平行四边形复习题及答案.doc

平行四边形复习题及答案一、解答题1如图，在中，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点（1）求证：四边形是菱形（2）若，求菱形的面积2如图1所示，把一个含45角的直角三角板ECF和一个正方形ABCD摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C重合，点E，F分别在正方形的边CB，CD上，连接AE、AF(1)求证：AEAF；(2)取AF的中点M，EF的中点N，连接MD，MN则MD，MN的数量关系是 ，MD、MN的位置关系是 (3)将图2中的直角三角板ECF，绕点C旋转180，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由3如图，点E为ABCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使BFBE，连接EC并延长，使CGCE，连接FGH为FG的中点，连接DH，AF（1）若BAE70，DCE20，求DEC的度数；（2）求证：四边形AFHD为平行四边形；（3）连接EH，交BC于点O，若OCOH，求证：EFEG4已知，在ABC中，BAC=90，ABC=45，D为直线BC上一动点（不与点B，C重合），以AD为边作正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时，BC与CF的位置关系是 ，BC、CF、CD三条线段之间的数量关系为 ；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请猜想BC与CF的位置关系BC，CD，CF三条线段之间的数量关系并证明；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变若正方形ADEF的对角线AE，DF相交于点O，OC=，DB=5，则ABC的面积为 （直接写出答案）5我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明）中，将沿翻折至，连结.结论1：与重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：.试证明以上结论.（应用与探究）在中，已知，将沿翻折至，连结.若以、为顶点的四边形是正方形，求的长.（要求画出图形）6共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，AB=13，AE=5（1）如图1，求证：DG=BE；（2）如图2，连结BF，以BF、BC为一组邻边作平行四边形BCHF连结BH，BG，求的值；当四边形BCHF为菱形时，直接写出BH的长7探究：如图，ABC是等边三角形，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、AN，延长MC交AN于点P（1）求证：ACNCBM；（2）CPN= ；（给出求解过程）（3）应用：将图的ABC分别改为正方形ABCD和正五边形ABCDE，如图、，在边AB、BC的延长线上截取BM=CN，连结MC、DN，延长MC交DN于点P，则图中CPN= ；（直接写出答案）（4）图中CPN= ；（直接写出答案）（5）拓展：若将图的ABC改为正n边形，其它条件不变，则CPN= （用含n的代数式表示，直接写出答案） 8如图,已知平面直角坐标系中,、,现将线段绕点顺时针旋转得到点,连接.(1)求出直线的解析式；(2)若动点从点出发,沿线段以每分钟个单位的速度运动,过作交轴于,连接.设运动时间为分钟,当四边形为平行四边形时,求的值.(3)为直线上一点,在坐标平面内是否存在一点,使得以、为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时的坐标；若不存在,请说明理由.9已知：如图，在中，直线垂直平分，与边交于点，连接，过点作交于点，连接(1)求证：四边形是菱形；(2)若，AE=5，则求菱形的面积10如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG如图放置，连接AG，AE（1）求证：（2）过点F作于P，交AB、AD于M、N，交AE、AG于P、Q，交BC于H，求证：NH=FM【参考答案】*试卷处理标记，请不要删除一、解答题1（1）见解析（2）10【分析】（1）先证明，得到，再证明四边形是平行四边形，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到，即可证明四边形是菱形。（2）连接，证明四边形是平行四边形，得到，利用菱形的求面积公式即可求解。【详解】（1）证明： ，是的中点，是边上的中线，在和中，四边形是平行四边形，是的中点，是的中点，四边形是菱形；（2）如图，连接，四边形是平行四边形，四边形是菱形，【点睛】本题主要考查全等三角形的应用，菱形的判定定理以及菱形的性质，熟练掌握菱形的的判定定理和性质是解此题的关键。