第2章 逻辑代数与逻辑函数化简.pdf

课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础第2章 逻辑代数与逻辑函数化简口主要内容：学习用于逻辑分析和设计的一种数学工具 逻辑代数。内容包括：1.逻辑代数基础（逻辑常量、逻辑变量、逻辑函数、基本逻辑运算）2.逻辑代数的基本公式和定理（13个定律、3个基本规则）3.逻辑函数的表示方法（真值表、逻辑函数式、逻辑电路图、卡诺图）4.逻辑函数的化简（代数法、卡诺图法）口教学安排：理论课8学时，习题课2学时课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础逻辑代数是研究数字系统逻辑设计的重要数学工具。介绍3种基本的逻辑运算，“与”、“或”和“非”运算；掌握逻辑代数的公理、定理及规则；学习逻辑函数表达式的形式与转换；熟练逻辑代数的化简。第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑 2.1逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 2.5本章知识回顾课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础章节内容安排-：2.1逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 2.5本章知识回顾课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.1逻辑代二0、逻辑 逻辑(logic):一种因果思维逻楫代数：应用代数方法研究逻辑问题一布尔代数或开关代数 数学方法：函数-变量(自变量、因变量)-函数关系十字路口的车辆与交通指挥灯-F=(R,Y,G)任意具有因果关系的逻辑变量-F=(AP A2,.An)函数关系表示：图形、公式、表格课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础）一、逻辑变量逻辑问题的前提是二值性问题，即一个问题只有二种答 案，不是“真”就是“假”，不存在第三种似是而非的答案。这样逻辑问题也可用二种代码表示，一般用“1”和“0”表示 二种答案。此处的“1”和“0”仅表示一个问题的二种结果，不表示数,无大小之分。仅表示相互矛盾、相互对立的两种逻 辑状态。“1”和“0”称逻辑常量。逻辑变量用字母表示！如A、B、C等课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.1逻辑代）一、逻辑变量逻辑值0、1-代表两种不同的状态逻辑代数逻辑变量 取值为逻辑值0或1逻辑运算 三个基本运算-与、或、非 运算的表示最基本的表示-真值表课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础匚 二、逻辑运算，逻辑乘(Logic Multiplication)与逻辑关系表 与逻辑真值表开关A开关B灯FA BF0 000 101 001 11课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础匚 二、逻辑运算L与逻辑课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础真值表:函数表达式:逻辑结论：有0出0,全1出1F=A B;F=A B C.ABF0001 0 j101|0011：j 1运算规则：00=0 0 1=010=0 11=1口 4 0=0 A-1=A A-A=A第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑B课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础E二二、“或”逻辑运“逻辑加”(LogicAddition)2.或逻辑只有决定某一事件的有一个或一个 以上条件具备，这一事件才能发生。或逻辑真值表A BF0 00 11 01 10 11 11逻辑符号A-1一 I-FB课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.1逻辑代名匚 二、逻辑运算课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础或运葬口逻辑结论：有1出1,全0出0真值表：!ABF0 0 1j 1:，1:0j 1 j1 0；!1 j0,11|1函数表达式：F=A+B运算规则：0+0=0；户=/+C+0+1=11+0=11+1=1 A+O=A A+l=l A+A=A课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础匚 二、逻辑运算当决定某一事件的条件满足时,事件不发生；反之事件发生，非逻辑功能表u 二、“非”逻辑运3.非逻辑“逻辑反相运算(Inversion)、否定(Logic Negation)。