平行四边形练习题及答案.doc

20.1 平行四边形的判定一、选择题 1四边形ABCD，从（1）ABCD；（2）AB=CD；（3）BCAD；（4）BC=AD这四个条件中任选两个，其中能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ） A3种 B4种 C5种 D6种 2四边形的四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为一组对边边长，c，d为另一组对边边长且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形是（ ） A任意四边形 B平行四边形 C对角线相等的四边形 D对角线垂直的四边形 3下列说法正确的是（ ） A若一个四边形的一条对角线平分另一条对角线，则这个四边形是平行四边形 B对角线互相平分的四边形一定是平行四边形 C一组对边相等的四边形是平行四边形 D有两个角相等的四边形是平行四边形 二、填空题 4在ABCD中，点E，F分别是线段AD，BC上的两动点，点E从点A向D运动，点F从C向B运动，点E的速度m与点F的速度n满足_关系时，四边形BFDE为平行四边形5如图1所示，平行四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC边上的一点，连结EF，若再增加一个条件_，就可以推出BE=DF 图1 图2 6如图2所示，AO=OC，BD=16cm，则当OB=_cm时，四边形ABCD是平行四边形 三、解答题7如图所示，四边形ABCD中，对角线BD=4，一边长AB=5，其余各边长用含有未知数x的代数式表示，且ADBD于点D，BDBC于点B问：四边形ABCD是平行四边形吗？为什么？ 四、思考题8如图所示，在ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AF=CE，则线段DE与BF的长度相等吗？ 参考答案一、1B 点拨：可选择条件（1）（3）或（2）（4）或（1）（2）或（3）（4）故有4种选法2B 点拨：a2+b2+c2+d2=2ab+2cd即（a-b）2+（c-d）2=0，即（a-b）2=0且（c-d）2=0所以a=b，c=d，即两组对边分别相等，所以四边形为平行四边形 3B 点拨：熟练掌握平行四边形的判定定理是解答这类题目的关键 二、4相等 点拨：利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”来确定 5AE=CF 点拨：本题答案不惟一，只要增加的条件能使四边形EBFD是平行四边形即可 68 点拨：根据对角线互相平分的四边形为平行四边形来进行判别三、7解：如图所示，四边形ABCD是平行四边形理由如下：在RtBCD中，根据勾股定理，得BC2+BD2=DC2，即（x-5）2+42=（x-3）2，解得x=8所以AD=11-8=3，BC=x-5=3，DC=x-3=8-3=5，所以AD=BC，AB=DC所以四边形ABCD是平行四边形 点拨：本题主要告诉的是线段的长度，故只要说明AD=BC，AB=DC即可，本题也可在RtABD中求x的值四、8解：线段DE与BF的长度相等；连结BD交AC于O点，连结DF，BE，如图所示在ABCD中，DO=OB，AO=OC，又因为AF=EC，所以AF-AO=CE-OC，即OF=OE，所以四边形DEBF是平行四边形，所以DE=BF 点拨：本题若用三角形全等，也可以解答，但过程复杂，学了平行四边形性质后，要学会应用20.2 矩形的判定 一、选择题 1矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A对角相等 B对边相等 C对角线相等 D对角线互相垂直 2下列叙述中能判定四边形是矩形的个数是（ ） 对角线互相平分的四边形；对角线相等的四边形；对角线相等的平行四边形；对角线互相平分且相等的四边形 A1 B2 C3 D43下列命题中，正确的是（ ） A有一个角是直角的四边形是矩形 B三个角是直角的多边形是矩形 C两条对角线互相垂直且相等的四边形是矩形 D有三个角是直角的四边形是矩形 二、填空题4如图1所示，矩形ABCD中的两条对角线相交于点O，AOD=120，AB=4cm，则矩形的对角线的长为_ 图1 图2 5若四边形ABCD的对角线AC，BD相等，且互相平分于点O，则四边形ABCD是_形，若AOB=60，那么AB：AC=_6如图2所示，已知矩形ABCD周长为24cm，对角线交于点O，OEDC于点E，OFAD于点F，OF-OE=2cm，则AB=_，BC=_三、解答题7如图所示，ABCD的四个内角的平分线分别相交于E，F，G，H两点，试说明四边形EFGH是矩形 四、思考题8如图所示，ABC中，CE，CF分别平分ACB和它的邻补角ACDAECE于E，AFCF于F，直线EF分别交AB，AC于M，N两点，则四边形AECF是矩形吗？