初中数学平行四边形练习题及答案.doc

练习1

一、选择题（3′×10=30′）
1．下列性质中，平行四边形具有而非平行四边形不具有的是（ ）．
A．内角和为360° B．外角和为360° C．不确定性 D．对角相等
2．ABCD中，∠A=55°，则∠B、∠C的度数分别是（ ）．
A．135°，55° B．55°，135° C．125°，55° D．55°，125°
3．下列正确结论的个数是（ ）．
①平行四边形内角和为360°；②平行四边形对角线相等；
③平行四边形对角线互相平分；④平行四边形邻角互补．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．平行四边形中一边的长为10cm，那么它的两条对角线的长度可能是（ ）．
A．4cm和6cm B．20cm和30cm C．6cm和8cm D．8cm和12cm
5．在ABCD中，AB+BC=11cm，∠B=30°，SABCD=15cm2，则AB与BC的值可能是（ ）．
A．5cm和6cm B．4cm和7cm C．3cm和8cm D．2cm和9cm
6．在下列定理中，没有逆定理的是（ ）．
A．有斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
B．直角三角形两个锐角互余;
C．全等三角形对应角相等;
D．角平分线上的点到这个角两边的距离相等.
7．下列说法中正确的是（ ）．
A．每个命题都有逆命题 B．每个定理都有逆定理
C．真命题的逆命题是真命题 D．假命题的逆命题是假命题
8．一个三角形三个内角之比为1：2：1，其相对应三边之比为（ ）．
A．1：2：1 B．1：：1 C．1：4：1 D．12：1：2
9．一个三角形的三条中位线把这个三角形分成面积相等的三角形有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
10．如图所示，在△ABC中，M是BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，则MN的长为（ ）．
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5

二、填空题（3′×10=30′）
11．用14cm长的一根铁丝围成一个平行四边形，短边与长边的比为3：4，短边的比为________，长边的比为________．
12．已知平行四边形的周长为20cm，一条对角线把它分成两个三角形，周长都是18cm，则这条对角线长是_________cm．
13．在ABCD中，AB的垂直平分线EF经过点D，在AB上的垂足为E，若ABCD的周长为38cm，△ABD的周长比ABCD的周长少10cm，则ABCD的一组邻边长分别为______．
14．在ABCD中，E是BC边上一点，且AB=BE，又AE的延长线交DC的延长线于点F．若∠F=65°，则ABCD的各内角度数分别为_________．
15．平行四边形两邻边的长分别为20cm，16cm，两条长边的距离是8cm，则两条短边的距离是_____cm．
16．如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的______和_______，那么这两个命题是互为逆命题．
17．命题“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是_________．
18．在直角三角形中，已知两边的长分别是4和3，则第三边的长是________．
19．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为________，斜边被高分成两部分的长分别是__________．
20．△ABC的两边分别为5，12，另一边c为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为________，此三角形为________三角形．

三、解答题（6′×10=60′）
21．如右图所示，在ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，若∠A=60°，AF=3cm，CE=2cm，求ABCD的周长．

22．如图所示，在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.
求证：（1）AE=CF；（2）AE∥CF．

23．如图所示，ABCD的周长是10+6，AB的长是5，DE⊥AB于E，DF⊥CB交CB的延长线于点F，DE的长是3，求（1）∠C的大小；（2）DF的长．

24．如图所示，ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是∠DAB、∠ABC、∠BCD、∠CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，在不添加其它条件的情况下，试写出一个由上述条件推出的结论，并给出证明过程（要求：推理过程中要用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件）．

25．已知△ABC的三边分别为a，b，c，a=n2-16，b=8n，c=n2+16（n>4）.
求证：∠C=90°．

26．如图所示，在△ABC中，AC=8，BC=6，在△ABE中，DE⊥AB于D，DE=12，S△ABE=60，求∠C的度数．

27．已知三角形三条中位线的比为3：5：6，三角形的周长是112cm，求三条中位线的长．

28．如图所示，已知AB=CD，AN=ND，BM=CM，求证：∠1=∠2．

29．如图所示，△ABC的顶点A在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，CD⊥MN于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2）当△ABC继续旋转，使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？

