，进行作差，即可求解代数式；
②延长BD交AC于点E，则∠NDE=∠MDB，因此∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC，再利用三角形内角和为180，即可求解；
③如图可知，∠NDC+∠MDB=180-∠BDC，利用平角的定义，即可求解代数式．
【详解】
解：（1）∵∠A=80
∴∠ABC+∠ACB=180-80=100
又∵ BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=100=50．
∴ ∠BDC=180-50=130．
（2）①∵MN//AB，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD=∠BDM=∠MBD，∠CND=∠A=，
∴ ∠NDC=180--∠ACB，∠MDB=∠ABC，
∴∠NDC-∠MDB=180--∠ACB-∠ABC=180--（∠ACB+∠ABC）=180--（180-）=90-．
②不变；延长BD交AC于点E，如图：

∴∠NDE=∠MDB，
∵∠BDC=180-（∠ACB+∠ABC）=180-（180-）=90+，
∴∠NDC-∠MDB=∠NDC-∠NDE=∠EDC=180-∠BDC=180-（90+）=90-，
同①，说明MN在旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数只与∠A有关系，而∠A始终不变，
故：MN在旋转过程中∠NDC-∠MDB的度数不会发生改变．
③如图可知，∠NDC+∠MDB=180-∠BDC，
由②知∠BDC=90+，
∴∠NDC+∠MDB=180-（90+）=90-．
故∠NDC与∠MDB的关系是∠NDC+∠MDB=90-．
【点睛】
本题目考查平行线与三角形的综合，涉及知识点有平行线的性质，三角形内角和等于180°等，是中考的常考知识点，难度一般，熟练掌握以上知识点的综合运用是顺利解题的关键．
10．（1）证明见解析；（2）∠CDB+∠AEC＝2∠DCE；（3）图3中∠CDB＝∠AEC+2∠DCE，图4中∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．
【分析】
（1）依据DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平
解析：（1）证明见解析；（2）∠CDB+∠AEC＝2∠DCE；（3）图3中∠CDB＝∠AEC+2∠DCE，图4中∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．
【分析】
（1）依据DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，可得∠CDF＝∠CDB，∠CDE＝∠CDO，进而得出∠EDF＝（∠CDB+∠CDO）＝90°，再根据平行线的性质，即可得到∠AED＝90°，即DE⊥AO；
（2）连接OC，依据∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，可得∠DOE＝∠DCE，再根据三角形外角性质，即可得到∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）如图3中，依据∠CDB是△ODG的外角，可得∠CDB＝∠DOG+∠DGO，依据∠DGO是△CEG的外角，可得∠DGO＝∠AEC+∠C，进而得到∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；如图4中，同理可得∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．
【详解】
解：（1）如图1，∵DE、DF分别是∠CDO、∠CDB的平分线，
∴∠CDF＝∠CDB，∠CDE＝∠CDO，
∴∠EDF＝（∠CDB+∠CDO）＝90°，
又∵DF∥AO，
∴∠AED＝90°，
∴DE⊥AO；
（2）如图2，连接OC，
∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△COD的外角，∠AEC是△COE的外角，
∴∠CDB＝∠COD+∠OCD，∠AEC＝∠EOC+∠ECO，
∴∠CDB+∠AEC＝∠COD+∠OCD+∠EOC+∠ECO＝2∠DCE；
（3）图3中，∠CDB＝∠AEC+2∠DCE；图4中，∠AEC＝∠CDB+2∠DCE．理由：
如图3，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠CDB是△ODG的外角，
∴∠CDB＝∠DOG+∠DGO，
∵∠DGO是△CEG的外角，
∴∠DGO＝∠AEC+∠C，
∴∠CDB＝∠DOG+∠AEC+∠C＝∠AEC+2∠DCE；
如图4，∵∠DEO＝∠DEC，∠EDO＝∠EDC，
∴∠DOE＝∠DCE，
∵∠AEC是△OEH的外角，
∴∠AEC＝∠DOE+∠OHE，
∵∠OHE是△CDH的外角，
∴∠OHE＝∠CDB+∠C，
∴∠AEC＝∠DOE+∠CDB+∠C＝∠CDB+2∠DCE．

【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的综合运用，解题时注意：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．