2(1)见解析；(2)相等，垂直；(3)成立，理由见解析【分析】(1)由等腰直角ECF得到CE=CF，再由正方形ABCD进一步得到BE=DF，最后证明ABEADF即可求解；(2)MN是AEF的中位线，得到AE=2MN，又M是直角三角形ADF斜边上的中点，得到AF=2MD，再由(1)中的AE=AF即可得到MN=MD；由DMFDAF+ADM，FMNFAE，DAFBAE，ADMDAFBAE，由此得到DMNBAD90；(3)连接AE，同(1)中方法证明ABEADF，进而得到AE=AF，此时MN是AEF中位线，MD是直角ADF斜边上的中线，证明方法等同(2)中即可求解【详解】解：(1)证明：如图1中，四边形ABCD是正方形ABADBCCD，BADF90，CEF是等腰直角三角形，C90，CECF，BCCECDCF，即BEDF，ABEADF（SAS），AEAF(2)如图2中，MD，MN的数量关系是相等，MD、MN的位置关系是垂直，理由如下：在RtADF中DM是斜边AF的中线，AF2DM，MN是AEF的中位线，AE2MN，由(1)知：AEAF，DMMN；DMFDAF+ADM，AMMD，FMNFAE，DAFBAE，ADMDAFBAE，DMNBAD90，DMMN，故答案为：相等，垂直；(3)如图3中，(2)中的两个结论还成立，理由如下：连接AE，交MD于点G，如下图所示，点M为AF的中点，点N为EF的中点，MNAE，MNAE，由(1)同理可证，ABADBCCD，BADF，CECF，又BC+CECD+CF，即BEDF，ABEADF（SAS），AEAF，在RtADF中，点M为AF的中点，DMAF，DMMN，ABEADF，12，ABDF，13，同理可证：24，34，DMAM，MAD5，DGE5+4MAD+390，MNAE，DMNDGE90，DMMN故答案为：仍成立【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形全等几何知识，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键3（1）50；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可；（2）由平行四边形的性质得出ADBC，ADBC；证明BC是EFG的中位线，得出BCFG，BCFG，证出ADFH，ADFH，由平行四边形的判定方法即可得出结论；（3）连接EH，CH，根据三角形的中位线定理以及平行四边形的判定和性质即可得到结论【详解】明：（1）四边形ABCD是平行四边形，BAEBCD70，ADBC，DCE20，ABCD，CDE180BAE110，DEC180DCECDE50；（2）四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，BAEBCD，BFBE，CGCE，BC是EFG的中位线，BCFG，BCFG，H为FG的中点，FHFG，BCFH，BCFH，ADFH，ADFH，四边形AFHD是平行四边形；（3）连接EH，CH，CECG，FHHG，CHEF，CHEF，EBBFEF，BECH，四边形EBHC是平行四边形，OBOC，OEOH，OCOH，OEOBOCBC，BCE是直角三角形，FEG90，EFEG【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键4（1）BCCF，CF+CD=BC；（2）CFBC，CFCD=BC，证明详见解析；（3）【分析】（1）ABC是等腰直角三角形，利用SAS即可证明BADCAF，从而证得CF=BD，据此即可证得；（2）同（1）相同，利用SAS即可证得BADCAF，从而证得BD=CF，即可得到CFCD=BC；（3）先证明BADCAF，进而得出FCD是直角三角形，根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到DF的长，再求出CD，BC即可解决问题【详解】（1）如图1中，BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90DAC，CAF=90DAC，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），BD=CF，ABD=ACF=45，FCB=ACF+ACB=90，即CFBC，BD+CD=BC，CF+CD=BC；故答案为：CFBC，CF+CD=BC（2）结论：CFBC，CFCD=BC理由：如图2中，BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90+DAC，CAF=90+DAC，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），BD=CF，ABD=ACF=45，FCB=ACF+ACB=90，即CFBC，BC+CD=CF，CFCD=BC；（3）如图3中，BAC=90，ABC=45，ACB=ABC=45，AB=AC，四边形ADEF是正方形，AD=AF，DAF=90，BAD=90BAF，CAF=90BAF，BAD=CAF，在BAD和CAF中，BADCAF（SAS），ACF=ABD，BD=CF=5，ABC=45，ABD=135，ACF=ABD=135，FCD=13545=90，FCD是直角三角形OD=OF，DF=2OC=13，RtCDF中，CD=12，BC=DCBD=125=7，AB=AC=，SABC【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，判断出BADCAF是解本题的关键5【发现与证明】结论1：见解析，结论2：见解析；【应用与探究】AC的长为或2.