初中数学特殊平行四边形的证明及详细答案模板.doc

初中数学 特殊平行四边形的证明

一．解答题（共30小题）
1．（2015•泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．

2．（2015•福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
求证：四边形BCFE是菱形．

3．（2015•深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

4．（2015•济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．

5．（2015•临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？

6．（2015春•宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．

7．（2014•雅安）如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．

8．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．

9．（2014•遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．

10．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．

11．（2014•钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．

12．（2014•贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：DF=AE；
（2）当AB=2时，求BE2的值．

13．（2014•吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

14．（2014•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=100cm，求菱形ABCD的边长．

15．（2014•槐荫区三模）如图，菱形ABCD的边长为1，∠D=120°．求对角线AC的长．

16．（2014•历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，求AE的长．

17．（2014•湖南校级模拟）如图，AE=AF，点B、D分别在AE、AF上，四边形ABCD是菱形，连接EC、FC
（1）求证：EC=FC；
（2）若AE=2，∠A=60°，求△AEF的周长．

18．（2014•清河区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．
求证：四边形ADEF是菱形．

19．（2014春•防城区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．

20．（2014•通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

21．（2014•顺义区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

22．（2014•祁阳县校级模拟）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长．

23．（2014•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，求证：△AOD≌△BOC．

24．（2014•东海县二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．

25．（2014•玉溪模拟）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．
求证：BE=DG．

26．（2014•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠FDC=30°，求∠BEF的度数．

27．（2014•深圳模拟）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．

28．（2014•碑林区校级模拟）在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AC上一点，连接EB、ED．求证：∠BEC=∠DEC．

29．（2014•温州一模）如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥A C，MF⊥AD，垂足分别为E、F．
（1）求证：∠CAB=∠DAB；
（2）若∠CAD=90°，求证：四边形AEMF是正方形．

30．（2014•湖里区模拟）已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．求证：四边形DEBF是正方形．

初中数学 特殊平行四边形的证明
参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）
1．（2015•泰安模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，并且AF=CE．
（1）求证：四边形ACEF是平行四边形；
（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形？请回答并证明你的结论．

考点：
菱形的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）ED是BC的垂直平分线，根据中垂线的性质：中垂线上的点线段两个端点的距离相等，则EB=EC，故有∠3=∠4，在直角三角形ACB中，∠2与∠4互余，∠1与∠3互余，则可得到AE=CE，从而证得△ACE和△EFA都是等腰三角形，又因为FD⊥BC，AC⊥BC，所以AC∥FE，再根据内错角相等得到AF∥CE，故四边形ACEF是平行四边形；
（2）由于△ACE是等腰三角形，当∠1=60°时△ACE是等边三角形，有AC=EC，有平行四边形ACEF是菱形．
解答：
解：（1）∵ED是BC的垂直平分线
∴EB=EC，ED⊥BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ACB=90°，
∴FE∥AC，
∴∠1=∠5，
∵∠2与∠4互余，∠1与∠3互余
∴∠1=∠2，
∴AE=CE，
又∵AF=CE，
∴△ACE和△EFA都是等腰三角形，
∴∠5=∠F，
∴∠2=∠F，
∴在△EFA和△ACE中
∵，
∴△EFA≌△ACE（AAS），
∴∠AEC=∠EAF
∴AF∥CE
∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形．证明如下：
∵∠B=30°，∠ACB=90°
∴∠1=∠2=60°
∴∠AEC=60°
∴AC=EC
∴平行四边形ACEF是菱形．

点评：
本题综合利用了中垂线的性质、等边对等角和等角对等边、直角三角形的性质、平行四边形和判定和性质、菱形的判定求解，有利于学生思维能力的训练．涉及的知识点有：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．

2．（2015•福建模拟）已知：如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．
求证：四边形BCFE是菱形．

