初中数学平行四边形复习题及答案.doc

初中数学平行四边形复习题及答案

一、选择题
1．如图，已知正方形的边长为8，点，分别在边、上，．当时，的面积是（ ）．

A．8 B．16 C．24 D．32
2．如图，在正方形ABCD中，CE=MN，∠MCE=35°，那么∠ANM等于（　　）

A．45°
B．50°
C．55°
D．60°
3．如图,矩形ABCD中,AB=5,AD=4,M是边CD上一点,将△ADM沿直线AM对折,得△ANM,连BN,若DM=1,则△ABN的面积是（ ）

A． B． C． D．
4．如图，在正方形中，，是对角线上的动点，以为边作正方形，是的中点，连接，则的最小值为（ ）

A． B． C．2 D．
5．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE平分交BD于点F，且，，连接OE，下列结论：①；②；③．其中正确的有（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为( )

A． B． C． D．
7．如图的△ABC中，AB>AC>BC,且D为BC上一点．现打算在AB上找一点P,在AC上找一点Q,使得△APQ与以P、D、Q为顶点的三角形全等，以下是甲、乙两人的作法：
甲：连接AD,作AD的中垂线分别交AB、AC于P点、Q点，则P、Q两点即为所求；
乙：过D作与AC平行的直线交AB于P点，过D作与AB平行的直线交AC于Q点，则P、Q两点即为所求；对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）

A．两人皆正确 B．两人皆错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误乙正确
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为、、，若=3，=8，则的值为（ ）

A．22 B．24 C．44 D．48
9．如图，点在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为为线段的中点，则的长为（ ）

A． B．
C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．将矩形沿AC折叠，CD′与AB交于点F，则AF：BF的值为（　　）

A．2 B． C． D．
二、填空题
11．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的边CO、OA分别在x轴、y轴上，点E在边BC上，将该矩形沿AE折叠，点B恰好落在边OC上的F处．若OA＝8，CF＝4，则点E的坐标是_____．

12．如图，在矩形中，，，为边的中点，点在线段上运动，是的中点，则的周长的最小值是____________．

13．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A，B两点，“九曲桥”的每一段与AC平行或BD平行，若AB＝100m，∠A＝∠B＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．

14．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为_____．

15．如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝48°，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，则∠DHO＝_____度．

16．菱形ABCD的周长为24，∠ABC=60°，以AB为腰在菱形外作底角为45°的等腰△ABE，连结AC，CE，则△ACE的面积为___________.
17．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上运动，点M为线段AB的中点．点D、E分别在x轴、y轴的负半轴上运动，且DE＝AB＝10．以DE为边在第三象限内作正方形DGFE，则线段MG长度的最大值为_____．

18．如图，在△ABC中，AB＝AC，E，F分别是BC，AC的中点，以AC为斜边作Rt△ADC，若∠CAD＝∠BAC＝45°，则下列结论：①CD∥EF；②EF＝DF；③DE平分∠CDF；④∠DEC＝30°；⑤AB＝CD；其中正确的是_____（填序号）

19．如图，有一张长方形纸片，，．先将长方形纸片折叠，使边落在边上，点落在点处，折痕为；再将沿翻折，与相交于点，则的长为___________．

20．如图所示，已知AB＝ 6，点C，D在线段AB上，AC ＝DB ＝ 1，P是线段CD上的动点，分别以AP，PB为边在线段AB的同侧作等边△AEP和等边△PFB，连接EF，设EF的中点为G，当点P从点C运动到点D时，则点G移动路径的长是_________．

三、解答题
21．如图，在RtABC中，∠B＝90°，AC＝60cm，∠A＝60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/s的速度向点A匀速运动．同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是ts（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
（1）求证：AE＝DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；
（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由．

22．在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点，PF⊥BD于点F，PA＝PF．
（1）试判断四边形AGFP的形状，并说明理由．
（2）若AB＝1，BC＝2，求四边形AGFP的周长．