30．如图所示，E是ABCD的边AB延长线上一点，DE交BC于F，求证：S△ABF =S△EFC．

答案:
一、1．D 2．C 3．C 4．B 5．A 6．C 7．A 8．B 9．C 10．C
二、11．3cm 4cm 12．8 13．9cm和10cm 14．50°，130°，50°，130°  
15．10 16．结论 题设 17．同旁内角互补，两直线平行
18．5或 19． 20．13 直角
三、21．ABCD的周长为20cm 22．略
23．（1）∠C=45° （2）DF= 24．略
25．略 26．∠C=90° 27．三条中位线的长为：12cm；20cm；24cm
28．提示：连结BD，取BD的中点G，连结MG，NG
29．（1）略 （2）结论仍成立．提示：过F作FG⊥MN于G 30．略

练习2

一、填空题(每空2分,共28分)
1.已知在ABCD 中,AB=14,BC=16,则此平行四边形的周长为 .
A
B
C
D
O
2.要说明一个四边形是菱形,可以先说明这个四边形是 形,再说明 (只需填写一种方法)
3.如图,正方形ABCD的对线AC、BD相交于点O.
那么图中共有 个等腰直角三角形.
4.把“直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形”填入
下列相应的空格上.
(1)正方形可以由两个能够完全重合的 拼合而成; (第3题)
(2)菱形可以由两个能够完全重合的 拼合而成;
(3)矩形可以由两个能够完全重合的 拼合而成.
5.矩形的两条对角线的夹角为,较短的边长为12,则对角线长为 .
6.若直角梯形被一条对角线分成两个等腰直角三角形,那么这个梯形中除两个直角外,其余两个内角的度数分别为 和 .
7.平行四边形的周长为24,相邻两边长的比为3:1,那么这个平行四边形较短的边长为
.
8.根据图中所给的尺寸和比例,可知这个“十”字标志的周长为 .
A
B
C
D
O

1
1

(第8题) (第10题)
9.已知平行四边形的两条对角线互相垂直且长分别为12和6,那么这个平行四边形
的面积为 .
10.如图,是四边形ABCD的对称轴,如果AD∥BC,有下列结论: (1)AB∥CD;(2)AB=CD;(3)ABBC;(4)AO=OC.其中正确的结论是 .
(把你认为正确的结论的序号都填上)
二、选择题(每题3分,共24分)
11. 如果一个多边形的内角和等于一个三角形的外角和，那么这个多边形是（ ）
A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形
12.下列说法中,错误的是 ( )
A.平行四边形的对角线互相平分 B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C. 平行四边形的对角相等 D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形
13.给出四个特征(1)两条对角线相等;(2)任一组对角互补;(3)任一组邻角互补;(4)是轴对称图形但不是中心对称图形,其中属于矩形和等腰梯形共同具有的特征的共有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
14. 四边形ABCD中，AD//BC，那么 的值可能是（ ）
A、3：5：6：4 B、3：4：5：6 C、4：5：6：3 D、6：5：3：4
15.如图,直线∥,A是直线上的一个定点,线段BC在直线上移动,那么在移动过程中的面积 ( )

A.变大 B.变小 C.不变 D.无法确定

A
B
C

(第15题) (第16题) (第17题)
16.如图,矩形ABCD沿着AE折叠,使D点落在BC边上的F点处,如果,则 等于 ( )
A. B. C. D.
17.如图,在中,AB=AC=5,D是BC上的点,DE∥AB交AC于点E,DF∥AC交AB于点F,
那么四边形AFDE的周长是 ( )
A.5 B.10 C.15 D.20
18.已知四边形ABCD中,AC交BD于点O,如果只给条件“AB∥CD”,那么还不能判定四形
ABCD为平行四边形,给出以下四种说法:
(1)如果再加上条件“BC=AD”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(2)如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(3)如果再加上条件“AO=OC”,那么四边形ABCD一定是平行四边形;
(4)如果再加上条件“”,那么四边形ABCD一定是平行四边形
其中正确的说法是( )

A.(1)(2) B.(1)(3)(4) C.(2)(3) D.(2)(3)(4)
ABCD
三、解答题(第19题8分,第20~23题每题10分,共48分)
19.如图, 中,DB=CD,,AE⊥BD于E.
试求的度数.

(第19题)

ABCD

20.如图, 中,G是CD上一点,BG交AD延长线于E,AF=CG,.
(1)试说明DF=BG; (2)试求的度数.

(第20题)

21.工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行:
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料(如图①),使AB=CD,EF=GH;
(2)摆放成如图②的四边形,则这时窗框的形状是 形,根据的数学道理是:
;
(3)将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③),调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④),说明窗框合格,这时窗框是 形,根据的数学道理是:

.