考点：
菱形的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
由题意易得，EF与BC平行且相等，∴四边形BCFE是平行四边形．又EF=BE，∴四边形BCFE是菱形．
解答：
解：∵BE=2DE，EF=BE，
∴EF=2DE．（1分）
∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴BC=2DE且DE∥BC．（2分）
∴EF=BC．（3分）
又EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形．（4分）
又EF=BE，
∴四边形BCFE是菱形．（5分）
点评：
此题主要考查菱形的判定，综合利用了平行四边形的性质和判定．

3．（2015•深圳一模）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．
（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

考点：
菱形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）利用两组对边平行可得该四边形是平行四边形，进而证明一组邻边相等可得该四边形为菱形；
（2）利用菱形的邻边相等的性质及等腰三角形的性质可得两组角相等，进而证明∠ACB为直角即可．
解答：
解：（1）∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD为平行四边形，∠2=∠3，
又∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∴∠1=∠3，
∴AD=DC，
∴四边形AECD是菱形；

（2）直角三角形．
理由：∵AE=EC
∴∠2=∠4，
∵AE=EB，
∴EB=EC，
∴∠5=∠B，
又因为三角形内角和为180°，
∴∠2+∠4+∠5+∠B=180°，
∴∠ACB=∠4+∠5=90°，
∴△ACB为直角三角形．

点评：
考查菱形的判定与性质的应用；用到的知识点为：一组邻边相等的平行四边形是菱形；菱形的4条边都相等．

4．（2015•济南模拟）如图，四边形ABCD是矩形，点E是边AD的中点．
求证：EB=EC．

考点：
矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出△ABE≌△DCE（SAS），即可得出答案．
解答：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵点E是边AD的中点，
∴AE=ED，
在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴EB=EC．
点评：
此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及矩形的性质，得出△ABE≌△DCE是解题关键．

5．（2015•临淄区校级模拟）如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AC的长为多少？

考点：
矩形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据等角的余角相等，得∠BAC=∠ADE=α；根据锐角三角函数定义可求AC的长．
解答：
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，AD∥BC，
∴∠EAD=∠ACB，
∵在△ABC与△AED中，
∵DE⊥AC于E，∠ABC=90°
∴∠BAC=∠ADE=α．
∴cos∠BAC=cosα=，
∴AC==．
点评：
此题综合运用了锐角三角函数的知识、勾股定理、矩形的性质．

6．（2015春•宿城区校级月考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E．求证：BD=BE．

考点：
矩形的性质；平行四边形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据矩形的对角线相等可得AC=BD，对边平行可得AB∥CD，再求出四边形ABEC是平行四边形，根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证．
解答：
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AB∥CD，
又∵BE∥AC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴AC=BE，
∴BD=BE．
点评：
本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，熟记各性质并求出四边形ABEC是平行四边形是解题的关键．

7．（2014•雅安）如图：在▱ABCD中，AC为其对角线，过点D作AC的平行线与BC的延长线交于E．
（1）求证：△ABC≌△DCE；
（2）若AC=BC，求证：四边形ACED为菱形．

考点：
菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）利用AAS判定两三角形全等即可；
（2）首先证得四边形ACED为平行四边形，然后证得AC=AD，利用邻边相等的平行四边形是菱形判定即可．
解答：
证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠B=∠1，
又∵DE∥AC
∴∠2=∠E，
在△ABC与△DCE中，
，
∴△ABC≌△DCE；

（2）∵平行四边形ABCD中，
∴AD∥BC，
即AD∥CE，
由DE∥AC，
∴ACED为平行四边形，
∵AC=BC，
∴∠B=∠CAB，
由AB∥CD，
∴∠CAB=∠ACD，
又∵∠B=∠ADC，
∴∠ADC=∠ACD，
∴AC=AD，
∴四边形ACED为菱形．

点评：
本题考查了菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理，难度不大．

8．（2014•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．

考点：
菱形的判定与性质；旋转的性质．菁优网版权所有
专题：
几何综合题．
分析：
（1）根据旋转可得AE=CE，DE=EF，可判定四边形ADCF是平行四边形，然后证明DF⊥AC，可得四边形ADCF是菱形；
（2）首先利用勾股定理可得AB长，再根据中点定义可得AD=5，根据菱形的性质可得AF=FC=AD=5，进而可得答案．
解答：
（1）证明：∵将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，
∴AE=CE，DE=EF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵D、E分别为AB，AC边上的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°，
∴DF⊥AC，
∴四边形ADCF是菱形；