为什么？ 参考答案 一、1C 点拨：A与B都是平行四边形的性质，而D是一般矩形与平行四边形都不具有的性质 2B 点拨：是矩形的判定定理；中对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故能判定矩形，应选B 3D 点拨：选项D是矩形的判定定理 二、48cm 5矩；1：2 点拨：利用对角线互相平分来判定此四边形是平行四边形，再根据对角线相等来判定此平行四边形是矩形由矩形的对角线相等且互相平分，可知AOB是等腰三角形，又因为AOB=60，所以AB=AO=AC 68cm；4cm三、7解：在ABCD中，因为ADBC，所以DAB+CBA=180，又因为HAB=DAB，HBA=CBA所以HAB+HBA=90，所以H=90同理可求得HEF=F=FGH=90，所以四边形EFGH是矩形 点拨：由于“两直线平行，同旁内角的平分线互相垂直”，所以很容易求出四边形EFGH的四个角都是直角，从而求得四边形EFGH是矩形四、8解：四边形AECF是矩形理由：因为CE平分ACB，CF平分ACD，所以ACE=ACB，ACF=ACD所以ECF=（ACB+ACD）=90又因为AECE，AFCF，所以AEC=AFC=90，所以四边形AECF是矩形 点拨：本题是通过证四边形中三个角为直角得出结论还可以通过证其为平行四边形，再证有一个角为直角得出结论 20.3 菱形的判定一、选择题 1下列四边形中不一定为菱形的是（ ） A对角线相等的平行四边形 B每条对角线平分一组对角的四边形 C对角线互相垂直的平行四边形 D用两个全等的等边三角形拼成的四边形 2四个点A，B，C，D在同一平面内，从ABCD；AB=CD；ACBD；AD=BC；ADBC这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（ ） A1种 B2种 C3种 D4种 3菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60，则两条对角线的长分别是（ ）A8cm和4cm B4cm和8cm C8cm和8cm D4cm和4cm 二、填空题4如图1所示，已知ABCD，AC，BD相交于点O，添加一个条件使平行四边形为菱形，添加的条件为_（只写出符合要求的一个即可） 图1 图2 5如图2所示，D，E，F分别是ABC的边BC，CA，AB上的点，且DEAB，DFCA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是_（只写出符合要求的一个即可） 6菱形ABCD的周长为48cm，BAD：ABC=1：2，则BD=_，菱形的面积是_7在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_，AC=_ 三、解答题8如图所示，在四边形ABCD中，ABCD，AB=CD=BC，四边形ABCD是菱形吗？说明理由 四、思考题9如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PDAC，PCBD，PD，PC相交于点P，四边形PCOD是菱形吗？试说明理由 参考答案 一、1A 点拨：本题用排除法作答 2D 点拨：根据菱形的判定方法判断，注意不要漏解3C 点拨：如图所示，若ABC=60，则ABC为等边三角形，所以AC=AB=32=8（cm），AO=AC=4cm因为ACBD，在RtAOB中，由勾股定理，得OB=4（cm），所以BD=2OB=8cm 二、4AB=BC 点拨：还可添加ACBD或ABD=CBD等 5点D在BAC的平分线上（或AE=AF）612cm；72cm2 点拨：如图所示，过D作DEAB于E，因为ADBC，所以BAD+ABC=180又因为BAD：ABC=1：2，所以BAD=60，因为AB=AD，所以ABD是等边三角形，所以BD=AD=12cm所以AE=6cm在RtAED中，由勾股定理，得AE2+ED2=AD2，62+ED2=122，所以ED2=108，所以ED=6cm，所以S菱形ABCD=126=72（cm2）74；4 点拨：如图所示，因为DE垂直平分AB，又因为DA=AB，所以DA=DB=4所以ABD是等边三角形，所以BAD=60，由已知可得AE=2在RtAED中，AE2+DE2=AD2，即22+DE2=42，所以DE2=12，所以DE=2，因为ACBD=ABDE，即AC4=42，所以AC=4三、8解：四边形ABCD是菱形，因为四边形ABCD中，ABCD，且AB=CD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AB=BC，所以ABCD是菱形 