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础逻辑结论：4=0时/=1,4=1时产=0真值表AF0110函数表达式：F=A逻 辑 符 号 图F=AAF=AA课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.1.4复合逻辑与非逻辑（NAND）第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑ABF001010|*01,10F=A+B+C+-F=A+BA逻辑结论：有1出0,全0出1D _ _口 F=A+B课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2.4复合逻辑二与聂非遁辑 一F=AB+CDBC-F=A B+C DD第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑2.1.4复合逻辑异或逻辑（Exclusive O逻辑关系：输入不同时，输出为1；输入相同时，输出为0。A输入输出ABF0000111110BF=AQBF=AB+AB=AB逻辑结论：A#B时F=L A=B时F=0第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑1F=AB+五8逻辑电路图尸=/刀。ABCDF课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.1.4导出逻辑(复合逻辑)同或逻辑(Exclusive NOR)逻辑关系：输入相同时，输出为1；输入不同时，输出为0。输入输出ABF001001。i0111)F=AB+AB=AQBAB=A0B口逻辑结论：A=B时F=l,ArB时F=0第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑异或门同或门异或门同或门*-=1-F=A BB-N-=13-F=A GBB-课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础）三、逻辑函数数字电路的特点及描述工具数字电路是一种开关电路；输入、输出量是高、低电平，可以用二元常量（0,1 来 表示。输入量和输出量之间的关系是一种逻辑上的因果关系。逻辑函数的定义F=f Al,A2,.，An 其中：Al,A2,.，An为输入逻辑变量，取值是0或1;F为输出逻辑变量，取值是0或1;F称为Al,A2,.，An的输出逻辑函数。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础章节内容安排 2.1逻辑代数的基本概念二 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简 2.5本章知识回顾课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规贝!一、公理la)1=02a)bl=l3a)P 0=0*1=04a)OGO5a)如 A，0,则 A=1lb)0=k2b)0+0=0,3b)0+l=l+0=4b)1+1=1，5b)如A丸则A=Od课程：数字逻第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规贝!二）二、定理名称公式运算规律0T律A.0=0A+l=l变量与常量的关勇自等律A.1=AA+O=A重叠律A.A=AA+A=A互补律AA=OA+A=l交换律A.B=B.AA+B=B+A与普通代数相似结合律A.(B.C)=(A.B).CA+(B+C)=(A+B)+C分配律A.(B+C尸AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)加对乘的分配律7第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑2.2逻辑代数的公理、定理及规见二）二、定理名称 公式 运算规律反演律A.BA+BA+B=A.B逻辑代数中的特殊 规律合用(A+B)(A45)=AAB+ABA吸收律A(A+B)=AA+AB=AA(A+B)=AB(A+B)C)(B+C)=(A+B)(7t+C)A+AB=A+BAB+AC+BC=AB+AC还原律A=A逻辑运算的优先级：括号非一与一或课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.2逻辑代数的公理、定理及规贝!二、定理A+BA+C)=AA+AC-vBA+BC=A+AC+AB+BC=A+C+B)+BC=AA+BC=A+BCA+AB=AA+B)=AA=AA+AB=A(B+B)+AB=AB+AB+AB=AB+AB+AB+AB=A(B+B)+BA+A)=A+BAB+AB=A(B+B)=AAB+AC+BC=AB+AC+A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(+B)=AB+ACi第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑2.3.2逻辑代数的基本定彳定律名称表达 式1.0-1律4+1=1A*Q=02.自等律a+o=AA1=A3.等箸律A+AAA*AA4.互补律A+A=lA9A=05.交换律ArB=B+AA*B=B9A6.结合律A+GB+C)=(A+石)+C4CBC)=(A8AC7.分配律A+BC=CA+B)(A+C)ACB+C)=AB+AC8.吸收律1AB+AB=A(A+B)G4+豆)=A9.吸收律2A+AJ3=A AG4+B)=A10.