23．已知正方形ABCD．

（1）点P为正方形ABCD外一点，且点P在AB的左侧，．
①如图（1），若点P在DA的延长线上时，求证：四边形APBC为平行四边形．
②如图（2），若点P在直线AD和BC之间，以AP，AD为邻边作，连结AQ．求∠PAQ的度数．
（2）如图（3），点F在正方形ABCD内且满足BC=CF，连接BF并延长交AD边于点E，过点E作EH⊥AD交CF于点H，若EH=3，FH=1，当时．请直接写出HC的长________．
24．如图，在矩形ABCD中，∠BAD 的平分线交BC于点E，AE=AD，作DF⊥AE于点F．
（1）求证：AB＝AF；
（2）连BF并延长交DE于G．
①EG＝DG；
②若EG＝1，求矩形ABCD的面积．

25．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图，，点为边上一定点，点为边上一动点，以为一边在∠MON的内部作正方形，过点作，垂足为点（在点、之间），交与点，试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图、、中线段、、和的长，他们猜想的周长是长的_____倍．请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图，过点作，垂足为点
则

又四边形正方形，
，
则

在与中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、与长度之间的等量关系为 ．

26．矩形ABCD中，AB=3，BC=4．点E，F在对角线AC上，点M，N分别在边AD，BC上．
（1）如图1，若AE=CF=1，M，N分别是AD，BC的中点．求证：四边形EMFN为矩形．
（2）如图2，若AE=CF=0.5，，且四边形EMFN为矩形，求x的值．

27．已知：在矩形ABCD中，点F为AD中点,点E为AB边上一点，连接CE、EF、CF，EF平分∠AEC．
(1)如图1，求证：CF⊥EF;
(2)如图2，延长CE、DA交于点K, 过点F作FG∥AB交CE于点G若，点H为FG上一点，连接CH,若∠CHG=∠BCE, 求证：CH=FK;
(3)如图3, 过点H作HN⊥CH交AB于点N,若EN=11,FH-GH=1,求GK长.

28．如图，中，，连结，是边上一点，连结交于点．

（1）如图1，连结，若，，求的面积；
（2）如图2，延长至点，连结、，点在上，且，，过作于点．若，求证：．
29．如图，在矩形ABCD中，AD＝nAB，E，F分别在AB，BC上．
（1）若n＝1，AF⊥DE．
①如图1，求证：AE＝BF；
②如图2，点G为CB延长线上一点，DE的延长线交AG于H，若AH＝AD，求证：AE+BG＝AG；
（2）如图3，若E为AB的中点，∠ADE＝∠EDF．则的值是_____________（结果用含n的式子表示）．

30．如图①，在中，，过上一点作交于点，以为顶点，为一边，作，另一边交于点．

（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）当点为中点时，的形状为 ；
（3）延长图①中的到点使连接得到图②，若判断四边形的形状，并说明理由．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D
解析：D
【分析】
如图：△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，可得AH=AF，∠BAH=∠DAF，进一步求出∠EAH=∠EAF=45°，再利用"边角边"证明△AEF和△AEH全等，再根据全等三角形的面积相等，即可解答.
【详解】

解：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得到△ABH，
根据旋转的性质可得：AH=AF，∠BAH=∠DAF，
∵∠EAF=45°，∠BAD=90°
∴∠EAH=∠EAF=45°
在△AEF和△AEH中
AF=Aн∠EAH=∠EAF=45°，AE=AE
∴△AEF≌△AEH（SAS），
∴EH=EF=8，
∴SAFE=S△AEH=-×8×8=32.
故选：D.
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.
2．C
解析：C
【分析】
过B作BF∥MN交AD于F，则∠AFB＝∠ANM，根据正方形的性质得出∠A＝∠EBC＝90°，AB＝BC，AD∥BC，推出四边形BFNM是平行四边形，得出BF＝MN＝CE，证Rt△ABF≌Rt△BCE，推出∠AFB＝∠ECB即可．
【详解】
解：

过B作BF∥MN交AD于F，
则∠AFB＝∠ANM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠EBC＝90°，AB＝BC，AD∥BC，
∴FN∥BM，BF∥MN，
∴四边形BFNM是平行四边形，
∴BF＝MN，
∵CE＝MN，
∴CE＝BF，
在Rt△ABF和Rt△BCE中