点拨：根据已知条件，不难得出四边形ABCD为平行四边形，又AB=BC，即一组邻边相等，由菱形的定义可以判别该四边形为菱形四、9解：四边形PCOD是菱形理由如下：因为PDOC，PCOD，所以四边形PCOD是平行四边形又因为四边形ABCD是矩形，所以OC=OD，所以平行四边形PCOD是菱形20.4 正方形的判定一、选择题 1下列命题正确的是（ ） A两条对角线互相平分且相等的四边形是菱形 B两条对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C两条对角线互相垂直，平分且相等的四边形是正方形 D一组邻边相等的平行四边形是正方形 2矩形四条内角平分线能围成一个（ ）A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形 二、填空题 3已知点D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，连结DE，EF，要使四边形ADEF是正方形，还需要添加条件_4如图1所示，直线L过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线L的距离分别是1和2，则正方形ABCD的边长是_ 图1 图2 图3 5如图2所示，四边形ABCD是正方形，点E在BC的延长线上，BE=BD且AB=2cm，则E的度数是_，BE的长度为_6如图3所示，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，BE=1，F为AB上一点，AF=2，P为AC上一动点，则当PF+PE取最小值时，PF+PE=_ 三、解答题7如图所示，在RtABC中，CF为ACB的平分线，FDAC于D，FEBC于点E，试说明四边形CDFE是正方形 四、思考题 8已知如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC边上的点，且AE=BF，请问： （1）AF与DE相等吗？为什么？（2）AF与DE是否垂直？说明你的理由 参考答案 一、1C 点拨：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，既是菱形又是矩形的四边形一定是正方形，故选C 2D 点拨：由题意画出图形后，利用“一组邻边相等的矩形是正方形”来判定 二、3ABC是等腰直角三角形且BAC=90 点拨：还可添加ABC是等腰三角形且四边形ADEF是矩形或BAC=90且四边形ADEF是菱形等条件 4 点拨：观察图形易得两直角三角形全等，由全等三角形的性质和勾股定理得正方形的边长为=567.5；2cm 点拨：因为BD是正方形ABCD的对角线，所以DBC=45，AD=AB=2cm在RtBAD中，由勾股定理得AD2+AB2=BD2，即22+22=BD2，所以BD=2cm，所以BE=BD=2（cm），又因为BE=BD，所以E=EDB=（180-45）=67.56 点拨：如图所示，作F关于AC的对称点G连结EG交AC于P，则PF+PE=PG+PE=GE为最短过E作EHAD在RtGHE中，HE=4，HG=AG-AH=AF-BE=1，所以GE=，即PF+PE=三、7解：因为FDC=FEC=BCD=90，所以四边形CDFE是矩形，因为CF平分ACB，FEBC，FDAC，所以FE=FD，所以矩形CDFE是正方形 点拨：本题先说明四边形是矩形，再求出有一组邻边相等，还可以先说明其为菱形，再求其一个内角为90四、8解：（1）相等理由：在ADE与BAF中，AD=AB，DAE=ABF=90，AE=BF，所以ADEBAF（SAS），所以DE=AF（2）AF与DE垂直理由：如图，设DE与AF相交于点O因为ADEBAF，所以AED=BFA又因为BFA+EAF=90，所以AEO+EAO=90，所以EOA=90，所以DEAF20.5 等腰梯形的判定一、选择题 1下列结论中，正确的是（ ） A等腰梯形的两个底角相等 B两个底角相等的梯形是等腰梯形 C一组对边平行的四边形是梯形 D两条腰相等的梯形是等腰梯形2如图所示，等腰梯形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则图中全等三角形有（ ）A2对 B3对 C4对 D5对 3课外活动课上，老师让同学们制作了一个对角线互相垂直的等腰梯形形状的风筝，其面积为450cm，则两条对角线所用的竹条长度之和至少为（ ） A30cm B30cm C60cm D60cm 二、填空题 4等腰梯形上底，下底和腰分别为4，10，5，则梯形的高为_，对角线为_ 5一个等腰梯形的上底长为5cm，下底长为12cm，一个底角为60，则它的腰长为_cm，周长为_cm 6在四边形ABCD中，ADBC，但ADBC，若使它成为等腰梯形，则需要添加的条件是_（填一个正确的条件即可） 三、解答题7如图所示，AD是BAC的平分线，DEAB，DE=AC，ADEC求证：四边形ADCE是等腰梯形 四、思考题8如图所示，四边形ABCD中，有AB=DC，B=C，且ADBC，四边形ABCD是等腰梯形吗？