吸收律3A+AB=A+BAA+ByAB11.多余项定律AB+AC+BC=AB+ACCA+B)(A+CXB+C)=G4+B)(N+C)12.求反律A+B ABABA+B13.否否律A=A课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规则匚二)三、规则(1)代入规则：在任何一个含变量A的等式中，将其中所有的A均 用逻辑函数F来取代，则等式仍然成立。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定国:三、规则利用代入规则，可以方便地扩展公式。例如，可以把摩根定 律扩展到含有n个变量的等式：4+4+4=4 4 44.4 4=4+4+4课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规见:三、规则下面以三变量为例进行证明:A+B+C=A-B+C=A-B-CABC=A+BC=A+B+C课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规则匚 三、规则(2)对偶规则：对于一个逻辑函数Y,如将其中的“与”换 成“或”，“或”换成“与”，0换成1,1换成0,而原变量 及反变量本身保持不变，经这样置换后的新函数Y,便是 原函数Y的对偶函数。其实Y和Y是互为对偶函数的。口对偶式：设正是一个逻辑函数表达式，如果将产中所有的 -4*运算符上 H-I(0-1常量】。I 1-0课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规贝!）三、规则对偶式：设正是一个逻辑函数表达式，如果将歹中所有的运算符(0-1常量、0口得到一个新的逻辑函数表达式尸，P就是歹的对偶式。注意：（1）变换时要保持原式中的运算顺序;2 公共“非”号保持不变。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规贝!:三、规则口对偶规则：如果两个逻辑式子尸和G相等，那么它们的 对偶式P和G，也一定相等。应用：逻辑表达式形式转换与逻辑关系证明。举例逻辑关系:A+B=AB对偶式：A-B=A+B课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规见三、规则(3)反演规则：如将某逻辑函数Y中的“与”和“或”对换，0 和1对换，原变量和反变量也同时对换，这样对换后的新函数,便是原函数的反函数。在逻辑代数中，常将逻楫函数F叫作原函数，将F叫作F的反函 数或补函数，将由原函数求反函数的过程叫作“反演(Reversal Development)”或“求反”。若A是函数F的一个自 变量，则称A为原变量A的反变量。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.2逻 辑代数的公理7定理及规则.）三、规则反演：对逻辑函数F取“非”，即求其反函皴反演规则:运算符l=J变量原变量一反变1 反变量一原变量常11-0 注意：（1 变换时要保持原式中的运算顺序。-2 公共“非”号保持不变。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.2逻辑代数的公理、定理及规则匚 三、规则-公或三悔不变-F=ABC+BC+F=A+B+Cy（B+C-D 反演规则利用反演律证明：F=ABC+BC+D=A+BC+BC+D=A+BC+BC+D=彳+(3+)+5.(e。)=力+(5+6)+巧+心.。)=A+(B+C)(B+CD)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础章节内容安排 2.1逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 二）2.3逻辑函数表达式的形式与转换2.4逻辑函数的化简 2.5本章知识回顾课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转换二 一、逻辑函数的表示法逻辑函数的表示法逻辑表达式：逻辑变量、常量和运算符 所构成的式子真值表：表格表示法卡诺图：小方格组成的平面图第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑 2.3逻辑函数表达式的形式与一、逻辑函数的表示法真值表是将函数输入变量的各种组合情况，及其相应的输 出(函数值)对应地列成的表。表2-2就是上节所述与、或及非三种基本逻辑函数的真值表。三种基本逻辑函数的真值表输入输出输入输出输入输出YX】X2y0 000 00Xy0 100 11011 001 011 111 1110()与运算或运算v=x1+X2(Q非运算y=x课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 23逻辑函数表达式的形式与转匚 一、逻辑函数的表示法 口例用真值表证明摩根定律。A-B A+A+B A-B表 2.3.2与 A+B表2.3.3秆S与Z 豆的真值表ABABA+B001101I110：1111t0ABA+BA*5001101001001100课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 23逻辑函数表达式的形式与转匚 一、逻辑函数的表示法 真值表描述法应用【例】某公司有A、B、C三个股东，分别占有 公司50%、30%和20%的股份。