∴Rt△ABF≌Rt△BCE（HL），
∴∠ABF＝∠MCE＝35°，
∴∠ANM＝∠AFB＝55°，
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形全等的判定即性质，还涉及正方形的性质以及平行四边形的判定与性质，构造全等三角形是解题关键.
3．D
解析：D
【解析】
【分析】
延长MN交AB延长线于点Q，由矩形的性质得出∠DMA=∠MAQ，由折叠性质得出∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，得出∠MAQ=∠AMQ，证出MQ=AQ，设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，证出∠ANQ=90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得出方程，解方程求出NQ=7.5，AQ=8.5，即可求出△ABN的面积．
【详解】
解：延长MN交AB延长线于点Q，

∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥DC，
∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得：△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=4，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，
∴MQ=AQ，
设NQ=x，则AQ=MQ=1+x，
∵∠ANM=90°，
∴∠ANQ=90°，
在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2=AN2+NQ2，
∴（x+1）2=42+x2，
解得：x=7.5，
∴NQ=7.5，AQ=8.5，
∵AB=5，AQ=8.5，
∴S△NAB=S△NAQ=×AN•NQ=××4×7.5= ；
故选：D．
【点睛】
本题考查折叠的性质勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，再根据正方形及勾股定理求出OE，即可得到GH的长．
【详解】
取AD中点O，连接OE，得到△ODE≌△HDG，得到OE=HG,当OE⊥AC时，OE有最小值，此时△AOE是等腰直角三角形，OE=AE，
∵AD=AB=4,
∴AO=AB=2
在Rt△AOE中，由勾股定理可得OE2+AE2=AO2=4,即2OE2=4
解得OE=
∴GH的最小值为
故选A．

【点睛】
本题考查了正方形的性质,根据题意确定E点的位置是解题关键．
5．C
解析：C
【分析】
由四边形ABCD是平行四边形，得到∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD=120°，根据角平分线的定义得到∠DCE=∠BCE=60°推出△CBE是等边三角形，证得∠ACB=90°，求出∠ACD=∠CAB=30°，故①正确；由AC⊥BC，得到S▱ABCD=AC•BC，故②正确，根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=BC，于是得到OE：AC=∶6；故③错误；
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
，
∵CE平分交AB于点E，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
在中，，，
∴．
，，
∴，
，故③错误．
故选：C．
【点睛】
此题考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质以及等边三角形的判定与性质．注意证得△BCE是等边三角形，OE是△ABC的中位线是关键．
6．D
解析：D
【分析】
先说明ABD=∠ADC=∠CBD，然后再利用三角形内角和180°求出即可∠CBD度数，最后再用直角三角形的内角和定理解答即可.
【详解】
解：∵菱形ABCD
∴AB=AD
∴∠ABD=∠ADC
∴∠ABD=∠CBD
又∵
∴∠CBD=∠BDC=∠ABD=∠ADB=(180°-134°)=23°
∴=90°-23°=67°
故答案为D.
【点睛】
本题主要考查了菱形的性质，解题的关键是掌握菱形的对角线平分每一组对角和三角形内角和定理.
7．A
解析：A
【分析】
如图1，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PD，QA=QD，则根据"SSS"可判断APQ≌DPQ，则可对甲进行判断；如图2，根据平行四边形的判定方法先证明四边形APDQ为平行四边形，则根据平行四边形的性质得到PA=DQ，PD=AQ， 则根据"SSS"可判断△APQ≌△DQP,则可对乙进行判断.
【详解】
解：如图1，
∵PQ垂直平分AD，
∴PA= PD,，QA= QD，
∵PQ= PQ，
∴△APQ≌△DPQ (SSS)， 所以甲正确；
如图2，∵PD ∥AQ，DQ ∥AP，
∴四边形APDQ为平行四达形，
∴PA=DQ,，PD=AQ，
∵PQ=QP，
∴△APQ≌△DQP (SSS)，所以乙正确；
故选：A.