（2）解：在Rt△ABC中，BC=8，AC=6，
∴AB=10，
∵D是AB边上的中点，
∴AD=5，
∵四边形ADCF是菱形，
∴AF=FC=AD=5，
∴四边形ABCF的周长为8+10+5+5=28．
点评：
此题主要考查了菱形的判定与性质，关键是掌握菱形四边相等，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

9．（2014•遂宁）已知：如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E是CD中点，连结OE．过点C作CF∥BD交线段OE的延长线于点F，连结DF．求证：
（1）△ODE≌△FCE；
（2）四边形ODFC是菱形．

考点：
矩形的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠ODE=∠FCE，根据线段中点的定义可得CE=DE，然后利用“角边角”证明△ODE和△FCE全等；
（2）根据全等三角形对应边相等可得OD=FC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形ODFC是平行四边形，根据矩形的对角线互相平分且相等可得OC=OD，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
解答：
证明：（1）∵CF∥BD，
∴∠ODE=∠FCE，
∵E是CD中点，
∴CE=DE，
在△ODE和△FCE中，
，
∴△ODE≌△FCE（ASA）；

（2）∵△ODE≌△FCE，
∴OD=FC，
∵CF∥BD，
∴四边形ODFC是平行四边形，
在矩形ABCD中，OC=OD，
∴四边形ODFC是菱形．
点评：
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，熟记各性质与平行四边形和菱形的判定方法是解题的关键．

10．（2014•宁德）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是BC的中点，连接AC，DE，AC=AB，DE∥AB．求证：四边形AECD是矩形．

考点：
矩形的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
先判断四边形AECD为平行四边形，然后由∠AEC=90°即可判断出四边形AECD是矩形．
解答：
证明：∵AD∥BC，DE∥AB，
∴四边形ABED是平行四边形．
∴AD=BE．
∵点E是BC的中点，
∴EC=BE=AD．
∴四边形AECD是平行四边形．
∵AB=AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，即∠AEC=90°．
∴▱AECD是矩形．
点评：
本题考查了梯形和矩形的判定，难度适中，解题关键是掌握平行四边形和矩形的判定定理．

11．（2014•钦州）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=BF．求证：CE=DF．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据正方形的性质可得AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，然后求出BE=CF，再利用“边角边”证明△BCE和△CDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
解答：
证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，
∵AE=BF，
∴AB﹣AE=BC﹣BF，
即BE=CF，
在△BCE和△CDF中，
，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴CE=DF．
点评：
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键．

12．（2014•贵港）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE=CD，过点E作EF⊥AC交AD于点F，连接BE．
（1）求证：DF=AE；
（2）当AB=2时，求BE2的值．

考点：
正方形的性质；角平分线的性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
（1）连接CF，根据“HL”证明Rt△CDF和Rt△CEF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，根据正方形的对角线平分一组对角可得∠EAF=45°，求出△AEF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质可得AE=EF，然后等量代换即可得证；
（2）根据正方形的对角线等于边长的倍求出AC，然后求出AE，过点E作EH⊥AB于H，判断出△AEH是等腰直角三角形，然后求出EH=AH=AE，再求出BH，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
解答：
（1）证明：如图，连接CF，
在Rt△CDF和Rt△CEF中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），
∴DF=EF，
∵AC是正方形ABCD的对角线，
∴∠EAF=45°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AE=EF，
∴DF=AE；

（2）解：∵AB=2，
∴AC=AB=2，
∵CE=CD，
∴AE=2﹣2，
过点E作EH⊥AB于H，
则△AEH是等腰直角三角形，
∴EH=AH=AE=×（2﹣2）=2﹣，
∴BH=2﹣（2﹣）=，
在Rt△BEH中，BE2=BH2+EH2=（）2+（2﹣）2=8﹣4．