一个议案要获得通过，必须有超过50%股权的股东投赞成票。试列出该公司 表决电路的真值表。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的拓凌匚 一、逻辑函数的表示法解用1表示股东赞成议案，用0表 示股东不赞成议案；用F表示表决结 果，且用1表示议案获得通过，用0表 示议案未获得通过。根据这些假定，不难列出该公司表决电路的真值表，如表所示。AB C,F0000001010001101000101111011111课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转匚 二、逻辑函数表达式的基本形式 逻辑函数的代数表达式现在，用逻辑代数表达式来描述例中的表决电路问题。由题中所述表决规则和股东权益可知，一个议案要得到通 过，必须同时满足以下两个条件：(1)大股东A赞成；(2)小股东B、C中至少有1个赞成课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转换匚 二、逻辑函数表达式的基本形式 逻辑函数的代数表达式根据假定，大股东A赞成即逻辑变量A取值为1;小股东B、C中至少有1个赞成即逻辑变量B为1或C为1,或B、C均为L显 然，条件中的变量B和C为“逻辑或”的关系，即B+C。而 条件与条件为“逻辑与”的关系，只有A为1且B+C也为1 时，F才为1。因此，表决结果F的逻辑表达式为F=A(B+C)和真值表一样，该表达式也准确地描述了该公司表决电 路的逻辑关系。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与I匚 二、逻辑函数表达式的基本形式对于给定的逻辑函数，其代数表达式的具体描述形式可以 是多种多样的。例如，例中的表决电路问题也可以这样来理解:只要大股东A和小股东B同时赞成，或大股东A和小股东C同时赞 成，或大股东A和小股东B、C同时赞成，议案便可获得通过。第一种情况可用AB来表示，第二种情况可用AC来表示，第三种 情况可用ABC来表示，而这三种情况又是一种“逻辑或”的关 系，只要任何一种情况出现，表决结果F便为L因此，F的逻 辑表达式为F=AB+AC+ABC课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 23逻辑函数表达式的形式与转口、转换”就是“改变逻辑函数的类型”。通常是由“与一或”式转换成其它形式。举例：口将“与一或”式。“或一与”式;式/】LB与4C转换成其它几种形“与非一与非，式;“或非一或非”式;“与一或一非”式。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2F=AB+1C=(/+C)(N+E)=AB=A+CA-B=ABAC与一或式或一与式 与非与非式 或非或非式 与或非式口最简的“与一或”式：乘积项的数目最少，同时每个乘 积项中变量的个数最少。也是化简目标课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础F=AB+AC 与或式（Q）F=(A+B)(A+C)或与式F-ABIC与非一与非式（。）F=A+C+Z+B 或非一或非式 d FAC+AB 与或非式课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转换匚 二、逻辑函数表达式的基本形式基本形式积之和：包含若干个“积”项，所有这些“积”项的“和”就表示一个函数。如：F=E+AB+SBC和之积：包含若干个“和”项，所有这些“和”项的“积”就表示一个函数。如：F=(A+B)(Tt+B)(A+B+C)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转换）三、逻辑函数表达式的标准形式1、最小项对于一个n个变量的集合，全体输入变量相乘的乘积项,称为最小项，常用叫来表示。这是因为在乘积项中，任一 变量为0,叫就为0,故称为最小项。由于最小项中每个变量都可以用原变量或反变量两种形式之 一出现，所以，n个变量共可组成211个最小项7第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑 2.3逻辑函数表达式的形式与转匚 三、逻辑函数表达式的标准形式表2-3三变函数的最小项和最大项序ABc|最小项犯最大项M0000A+B+C=M。1001I B20J0B Cms4+B+C=M?3011X B C*mi月+B+C0M14100A J5 cHm.同+8+C Mi510IA B C=mbA+8+C=M6110A 8 Cum,K+B+CKM.71r1I A B同+E+C=M,课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 23逻辑函数表达式的形式与转匚 三、逻辑函数表达式的标准形式最小项的特性：(1)对于任一最小项，只有一组输入变量的取值能使其为L例如，m5,只有在ABC=101时，其值才为1;而对其他取值，均为0(2)任意两个最小项的乘积恒等于0。因为变量的任一组取值，不可能使两个最小项同时为1,所以其乘积恒为0,即叱叫=0o(3)全部最小项之和恒等于L即Xmi=L(即不论变量如何 取值，总有一个对应的最小项存在，因此全部最小项之和为1.)