【点睛】
本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作，也考查了线段垂直平分线的性质、平行四边形的判定与性质和三角形全等的判定.
8．C
解析：C
【分析】
根据已知条件得到AB＝，CD＝，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝，于是得到结论．
【详解】
∵S1＝3，S3＝8
∴AB＝，CD＝
过A作AE∥CD交BC于E

则∠AEB＝∠DCB
∵AD∥BC
∴四边形AECD是平行四边形
∴CE＝AD，AE＝CD＝
∵∠ABC+∠DCB＝90°
∴∠AEB+∠ABC＝90°
∴∠BAE＝90°
∴BE＝
∵BC＝2AD
∴BC＝2BE＝
∴S2＝
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
连接BD、BF，由正方形的性质可得：∠CBD=∠FBG=45°，∠DBF=90°，再应用勾股定理求BD、BF和DF，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH．
【详解】
如图，连接BD、BF，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=AD=2，BE=EF=3，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，
∴∠DBF=90°，BD=2，BF=3，
∴在Rt△BDF中，DF==，
∵H为线段DF的中点，
∴BH=DF=.
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．
10．B
解析：B
【分析】
由折叠的性质可得∠DCA＝∠ACF，由平行线的性质可得∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，可得FA＝FC，设BF＝x，在Rt△BCF中，根据CF2＝BC2+BF2，可得方程（8﹣x）2＝x2+42，可求BF＝3，AF＝5，即可求解．
【详解】
解：设BF＝x，
∵将矩形沿AC折叠，
∴∠DCA＝∠ACF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴CD∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝∠ACF，
∴FA＝FC＝8﹣x，
在Rt△BCF中，∵CF2＝BC2+BF2，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
∴x＝3，
∴BF＝3，
∴AF＝5，
∴AF：BF的值为，
故选：B．
【点睛】
本题考查矩形的性质、翻折变换、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
二、填空题

11．(-10，3)
【解析】
试题分析：根据题意可知△CEF∽△OFA，可根据相似三角形的性质对应边成比例，可求得OF=2CE，设CE=x，则BE=8-x，然后根据折叠的性质，可得EF=8-x，根据勾股定理可得，解得x=3，则OF=6，所以OC=10，由此可得点E的坐标为（-10，3）.
故答案为：（-10，3）
12．
【分析】
由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=PD，得到C△CEF=CE+CF+EF=CE+（CP+PD）=（CD+PC+PD）=C△CDP，当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于P，进而分析即可得到结论．
【详解】
解：∵E为CD中点，F为CP中点，
∴EF=PD，
∴C△CEF=CE+CF+EF=CE+（CP+PD）=（CD+PC+PD）=C△CDP
∴当△CDP的周长最小时，△CEF的周长最小；
即PC+PD的值最小时，△CEF的周长最小；
如图，作D关于AB的对称点T，连接CT，则PD=PT，

∵AD=AT=BC=2，CD=4，∠CDT=90°，
∴，
∵△CDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC，
∵PT+PC≥CT，
∴PT+PC≥，
∴PT+PC的最小值为4，
∴△PDC的最小值为4+，
∴C△CEF=C△CDP=．
故答案为：．
【点睛】
本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题．
13．200m
【分析】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M，则四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形，△ABC是等边三角形，由此即可解决问题．
【详解】
如图，延长AC、BD交于点E，延长HK交AE于F，延长NJ交FH于M

由题意可知，四边形EDHF，四边形MNCF，四边形MKGJ是平行四边形
∵∠A＝∠B＝60°
∴
∴△ABC是等边三角形
∴ED＝FM+MK+KH＝CN+JG+HK，EC＝EF+FC＝JN+KG+DH
∴“九曲桥”的总长度是AE+EB＝2AB＝200m
故答案为：200m．
【点睛】
本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．
14．4
【分析】
根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF＝AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．
【详解】
解：连接AP，
∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
即∠BAC＝90°．
又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，
∴四边形AEPF是矩形，
∴EF＝AP，
∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，
设斜边上的高为h，
则S△ABC=
∴
∴h=2.4，
∴EF的最小值为2.4，
故答案为：2.4．