(图①) (图②) (图③) (图④)
(第21题)

A
B
C
D
22.李大伯家有一口如图所示的四边形的池塘,在它的四个角上均有一棵大柳树,李大伯开挖池塘,使池塘面积扩大一倍,又想保持柳树不动,如果要求新池塘成平行四边形的形状.请问李大伯愿望能否实现?若能,请画出你的设计;若不能,请说明理由.

(第22题)

答案
1.60. 2.平行四边形;有一组邻边相等.
3.8. 提示:它们是
4.(1)等腰直角三角形; (2)等腰三角形; (3)直角三角形. 5.24. 6. 135; 45. 7.3.
8.4. 提示:如图所示,将“十”字标志的某些边
进行平移后可得到一个边长为1的正方
形,所以它的周长为4.
(第8题)
9. 36. 提示:菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半.
10. (1)(2)(4). 提示:四边形ABCD是菱形.
11.B. 12.D. 13.C. 14.C.
15.C. 提示:因为的底边BC的长不变,BC边上的高等于直线之间的距离也不变,所以的面积不变.
16.A. 提示:由于 .
17.B. 提示:先说明DF=BF,DE=CE,所以四边形AFDE的周长=AF+DF+DE+AE=AF+BF+CE+AE=AB+AC.
18.C.
19.因为BD=CD,所以又因为四边形ABCD是平行四边形,所以AD∥BC ,所以因为.
20.(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB=DC,又AF=CG,所以AB－AF=DC－CG,即GD=BF,又 DG∥BF,所以四边形DFBG是平行四边形,所以DF=BG;
(2)因为四边形DFBG是平行四边形,所以DF∥GB,所以,同理可得,所以.
21.(1)平行四边,两组对边分别相等的四边形是平行四边形;
(2)矩,有一个是直角的平行四边形是矩形.
22.如图所示,连结对角线AC、BD,过A、B、C、D分别作BD、AC、BD、AC的平行线,且这些
平行线两两相交于E、F、G、H,四边形EFGH即为符合条件的平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H

练习3

1、把正方形绕着点，按顺时针方向旋转得到正方形，边与交于点（如图）．试问线段与线段相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
D
C
A
B
G
H
F
E

2、四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG．（1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．

3、将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到D′ 处，折痕为EF．
A
B
C
D
E
F
D′
（1）求证：△ABE≌△AD′F；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．

挑战自我：
1、 (2010年眉山市)．如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°

2、（2010福建龙岩中考）下列图形中，单独选用一种图形不能进行平面镶嵌的图形是（ ）
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
3．（2010年北京顺义）若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
4、（2010年福建福州中考）如图4，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为 。
5、（2010年宁德市）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

第5题图
F
A E B
C
D
6题
6、 (2010年滨州)如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为
A
B
C
D
7、 (2010年福建晋江)如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）关系：①∥，②，③，④．
已知：在四边形中，　　　　　，　　　　；求证：四边形是平行四边形．

D
A
B
C
8、（2010年宁波市）如图1，有一张菱形纸片ABCD，，。
（1）请沿着AC剪一刀，把它分成两部分，把剪开的两部分拼成一个平行四
边形，在图2中用实数画出你所拼成的平行四边形;若沿着BD剪开，
请在图3中用实线画出拼成的平行四边形;并直接写出这两个平行四边
形的周长。
（图1）
（2）沿着一条直线剪开，拼成与上述两种都不全等的平行四边形，请在图4
中用实线画出拼成的平行四边形。（注：上述所画的平行四边形都不能与原菱形全等）
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C

（图4）
（图3）
（图2）

周长为__________ 周长为__________
9、（2007天津市）在梯形ABCD中，AD//BC，对角线AC⊥BD，且，BD=12c m，求梯形中位线的长。

10、（2007·山东）如图，在周长为20cm的□ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（　　） (A)4cm (B)6cm (C)8cm (D)10cm
11题

10题
11、（2006·山东）如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠EAF=45o，且AE+AF=，则平行四边形ABCD的周长是 ．
直击中考：
1. （2011安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）【答案】D
A．7 B．9 C．10 D．11

2. （2011山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：CF＝（ ）
A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．2：5 【答案】A

3. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为( ) 【答案】C
……
图① 图② 图③ 图④
A．55 B．42 C．41 D．29