为什么？参考答案 一、1D 点拨：梯形的底角分为上底上的角和下底上的角，因此在等腰梯形的性质和判别方法中必须强调同一底上的两个内角（指上底上的两个内角或下底上的两个内角），否则就会出现错误，因此A，B选项都不正确，而C选项中漏掉了限制条件另外一组对边不平行，若平行该四边形就形成了平行四边形了，因此应选D2B 点拨：因为ABCDCB，BADCDA，AOBDOC，所以共有3对全等的三角形3C 点拨：设该等腰梯形对角线长为Lcm，因为两条对角线互相垂直，所以梯形面积为L2=450，解得L=30，所以所用竹条长度之和至少为2L=230=60（cm）二、44： 点拨：如图所示，连结BD，过A，D分别作AEBC，DFBC，垂足分别为E，F易知BAECDF，在四边形AEFD为矩形，所以BE=CF=3，AD=EF=4在RtCDF中，FC2+DF2=CD2，即32+DF2=52，所以DF=4，在RtBFD中，BF2+DF2=BD2，即72+42=BD2，所以BD=57；31 点拨：如图所示，过点D作DEAB交BC于E因为ADBC，ABDE，所以四边形ABED是平行四边形所以BE=AD=5（cm），AB=DE又因为AB=CD，所以DE=DC，又因为C=60，所以DEC是等边三角形，所以DE=DC=EC=7（cm），所以周长为5+12+7+7=31（cm） 6AB=CD（或A=D，或B=C，或AC=BD，或A+C=180，或B+D=180）三、7证明：因为ABED，所以BAD=ADE又因为AD是BAC的平分线，所以BAD=CAD，所以CAD=ADE，所以OA=OD又因为AC=DE，所以AC-OA=DE-OD即OC=OE，所以OCE=OEC，又因为AOD=COE，所以CAD=OCE所以ADCE，而ADCE，故四边形ADCE是梯形又因为CAD=ADE，AD=DA，AC=DE，所以DACADE，所以DC=AE，所以四边形ADCE是等腰梯形 点拨：证明一个四边形是等腰梯形时，应先证其是梯形而后再证两腰相等或同一底上的两个角相等四、8解：四边形ABCD是等腰梯形理由：延长BA，CD，相交于点E，如图所示，由B=C，可得EB=EC又AB=DC，所以EB-AB=EC-DC，即AE=DE，所以EAD=EDA因为E+EAD+EDA=180，E+B+C=180，所以EAD=B故ADBC又ADBC，所以四边形ABCD是梯形又AB=DC，所以四边形ABCD是等腰梯形 点拨：由题意可知，只要推出ADBC，再由ADBC就可知四边形ABCD为梯形，再由AB=DC，即可求得此四边形是等腰梯形，由B=C联想到延长BA，CD，即可得到等腰三角形，从而使ADBC华东师大版数学八年级（下）第20章 平行四边形的判定测试（答卷时间：90分钟，全卷满分：100分）姓名 得分_一、认认真真选，沉着应战！（每小题3分，共30分）1. 正方形具有菱形不一定具有的性质是 ( ) （A）对角线互相垂直 （B）对角线互相平分 （C）对角线相等 （D）对角线平分一组对角2. 如图(1)，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的（ ）HFEDCBA（A） （B） （C） （D）FBEDCA (1) (2) (3)3在梯形中，那么可以等于（ ）（）4：5：6：3 （）6：5：4：3 （）6：4：5：3 （）3：4：5：64如图(2)，平行四边形ABCD中，DEAB于E，DFBC于F，若的周长为48，DE5，DF10，则的面积等于( )（）87.5 （）80 （C）75 （D）72.55 A、B、C、D在同一平面内，从ABCD; AB=CD; BCAD; BC=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（ ） （）3种 （）4种 （C）5种 （D）6种6如图(3)，、分别是各边的中点，是高，如果，那么 的长为（ ）（） （） （） （）不能确定7. 如图（4）：E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BEBC，P为CE上任意一点，PQBC于点Q，PRBE于点R，则PQPR的值是（ ）（A） （B） （C） （D）8如图（5），在梯形中，平分，如果这个梯形的周长为30，则的长 （ ）（）4 （）5 （）6 （）7EDCBARQP（4）DCBA（5）9右图是一个利用四边形的不稳定性制作的菱形晾衣架已知其中每个菱形的边长为20cm，墙上悬挂晾衣架的两个铁钉A、B之间的距离为20cm，则1等于( ) （A）90 （）60 （）45 （）3010某校数学课外活动探究小组，在老师的引导下进一步研究了完全平方公式结合实数的性质发现以下规律：对于任意正数a、b， 都有a+b2成立某同学在做一个面积为3 600cm2，对角线相互垂直的四边形风筝时，运用上述规律，求得用来做对角线用的竹条至少需要准备xcm 则x的值是（ ） (A) 120 (B) 60 (C) 120 (D) 60二、仔仔细细填，记录自信！