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与）三、逻辑函数表达式的标准形式2、最大项全体输入变量相加的和项，称为最大项，常用此来表示。这是因为在和项中，任一变量为1,Mj就为1,故称为最大 项。由于最大项中每个变量都可以用原变量或反变量两种形式之 一出现，所以，n个变量共可组成2个最大项i课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 23逻辑函数表达式的形式与转换匚 三、逻辑函数表达式的标准形式表2-3 三变函数的最小项和大项序ABc最小项E.最大项M0000耳 E C=A+B+C=M。1001A B C A+6+C=Mi20J0X B C=*=mj/1+E+C=M?3011K B C*m川+B+C=%4100A R O=m.R+B+CaM,5101A B Cm6A+8+C=M6I10A B Cum,71r1A B Cntj+B+C=%最大项编号和最小项相反，即将“和”项的原变量看作0,反变量看作1课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 23逻辑函数表达式的形式与转匚 三、逻辑函数表达式的标准形式最大项的特性：(1)最大项应是只有一组输入变量的取值能使其为0；任意两个最大项之和恒等于1；全部最大项之积则恒等于0课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 23逻辑函数表达式的形式与转匚 三、逻辑函数表达式的标准形式3、两种标准形式的关系下标相同的最小项和最大项之间存在互补关系。即有MjFii表 2-3 三娈生敕的是小项和大项序ABcr最小项E.最大项MOOOoa B Q=FTXo4+A+U=A/。1OOi刀 2?四、逻辑函数表达式的转换证明：因为 F+F=l所以 阳(0-7)+4=1=阳(0=2,3,4 息 6,7)=旭(0,1,4,7)+m(2,3,5,6)因此 万=阳(2,336)F=F=阳(2,3,5,6)=口 面(2,3,5,6)=口拉(2,3息6)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转换一匚 四、逻辑函数表达式的转换2、真值表转换法将已知函数用真值表来表示，可以清楚地看出该函数 所含有的最小项或最大项。1 从真值表写标准积之和式标准积之和式中的最小项与真值表中F=1的各行变量取值 一一对应，因此，逻辑函数的标准积之和式就是真值表中使 函数值为1的各个最小项之和。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转换匚 四、逻辑函数表达式的转换从真值表写标准积之和式的方法如下：(1)找出F=1的行；(2)对每个F=1的行，取值为1的变量用原变量表示，取值为。的变量用反变量表示，然后取其乘积，得到最小项;(3)将各个最小项进行逻辑加，得到标准积之和式。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转匚 四、逻辑函数表达式的转换2 从真值表写标准和之积式标准和之积式中的最大项与真值表中F=0的各行变量取值一一对应,因此，逻辑函数的标准和之积式就是真值表中使函数值为0的各个最大项之积。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.3逻辑函数表达式的原与转换匚 四、逻辑函数表达式的转换 从真值表写标准和之积式的方法如下：(1)找出F=0的行；(2)对每个F=0的行，取值为0的变量用原变量表示，取值为1的变量用反变量表示，然后取其和，得到最大项；(3)将各个最大项进行逻辑乘，得到标准和之积式。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.3逻辑函数表达式的形式与转换匚 四、逻辑函数表达式的转换 例 试歹4出函数Y=AB+BC+ABC 的真值表,并指出它含有哪几项最大项？表24例2-8的真值表ABCABBCABCY0000000(Mo)0010000（监）01000110110101100100110110011100000(M6)1110101课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化僵匚玲二、卡诺图化简法 卡诺图是逻辑函数的另一种表格化表示形式，它不但具有真值 表的优点，还可以明确函数的最小项、最大项或任意项，并可 一次性获得函数的最简表示式，所以卡诺图在逻辑函数的分析 和设计中，得到了广泛的应用。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简E二二、卡诺图化简法1卡诺图的构成卡诺图是用直角坐标来划分一个逻辑平面，形成棋坪式方 格，每个小方格就相当于输入变量的每一种组合。小格中 所填的逻辑值，即为对应输出函数值。小格的编号就是输 入变量按二进制权重的排序。和真值表不同的是，坐标的 划分应使变量在相邻小格间是按循环码排列的，因而便于 函数在相邻最小项或最大项之间的吸收合并，能一目了然 达到化简的目的课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简匚二、卡诺图化简法1卡诺图的构成卡诺图(Karnaugh Map)实际上是由真值表变换而来的一种方 格图。