【点睛】
本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．
15．24
【分析】
由菱形的性质可得OD＝OB，∠COD＝90°，由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可得OH＝BD＝OB，可得∠OHB＝∠OBH，由余角的性质可得∠DHO＝∠DCO，即可求解．
【详解】
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°，∠DAB＝∠DCB＝48°，
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH，
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC+∠DCO＝90°，
在Rt△DHB中，∠DHO+∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO＝∠DCB＝24°，
故答案为：24．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断出OH是BD的一半，和∠DHO＝∠DCO是解决本题的关键．
16．9或．
【分析】
分两种情况画图，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理矩形计算即可．
【详解】
解：①如图1，延长EA交DC于点F，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AB=BC=6，
∵∠ABC=60°，
∴三角形ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
当EA⊥BA时，△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB=AC=6，∠EAC=90°+60°=150°，
∴∠FAC=30°，
∵∠ACD=60°，
∴∠AFC=90°，
∴CF=AC=3，
则△ACE的面积为：AE×CF=×6×3=9；

②如图2，过点A作AF⊥EC于点F，
由①可知：∠EBC=∠EBA+∠ABC=90°+60°=150°，
∵AB=BE=BC=6，
∴∠BEC=∠BCE=15°，
∴∠AEF=45°-15°=30°，∠ACE=60°-15°=45°，
∴AF=AE，AF=CF=AC=，
∵AB=BE=6，
∴AE=，
∴EF=，
∴EC=EF+FC=
则△ACE的面积为：EC×AF=．
故答案为：9或．
【点睛】
本题考查了菱形的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
17．10+5
【分析】
取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．
【详解】
如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．

∵∠AOB＝90°，
∴OM＝AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG的大小为定值，只要∠DON＝∠DNG，且M、N关于点O中心对称时，M、O、N、G四点共线，此时等号成立，

∴线段MG取最大值10+5．
故答案为：10+5．
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M、O、N、G四点共线，则线段MG长度的最大是解题关键．
18．①②③⑤
【分析】
根据三角形中位线定理得到EF＝AB，EF∥AB，根据直角三角形的性质得到DF＝AC，根据三角形内角和定理、勾股定理计算即可判断．
【详解】
∵E，F分别是BC，AC的中点，
∴EF＝AB，EF∥AB，
∵∠ADC＝90°，∠CAD＝45°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠BAC＝∠ACD，
∴AB∥CD，
∴EF∥CD，故①正确；
∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，
∴DF＝CF=AC，
∵AB=AC，EF＝AB，
∴EF＝DF，故②正确；
∵∠CAD=∠ACD=45°，点F是AC中点，
∴△ACD是等腰直角三角形，DF⊥AC，∠FDC=45°，
∴∠DFC=90°，
∵EF//AB，
∴∠EFC=∠BAC=45°，∠FEC=∠B=67.5°，
∴∠EFD=∠EFC+∠DFC=135°，
∴∠FED＝∠FDE＝22.5°，
∵∠FDC＝45°，
∴∠CDE=∠FDC-∠FDE=22.5°，
∴∠FDE=∠CDE，
∴DE平分∠FDC，故③正确；
∵AB＝AC，∠CAB＝45°，
∴∠B＝∠ACB＝67.5°，
∴∠DEC＝∠FEC﹣∠FED＝45°，故④错误；
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴AC2=2CD2，
∴AC=CD，
∵AB=AC，
∴AB＝CD，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
【点睛】
本题考查的是三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质，勾股定理等知识．掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
19．
【解析】
【分析】
根据折叠的性质可得∠DAF=∠BAF=45°，再由矩形性质可得FC=ED=1，然后由勾股定理求出FG即可．
【详解】
由折叠的性质可知，∠DAF=∠BAF=45°，
∴AE=AD=3，EB=AB-AD=1，
∵四边形EFCB为矩形，
∴FC=BE=1，
∵AB∥FC，
∴∠GFC=∠DAF=45°，
∴GC=FC=1，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了折叠变换，矩形的性质是一种对称变换，理解折叠前后图形的大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解决此题的关键．
20．2
【分析】
分别延长AE，BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出点G为PH的中点，则G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，再求出CD的长度，运用中位线的性质求出MN的长度即可．
【详解】
解：如图，分别延长AE，BF交于点H，
∵∠A=∠FPB=60°，
∴AH∥PF，
∵∠B=∠EPA=60°，
∴BH∥PE
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分，
∵点G为EF的中点，
∴点G为PH的中点，即在P运动的过程中，G始终为PH的中点，
∴G的运动轨迹为△HCD的中位线MN，
∵CD=6-1-1=4，
∴MN==2，
∴点G移动路径的长是2，
故答案为：2．