【分析】【发现与证明】由平行四边形的性质得出EAC=ACB，由翻折的性质得出ACB=ACB，证出EAC=ACB，得出AE=CE；得出DE=BE，证出CBD=BDA= （180-BED），由AEC=BED，得出ACB=CBD，即可得出BDAC；【应用与探究】：分两种情况：由正方形的性质得出CAB=90，得出BAC=90，再由三角函数即可求出AC；由正方形的性质和已知条件得出AC=BC=2【详解】【发现与证明】:四边形ABCD是平行四边形，AD=BC,ADBC，EAC=ACB，ABCABC，ACB=ACB,BC=BC，EAC=ACB，AE=CE，即ACE是等腰三角形；DE=BE，CBD=BDA=12(180BED)，AEC=BED，ACB=CBD，BDAC；【应用与探究】:分两种情况：如图1所示：四边形ACDB是正方形，CAB=90，BAC=90，B=45，AC=；如图2所示：AC=BC=2；综上所述：AC的长为或2.【点睛】本题考查平行四边形的性质, 正方形的性质, 翻折变换（折叠问题）.【发现与证明】对于结论1，要证明三角形是等腰三角形，只需要证明它的两条边相等，而在同一个三角形内要证明两条线段相等只需要证明它们所对应的角相等（即用等角对等边证明）.结论2：要证明两条线段平行，本题用到了内错角相等，两直线平行.所以解决【发现与证明】的关键是根据已知条件找到对应角之间的关系. 【应用与探究】折叠时，因为正方形的四个角都是直角，所以对应线段之间存在共线情况，所以分BA和AB共线和BC和BC两种情况讨论，能根据题意画出两种情况对应的图形，是解题关键.6（1）证明见解析；（2）；BH的长为17或7【分析】（1）证，即可得出结论；（2）连接，延长交于，设与的交点为，证，得，证为等腰直角三角形，即得结论；分两种情况，证出点、在一条直线上，求出，则，由勾股定理求出，求出，即可得出答案【详解】（1）四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，AD=AB=CB，AG=AE，DAB=GCE=90，DABGAF=GCEGAF，即DAG=BAE，在DAG和BAE中，DAGBAE(SAS)，DG=BE；（2）连接GH，延长HF交AB于N，设AB与EF的交点为M，如图2所示：四边形BCHF是平行四边形，HFBC，HF=BC=ABBCAB，HFAB，HFG=FMB，又AGEF，GAB=FMB，HFG=GAB，在GAB和GFH中，GABGFH(SAS)，GH=GB，GHF=GBA，HGB=HNB=90，GHB为等腰直角三角形，BHBG，；分两种情况：a、如图3所示：连接AF、EG交于点O，连接BE四边形BCHF为菱形，CB=FBAB=CB，AB=FB=13，点B在AF的垂直平分线上四边形AEFG是正方形，AF=EG，OA=OF=OG=OE，AFEG，AE=FE=AG=FG，点G、点E都在AF的垂直平分线上，点B、E、G在一条直线上，BGAFAE=5，AF=EGAE=10，OA=OG=OE=5，OB12，BG=OB+OG=12+5=17，由得：BHBG=17；b、如图4所示：连接AF、EG交于点O，连接BE，同上得：点B、E、G在一条直线上，OB=12，BG=OG+OBOG=125=7，由得：BHBG=7；综上所述：BH的长为17或7【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键7（1）见解析；（2）120；（3）90；（4）72；（5）.【分析】（1）利用等边三角形的性质得到BC=AC，ACB=ABC，从而得到ACNCBM.（2）利用全等三角形的性质得到CAN=BCM，再利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解.（3）利用正方形（或正五边形）的性质得到BC=DC，ABC=BCD，从而判断出DCNCBM，再利用全等三角形的性质得到CDN=BCM，再利用内角和定理即可得到答案.（4）由（3）的方法即可得到答案.（5）利用正三边形，正四边形，正五边形，分别求出CPN的度数与边数的关系式，即可得到答案.【详解】（1）ABC是等边三角形，BC=AC，ACB=BAC=ABC=60，ACN=CBM=120，在CAN和CBM中，ACNCBM.（2）ACNCBM.CAN=BCM，ABC=BMC+BCM，BAN=BAC+CAN，CPN=BMC+BAN=BMC+BAC+CAN=BMC+BAC+BCM=ABC+BAC=60+60,=120，故答案为：120.