卡诺图上的每一个小方格代表真值表上的一行，因而也 就代表一个最小项或最大项。真值表有多少行，卡诺图就有多 少个小方格。卡诺图不仅是逻辑函数的描述工具，而且还是逻 辑函数化简的重要工具。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.5 逻辑函数的卡诺图-法化简.口卡诺图化简的基本原理口相邻项：在两个乘积项中，除了其中一个变量分别是 原变量和反变量之外，其它变量都相同时，就称这两 个乘积项在逻辑上具有相邻性，称为相邻项。口化简原理：两个相邻项可以利用吸收法进行合并，合 并时可消去此相异的变量。F=ABC+ABC+ABC+ABC=ABC+C)+AB(C+C)=AB+AB=A(B+B)=A课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础相邻琮口对于一个三变量的乘积项，能和它合并的相邻项只可能有三个。ABC举例：ABC的相邻项有：ABCABC口对个变量的乘积项，则可找到个可与之合并化简的相 邻项。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简E二二、卡诺图化简法1 二变量卡诺图二变量卡诺图的结构如图所示。每个小方格中左上角的数字 表明该小方格所表示的真值表中的行号，行号实际上就是真值 表中自变量取值的等值十进制数，因而也就是它所代表的最小 项或最大项的序号。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简E二二、卡诺图化简法1卡诺图的构成(a)(b)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化商二）二、卡诺图化简法2逻楫函数在卡诺图上的表示如果逻辑函数表达式是“最小项之和”的形式，只要在 卡诺图上找出那些同给定逻辑函数最小项对应的方格，并 标1,剩余方格标0,就得到该函数的卡诺图了。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础1 2.4逻辑函数的化简二）二、卡诺图化简法 例：试画出函数Y=f(A,B,C,D)的卡诺图。Y=Sm(O,1,2,8,11,13,14,15)+Sd(7,10)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简匚二二、卡诺图化简法 当逻辑函数表达式不是标准形式时，可逐项填写卡诺图，其方 法是：对于“与或型”表达式，每个与项中的原变量用1表示,反变量用o表示，在卡诺图上找到对应这些变量取值的小方格 并填入1；对于“或与型”表达式，每个或项中的原变量用o表 示，反变量用1表示，在卡诺图上找到对应这些变量取值的小 方格并填入0。全部的“与项”或“或项”填写完毕后，卡诺 图即填写完毕。其他类型逻辑函数的卡诺图可以类似填写。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.4逻辑函数的化简匚二二、卡诺图化简法例：试画出Y=A5+ABC+看CD+ABED的卡诺图。【例】用卡诺图分别描述下列逻辑函数。Y(A,B,C)=Sm(0,1,2,6)Z(A,B,C)=nM(l,2,4,5)(b)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化商【例】分别将下列逻辑函数填入卡诺图并写出各自的标准表 达式。Y(A,B,C)=AB+CZ(4 民 C)=(N+8兄课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简解(b)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简Y和Z的标准表达式分别为丫(4 5。)=m(l,354,5?7)=ABC+ABC+ABC+ABC二河(0,2,6)=(4+5+C)(A+B+C)(A+B+C)Z(4 B,C)=Z 加(26)=ABC+ABC+ABC二口河(1,3,4,5,7)=A+B+CA+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)3卡诺图上最小项的合并原理AB+AB=A(A+B)(A+B)=A任意两个只有一个变量取值不同的最小项或最大项结合，都可 以消去取值不同的那个变量而合并为一项。而卡诺图上任意两 个在几何位置上相邻或与中心轴对称的小方格代表的最小项或 最大项都只有一个变量取值不同，因此，它们可以结合在一起,消除取值不同的那个变量而合并为一项。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简E二二、卡诺图化简法3卡诺图上最小项的合并卡诺图的坐标是按循环码排列的，所以相邻两小格的输入 变量中，总有一个，也只有一个变量发生变化。所以，若某 相邻两格均填1,则可把这两格圈在一起，相当于两个最小项 相加，按照互补律，便可消去或吸收掉一个变量，形成一个 新的与项，这就是利用卡诺图的相邻特性进行化简的基本原 理。这种化简可以圈1,也可以圈。来实现；不但圈两格，也 可圈四、八及十六格地进行，只要是上下、左右都相邻的就 行。