4. （2011宁波市）一个多边形的内角和是720°，这个多边形的边数是（ ）【答案】C
A． 4 B． 5 C． 6 D． 7

5. （2011广东汕头）正八边形的每个内角为（ ）【答案】Ｂ
A．120° B．135° C．140° D．144°

6、（2011山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是（ ）【答案】C
图1
图2
图3
……

（A） （B） （C） （D）
7. （2011山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（ ）【答案】B
A.17 B.17 C.18 D.19

8. （2011山东泰安）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为（ ）【答案】A
A.2 B. C. D.6

9. （2011四川重庆）如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF．下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝GC；③AG∥CF；④S△FGC＝3．其中正确结论的个数是( ) 【答案】C
A．1 B．2 C．3 D．4

10. （2011浙江省嘉兴）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（　 　）【答案】A
（A）48cm （B）36cm（C）24cm （D）18cm
（第10题）
①
②
③
④
⑤

11. （ 2011重庆江津）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有( ) 【答案】C
①四边形A2B2C2D2是矩形; ②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长; ④四边形AnBnCnDn的面积是
A.①② B.②③ C.②③④ D.①②③④
…
A1
A
A2
A3
B
B1
B2
B3
C
C2
C1
C3
D
D2
D1
D3

12. （2011湖北武汉市）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：（ ） 【答案】D
 ①△AED≌△DFB；  ②S四边形 BCDG=  CG2；③若AF=2DF，则BG=6GF．其中正确的结论
A．只有①②． B．只有①③．C．只有②③． D．①②③．
A
B
C
D
E
F
G
H
第12题图

13. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 【答案】2

14. (2011浙江绍兴) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为 . 【答案】

15. （2011甘肃兰州）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为 。【答案】
……

16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，……，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 的代数式表示为 ．【答案】．

17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形中，．连结对角线，以为边作第二个菱形，使 ；连结，再以为边作第三个菱形，使 ；……，按此规律所作的第个菱形的边长为 ．【答案】

18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大． 【答案】2;

19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG．
求证：GF∥HE．
H
A

C
B
D
O
E
G
F

【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC，
由已知：AF=CE AF－OA=CE－OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH
∴四边形EGFH是平行四边形 ∴GF∥HE

20、（2011四川成都10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.
(1)若BK=KC，求的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD ()，而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．

【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=KC，∴==.

（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点，
∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG；
∵∠ABE=∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.

当AE=AD ()时，（）AB=BC+CD.
21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．
⑴说明四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
第25题图

【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC
∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA
∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ．
（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ．
理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE
又∵AE=CE，∴CE=，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形．
22、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
（第24题图）

【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时，
四边形AECF是矩形………………2分
证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，………………3分
又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ………………5分
同理，FO=CO………………6分
∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形………………7分
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ………………8分
又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°………………9分
∴四边形AECF是矩形………………10分
23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.
（1）求证：∠ADP＝∠EPB；
（2）求∠CBE的度数；
（3）当的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由.

图9

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° 1分
∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90°
∴∠ADP＝∠EPB. 2分
（2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° 3分

又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP
∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG 4分
∴∠CBE＝∠EBG＝45°. 5分
（3）方法一：
当时，△PFE∽△BFP. 6分
∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分
设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝，∴BF＝BP· 8分
∴，
∴ 9分
又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP 10分
方法二：
假设△ADP∽△BFP，则. 6分
∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF 7分
∴， 8分
∴， 9分
∴PB＝AP， ∴当时，△PFE∽△BFP. 10分
24. （2011湖南永州10分）探究问题：
⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°．
即∠GAF=∠_________．
又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌_______．
∴_________=EF，故DE+BF=EF．
（第25题）①

⑵方法迁移：
如图②，将沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（第25题）②
（第25题）②解得图

⑶问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．
（第25题）③

【答案】⑴EAF、△EAF、GF．
⑵DE+BF=EF，理由如下：
假设∠BAD的度数为，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：
AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°,
∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF= ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=
∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=．
即∠GAF=∠EAF又AG=AE，AF=AF
∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，
又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF．
⑶当∠B与∠D互补时，可使得DE+BF=EF．
25、（2007南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30º．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围．
（2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．
A
D
C
B
M
N
D
C
B
M
N
A
P

解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P． ………………（1分）
由已知，AM＝x，AN＝20－x．
∵　四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30º，
∴　∠PAN＝∠D＝30º．
在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝（20－x），
即点N到AB的距离为（20－x）． ………………………………（3分）
∵　点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15，
∴　x的取值范