【点睛】
本题考查了等边三角形及中位线的性质，以及动点的问题，是中考热点，解题的关键是得出G的运动轨迹为△HCD的中位线MN．
三、解答题

21．（1）证明见解析；（2）能，10；（3），理由见解析；
【分析】
（1）利用题中所给的关系式，列出CD，DF，AE的式子，即可证明．
（2）由题意知，四边形AEFD是平行四边形，令AD=DF，求解即可得出t值．
（3）由题意可知，当DE∥BC时，△DEF为直角三角形，利用AD+CD=AC的等量关系，代入式子求值即可．
【详解】
（1）由题意知：三角形CFD是直角三角形
∵∠B＝90°，∠A＝60°
∴∠C=30°，CD=2DF，
又∵由题意知CD=4t，AE=2t，
∴CD=2AE
∴AE=DF．
（2）能，理由如下；
由（1）知AE=DF
又∵DF⊥BC，∠B＝90°
∴AE∥DF
∴四边形AEFD是平行四边形．
当AD=DF时，平行四边形AEFD是菱形
∵AC＝60cm，DF=CD，CD=4t，
∴AD=60-4t，DF=2t，
∴60-4t=2t
∴t=10．
（3）当t为时，△DEF为直角三角形，理由如下；
由题意知：四边形AEFD是平行四边形，DF⊥BC，AE∥DF，
∴当DE∥BC时，DF⊥DE
∴∠FDE=∠DEA=90°
在△AED中，
∵∠DEA=90°，∠A＝60°，AE=2t
∴AD=4t，
又∵AC＝60cm，CD=4t，
∴AD+CD=AC，8t=60，
∴t=．
即t=时，∠FDE=∠DEA=90°，△DEF为直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了三角形、平行四边形及菱形的性质，正确掌握三角形、平行四边形及菱形的性质是解题的关键．
22．（1）四边形AGFP是菱形，理由见解析；（2）四边形AGFP的周长为：
【分析】
（1）根据矩形的性质和菱形的判定解答即可；
（2）根据全等三角形的判定和性质，以及利用勾股定理解答即可．
【详解】
解：（1）四边形AGFP是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAP＝90°，
∵PF⊥BD，PA＝PF，
∴∠PBA＝∠PBF，
∵AE⊥BD，
∴∠PBF+∠BGE＝90°，
∵∠BAP＝90°，
∴∠PBA+∠APB＝90°，
∴∠APB＝∠BGE，
∵∠AGP＝∠BGE，
∴∠APB＝∠AGP，
∴AP＝AG，
∵PA＝PF，
∴AG＝PF，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴AE∥PF，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∵PA＝PF，
∴平行四边形AGFP是菱形；
（2）在Rt△ABP和Rt△FBP中，
∵PB＝PB，PA＝PF，
∴Rt△ABP≌Rt△FBP（HL），
∴AB＝FB＝1，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝2，
∴BD＝，
设PA＝x，则PF＝x，PD＝2﹣x，PF＝﹣1，
在Rt△DPF中，DF2+PF2＝PD2，
∴
解得：x＝，
∴四边形AGFP的周长为：4x＝4×．
【点睛】
此题考查矩形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质和勾股定理，解题的关键是熟练掌握所学的知识定理进行解题．
23．（1）①证明见详解；②，见解析；（2）5．
【分析】
（1）①只要证明即可解决问题；②如图2中，连接QC，作交QC的延长线于T，利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）如图3中，延长EH交BC于点G，设AE=x，由题意易得AB=BC=CF=EG=3x，然后可得CG=2x，HG=3x-3，CH=3x-1，利用勾股定理求解即可．
【详解】
（1）①证明：
四边形ABCD是正方形，，，
，，
四边形APBC是平行四边形；
②
四边形PADQ是平行四边形，，
，，四边形PQCB是平行四边形，
，，，
DQ=DT，，
AD=DC，，，
，；
（3）CH=5，理由如下：