(每小题2分，共20分)11一个四边形四条边顺次是a、b、c、d，且，则这个四边形是_ 12在四边形中，对角线、交于点，从（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）平分这六个条件中，选取三个推出四边形是菱形如（1）（2）（5）是菱形，再写出符合要求的两个： 是菱形； 是菱形 13. 如图，已知直线把分成两部分，要使这两部分的面积相等，直线所在位置需满足的条件是_.（只需填上一个你认为合适的条件）ABCD (第13题) (第16题)14. 梯形的上底长为，过上底的一顶点引一腰的平行线，与下底相交，所构成的三角形周长为，那么梯形的周长为_。 15. 已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_. 16如图，在梯形中，对角线，且cm，cm，则此梯形的高为cmNMDCBA17. 如图，在梯形ABCD中，ADBC,B与C互余，AD=5,BC=13,M、N分别为AD、BC的中点，则MN的长为_.ADCB (第17题) (第18题) (第19题)18. 如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于 . 19. 如图，菱形ABCD中，AB=2，BAD=60，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是 20如图，正方形是由k个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .三、平心静气做，展示智慧！NMFEDCBA21(8分)已知：如图，中，、分别是、上的点，、 分别是、的中点。求证：四边形是平行四边形。22(8分)如图所示，已知等腰梯形ABCD中，ADBC， AB=CD，点E为梯形外一点，且AE=DE。求证：BE=CEABECD23(10分)如图，在矩形ABCD中，F是BC边上的一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DEAG于E，且DEDC，根据上述条件，请你在图中找出一对全等三角形，并证明你的结论。24(12分)如图，正方形的边在正方形的边上，连结、（1）观察猜想与之间的大小关系，并证明你的结论；（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由AEFGCBD25(12分)如图1、 2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与CBM的平分线BF相交于点F。如图1，当点E在AB边的中点位置时：通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是 ；连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是 ；请证明你的上述两猜想。如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。图1图2参考答案一、15：CBABB 610：AACBA二、 11平行四边形12略13略1433159616 4.817. 41819208三、21提示：先证四边形为平行四边形，再证22证明：在等腰梯形ABCD中，AB=CD，BAD=CDA，EA=ED，EAD=EDA，EAB=EDC在ABE和DCE中，AB=DC，EAB=EDC，EA=ED，ABEDCE，EB=EC23证ABFDEA24（1）证明：在和中，四边形和四边形都是正方形，（2）由（1）证明过程知，存在，是Rt和Rt将Rt绕点顺时针旋转，可与Rt完全重合25DE=EF；NE=BF。证明：四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，DN=EBBF平分CBM，AN=AE，DNE=EBF=90+45=135NDE+DEA=90，BEF+DEA=90，NDE=BEFDNEEBF DE=EF，NE=BF 在DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE），连结NE，点N就使得NE=BF成立（图略） 此时，DE=EF