（3）将等边三角形换成正方形，四边形ABCD是正方形，BC=DC，ABC=BCD=90，MBC=DCN=90，在DCN和CBM中，DCNCBM，CDN=BCM，BCM=PCN，CDN=PCN，在RtDCN中，CDN+CND=90，PCN+CND=90，CPN=90，故答案为：90.（4）将等边三角形换成正五边形，ABC=DCB=108，MBC=DCN=72，在DCN和CBM中，DCNCBM，BMC=CND，BCM=CDN，BCM=PCN，CND=PCN，在CDN中，CDN+CND=BCD=108，CPN=180-(CND+PCN)=180-(CND+CDN)=180-108，=72，故答案为：72.（5）正三边形时，CPN=120=，正四边形时，CPN=90=，正五边形时，CPN=72=，正n边形时，CPN=，故答案为： .【点睛】此题考查正多边形的性质，三角形全等的判定及性质，图形在发生变化但是解题的思路是不变的，依据此特点进行解题是解此题的关键.8（1）；（2）t=s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）存在，点Q坐标为：或或或.【分析】（1）如图1中，作BHx轴于H证明COAAHB（AAS），可得BH=OA=1，AH=OC=2，求出点B坐标，再利用待定系数法即可解决问题（2）利用平行四边形的性质求出点N的坐标，再求出AN，BM，CM即可解决问题（3）如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1菱形OBP3Q3，当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，分别求解即可解决问题【详解】（1）如图1中，作BHx轴于HA（1，0）、C（0，2），OA=1，OC=2，COA=CAB=AHB=90，ACO+OAC=90，CAO+BAH=90，ACO=BAH，AC=AB，COAAHB（AAS），BH=OA=1，AH=OC=2，OH=3，B（3，1），设直线BC的解析式为y=kx+b，则有，解得：，；（2）如图2中，四边形ABMN是平行四边形，ANBM，直线AN的解析式为：，B（3，1），C（0，2），BC=，t=s时，四边形ABMN是平行四边形；（3）如图3中，如图3中，当OB为菱形的边时，可得菱形OBQP，菱形OBP1Q1菱形OBP3Q3，连接OQ交BC于E，OEBC，直线OE的解析式为y=3x，由，解得：，E（，），OE=OQ，Q（，），OQ1BC，直线OQ1的解析式为y=-x，OQ1=OB=，设Q1（m，-），m2+m2=10，m=3，可得Q1（3，-1），Q3（-3，1），当OB为菱形的对角线时，可得菱形OP2BQ2，点Q2在线段OB的垂直平分线上，易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5，由，解得：，Q2（，）综上所述，满足条件的点Q坐标为：或或或.【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题9（1）答案见解析；（2）24【分析】(1) 首先利用ASA证明CDFADE，进而得到AE=CF，于是得四边形AECF是平行四边形，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可得到结论；(2)首先利用勾股定理求出DE的长，再利用对角线乘积的一半求出菱形的面积.【详解】（1）CF/ AB，DCF= DAE，PQ垂直平分AC，CD= AD，在CDF和ADE中， ,CDFADE，CF=AE,CFAE，四边形AECF是平行四边形，垂直平分，AE=CE，四边形是菱形；（2）四边形是菱形，ADE是直角三角形，AD=，AE=5 ，DE=，EF= 2DE=6，菱形AECF的面积为.【点睛】此题考查菱形的判定及性质定理，三角形全等的判定定理，线段垂直平分线的性质定理，勾股定理，正确掌握菱形的判定及性质定理是解题的关键.10（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）根据正方形的性质证得BG=DE，利用SAS可证明，再利用全等的性质即可得到结论；（2）过M作MKBC于K，延长EF交AB于T，根据ASA可证明，得到AE=MH，再利用AAS证明，得到NF=AE，从而证得MH=NF，即可得到结论【详解】证明：（1）四边形ABCD与四边形CEFG均为正方形，AB=AD=BC=CD，CG=CE，ABG=ADE=90，BCGC=CDEC，即BG=DE，AG=AE；（2）过M作MKBC于K，则四边形MKCD为矩形，MKH=ADE=90，MK=CD，AMK=90，MK=AD，AMP+HMK=90，又，EAD+AMP=90，HMK=EAD，MH=AE，延长EF交AB于T，则四边形TBGF为矩形，FT=BG，FTN=ADE=90， DE=BG，FT=DE，FPAE，DAB=90，N+NAP=DAE+NAP=90，N=DAE，FN=AE，FN=MH，FNFH=MHFH，NH=FM【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，及全等三角形的判定与性质，熟练掌握各性质、判定定理是解题的关键