Mt 3卡诺图上最小项的合并(1)2个相邻的最小项(最大项)结合，可以消去1个取值不同 的变量而合并为1项，如图所示；课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简图两个最大项结合课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简(2)4个相邻的最小项(最大项)结合，可以消去2个取值不同的变量而合并为1项，如图所示;图4个最小项结合课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简(2)4个相邻的最小项(最大项)结合，可以消去2个取值不同的 变量而合并为1项，如图所示；图4个最大项结合课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简.3卡诺图上最小项（最大项）的合并 3 一般结论：2n个相邻的最小项（最大项）结合，可以消去n 个取值不同的变量而合并为1项。一个最小项（最大项）可以根据 需要多次使用（因为A=A+A,A=AA o课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简.3卡诺图上最小项(最大项)的合并为了保证在卡诺图上将逻辑函数化简到最简，画卡诺圈时 应该遵循以下原则：(1)从只有一种圈法或最少圈法的项开始。(2)圈要尽可能大，圈的个数要尽可能少。每个圈内必 须是2n个相邻项，且至少有一个最小项(最大项)为本圈所独有。(3)卡诺图上所有的最小项(最大项)均被圈过。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简厂吟卡诺图上化简逻辑函数的步骤1-1/画图：根据给定真值表或逻辑表达式中显示的变量个数，画 出相应的卡诺图。填图：根据给定真值表或逻辑表达式填写卡诺图。为简便 起见，可以只填1或0。(3)画圈：根据前述化简原则，画出所有的卡诺圈。求“最简与 或式”时，圈1;求“最简或与式”时，圈0。(4)读图：无论是圈0还是圈1,各个卡诺圈中取值不同的变量 都将消去，只需读出取值相同的那些变量即可。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.4逻辑函数的花商 一厂吟卡诺图上化简逻辑函数的步骤1-1/如果是圈1,取值为1的变量用原变量表示，取值为0 的变量用反变量表示，取这些变量的乘积，即得该卡诺圈 化简后的“最简积项”；将所有圈的“最简积项”逻辑加,即得“最简与或式”或“最简积之和式”。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简厂吟卡诺图上化简逻辑函数的步骤1-1/如果是圈0,取值为。的变量用原变量表示，取值 为1的变量用反变量表示，取这些变量的和，即得该卡 诺圈化简后的“最简和项”；将所有圈的“最简和项”逻辑乘，即得“最简或与式”或“最简和之积式”。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简一5 5、化简举例1-1/【例】用卡诺图化简逻辑函数F=AB+1C+BC，写出其最简 与或式。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础口卡诺圈中取值“0、”1均存在的变量消去；取值唯一的变量保留：“0为反变量、读图”、技巧“1为原变量。F-ABCD+ABCD=ABDFBCD第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑、读图 技巧01口卡诺圈中取值“0、“1均存在的变量消 去；取值唯一的变量保留：“0为反变量,“1为原变量011000 01111（/）00 01 11 10J11qF=AF=ABC+AB C+ABC+AB C=AB+AB=B00 01 11 10Jr11F=BC(A)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础7读图r 技巧口卡诺圈中取值“0、”1均存在的变量消 去；取值唯一的变量保留：“0为反变量,“1为原变量。、c(z)、000001111011 10011111_dF=B（力0001111000 01 11 10(左)、00 01 11 1000011110F=D11111_jj必须包含（覆盖）函数所有的最小项；按照“从小到大”的次序，先圈孤立的再圈只 能两个组合的，再圈只能四个组合的；圈的圈数要尽可能的少（即乘积项的总数要少）；圈要尽可能的大（使每个乘积项所含有的因子最少），不论是否与其他圈“相重”，也要尽可能地画大。1、包含无关最小项的逻辑函数的化简含有任意项的逻辑函数通常有以下几种表示方法:(1)最小项表达式为F=Sm()+S0()约束条件：X()=0课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 1.什么是“约束”“约束”是用来说明逻辑函数中各逻辑变量之间互相有 一种“制约”关系的一个概念。“约束条件”所含的最小项称为“约束项”，或称为“任意项”、“禁止项”、“无关项”，用“4表示。填入卡诺图时用“X，或符号表示。2.具有“约束”的逻辑函数的化简 对于具有“约束”的逻辑函数，遵循有利原则，充分利 用“约束条件”使表达式大大简化。举例L设输入4、B、C、D是十进制数x的二进制编码，当 於5时，输出F为L求F的最简“与或”表达式。