如图3所示：延长EH交BC于点G；
四边形ABCD是正方形，AB=BC，，
又EH=3，FH=1，EH⊥AD，，
设AE=x，，AB=BC=CF=EG=3x，
CG=2x，HG=3x-3，CH=3x-1
在中，，解得
当x=1时，AB=3(不符合题意，舍去)；
当x=2时，AB=6，CH=5．
故答案为5．
【点睛】
本题主要考查正方形的综合问题、三角形全等及勾股定理，关键是利用已知条件及四边形的性质得到它们之间的联系，然后利用勾股定理求解线段的长即可．
24．（1）见解析；（2）①见解析；②2+2
【分析】
（1）根据矩形的性质，结合角平分线的定义可证明△ABE≌△AFD（AAS），进而证得结论；
（2）①通过求解∴∠EFG=∠AED=67.5°，∠DFG=∠FDG=22.5°，进而可得EG=FG=DG；
②AB=x，则AE=x，DF=AF=x，EF=x-x，利用勾股定理可求解x值，再根据矩形ABCD的面积=△AED面积的2倍可求解．
【详解】
解：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠DAB=∠ABE=90°，
∴∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE=45°，
∴∠BAE=∠AEB=45°，
∴AB=EB，
∵DF⊥AC
∴∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD=90°，
∵AE=AD，
∴△ABE≌△AFD（AAS），
∴AB=AF；
（2）①证明：∵AE=AD，∠EAD=45°，
∴∠AED=∠ADE=67.5°，
∴∠FDG=22.5°，
∵AB=AF，∠BAF=45°，
∴∠AFB=67.5°，
∴∠EFG=67.5°，
∴∠EFG=∠AED，
∴FG=EG，∠DFG=22.5°，
∴∠DFG=∠FDG，
∴FG=DG，
∴EG=DG；
②∵EG=1，
∴DG=2，
设AB=x，则AE=x，DF=AF=x，
∴EF=x-x，
∴（x-x）2+x2=22，
解得x2=2+，
∴矩形ABCD的面积=2××AE×DF＝x2＝×(2+)=2+2．
【点睛】
本题主要考查勾股定理，矩形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，灵活运用定理是解题的关键．
25．（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA．
【分析】
（1）通过测量可得；
（2）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，由线段的和差关系可得结论；
（3）过点C作CG⊥ON，垂足为点G，由AAS可证△ABO≌△BCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证△ABE≌△CBE，可得AE=CE，可得结论．
【详解】
解：（1）△AEF的周长是OA长的2倍，
故答案为：2；
（2）如图4，过点C作CG⊥ON，垂足为点G，

则∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，
则∠CBG+∠ABO=90°，
∴∠GCB=∠ABO，
在△BCG与△ABO中，
，
∴△BCG≌△ABO（AAS），
∴BG=AO，CG=BO，
∵∠AOB=90°=∠CGB=∠CFO，
∴四边形CGOF是矩形，
∴CF=GO，CG=OF=OB，
在△ABE和△CBE中，
，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴AE=CE，
∴△AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO；
（3）如图5，过点C作CG⊥ON于点G，

则∠CGB=90°，
∴∠GCB+∠CBG=90°，
又∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=90°，∠DBC=∠DBA=45°，
则∠CBG+∠ABO=90°，
∴∠GCB=∠ABO，
在△BCG与△ABO中
，
∴△BCG≌△ABO（AAS