举例2：用卡诺图化简F（力、B、C、D尸 3、4、5、6、9、14、15+/10、12、13 课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础XABcDFXABcDF0000008100011000109100112001001,010X3001101011X4010001100X5010111101X6011011110X701111.1111X F=m 5、6、7、8、9+10、11、12、13、14、15 r F=m 5、6、7、8、9【约束条件为48+/C=0课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.4逻辑函数的化简 一匚 三、化简中有关问题的考虑【例】用卡诺图化简逻辑函数并写出其最简与或式和或与式。F(A,B,C,D)=Sm(0,1,6,9,14,15)+2(2,4,7,8,10,11,12,13)课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础匚 三、化简中有关问题的考虑解F的卡诺图如图所示。最简与或式为p=c+BC课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础2.4逻辑函数的化简）三、化简中有关问题的考虑2、多输出逻辑函数的化简：见书7课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础章节内容安排 一 2.1逻辑代数的基本概念 2.2逻辑代数的公理、定理及规则 2.3逻辑函数表达式的形式与转换 2.4逻辑函数的化简二;2.5本章知识回顾课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.5本章知识叵1,常用形式fi汛 i S HF=AB+AC8十6 f$b丛色F=(X+B)(A+C)KP I fti SF=ABC+ABC+ABC+ABCK61 ti gF=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)。X6睛6丛电F=AB AC、八 八，KE I P Q0 EF=(A+B)+(A+C)、八八 K 11E H H0 E6州F=AB+ACO Q 0 E第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑相互转换方法 2.5本章知识j磔第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑 2.5本章知识1 X0 X60 6 0-d1x d x 6-A A -A d e 6 u x6 u _ x 66 五 m xd力-o?-6 6 Fd d 课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础 2.5本章知识叵本章介绍3种了基本的逻辑运算，即“与”运 算、“或”运算和“非”运算。要求熟练掌握逻辑 代数的基本公式、主要定理和重要规则；学习逻辑 函数表达式的形式与转换，逻辑函数表达式有“积 之和”及“和之积”两种基本形式，有对应的唯一 标准形式（最小项表达式和最大项表达式）；最后 是逻辑代数的卡诺图化简和代数化简。P56习题 2.1-2.2（1、2、3）习题 2.4（1、2、3）习题 2.7-2.8习题2.10习题2.12口最小项：是一个乘积项，在该乘积项中含有逻辑问题的全 部变量，每个变量都以原变量或反变量的形式仅出现一次。两变量A、B逻辑问题的最小项；两变量A、B逻辑问题的最小项；n变量逻辑问题的最小项共有2个。口为叙述和书写方便，通常用“朝表示最小项，并按如下 规则确定下标“i的值：把变量的每一个组合的取值都看 成二进制码，与之相对应的十进制数就是i的值。m2m3m4w5m7对应的十进ABCABCABCABCABCABCABCABCABC制数，0001000000000010100000010100010000020110001,00003100000010004101000001005110000000106111000000017最小项性质：对于任意一个最小项有且仅有一组变量的取值使它等于1;任意两个不同最小项的乘积恒为0;全部最小项的和恒为1。课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础口最小项表达式：一个全以最小项组成的“与-或”式逻辑 函数表达式。举例：F=/A B、C =ABC+ABC+ABC+.4BC=m2+m3+m6+=Z-2、36 7 第2章逻辑代数基础课程：数字逻辑用卡诺图表示逻辑一按真值表填写卡诺图将对应逻辑关系用最举例:小项表达式或真值表 表示；根据变量数画出对应 的卡诺图框；根据最小项表达式或 真值表，按最小项标 号在相应的方格中填 写其余的方格 填写“0。厂 4 B、C =ABC+AB+ABCF=ABC+AB C+C +ABC=ABC+ABC+ABC+ABC 二，冽 2、3、6、7 课程：数字逻辑第2章逻辑代数基础用卡诺图表示逻辑函0一 按真值表填写卡诺图将对应逻辑关系用最举例:小项表达式或真值表 表示；根据变量数画出对应 的卡诺图框；根据最小项表达式或 真值表，按最小项标 号在相应的方格中填 写其余的方格 填写“0。尸 4 B、C =ABC+AB+ABC