点评：
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键．

13．（2014•吴中区一模）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，∠BAF=∠DAE．
（1）求证：AE=AF；
（2）若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．

考点：
菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
（1）首先利用菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，进而得出△ABE≌△ADF（ASA），即可得出答案；
（2）利用垂直平分线的性质得出△ABC和△ACD都是等边三角形，进而得出∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，求出△AEF为等边三角形．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
又∵∠BAF=∠DAE，
∴∠BAE=∠DAF，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（ASA），
∴AE=AF；

（2）解：连接AC，
∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA，
∴△ABC和△ACD都是等边三角形，
∴∠CAE=∠BAE=30°，∠CAF=∠DAF=30°，
∴∠EAF=∠CAE+∠CAF=60°，
又∵AE=AF，
∴△AEF是等边三角形．

点评：
此题主要考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键．

14．（2014•新乡一模）小明设计了一个如图的风筝，其中，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，点C在AF上，点E，G分别在BC，CD上，若∠BAD=135°，∠EAG=75°，AE=100cm，求菱形ABCD的边长．

考点：
菱形的性质．菁优网版权所有
分析：
根据菱形的性质可得出∠BAE=30°，∠B=45°，过点E作EM⊥AB于点M，设EM=x，则可得出AB、AE的长度，继而可得出的值，求出AB即可．
解答：
解：∵∠BAD=135°，∠EAG=75°，四边形ABCD与四边形AEFG都是菱形，
∴∠B=180°﹣∠BAD=45°，∠BAE=∠BAC﹣∠EAC=30°，
过点E作EM⊥AB于点M，设EM=x，
在Rt△AEM中，AE=2EM=2x，AM=x，
在Rt△BEM中，BM=x，
则==，
∵AE=100cm，∴AB=50（+1）cm，
∴菱形ABCD的边长为：50（+1）cm．

点评：
本题考查了菱形的性质及解直角三角形的知识，属于基础题，关键是掌握菱形的对角线平分一组对角．

15．（2014•槐荫区三模）如图，菱形ABCD的边长为1，∠D=120°．求对角线AC的长．

考点：
菱形的性质．菁优网版权所有
分析：
连接BD与AC交于点O，根据菱形的性质可得AB=AD，AC=2AO，∠ADB=∠ADC，AC⊥BD，然后判断出△ABD是等边三角形，根据等边三角形的性质求出AO，再根据AC=2AO计算即可得解．
解答：
解：如图，连接BD与AC交于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AC=2AO，∠ADB=∠ADC，AC⊥BD，
∵∠D=120°，
∴∠ADB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AO=AD×sin∠ADB=，
∴AC=2AO=．

点评：
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出等边三角形是解题的关键．

16．（2014•历城区一模）如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6cm、8cm，AE⊥BC于点E，求AE的长．

考点：
菱形的性质；勾股定理．菁优网版权所有
分析：
根据菱形的对角线互相垂直平分求出CO、BO，再利用勾股定理列式求出BC，然后利用菱形的面积等于底乘以高和对角线乘积的一半列出方程求解即可．
解答：
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴CO=AC=3cm，BO=BD=4cm，AO⊥BO，
∴BC===5cm，
∴S菱形ABCD==BC•AE，
即×6×8=5•AE，
解得AE=cm．
答：AE的长是cm．
点评：
本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键，难点在于利用菱形的面积列出方程．

17．（2014•湖南校级模拟）如图，AE=AF，点B、D分别在AE、AF上，四边形ABCD是菱形，连接EC、FC
（1）求证：EC=FC；
（2）若AE=2，∠A=60°，求△AEF的周长．

考点：
菱形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
（1）连接AC，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠CAE=∠CAF，然后利用“边角边”证明△ACE和△ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得EC=FC；
（2）判断出△AEF是等边三角形，然后根据等边三角形的三条边都相等解答．
解答：
（1）证明：如图，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CAE=∠CAF，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF（SAS），
∴EC=FC；

（2）解：连接EF，
∵AE=AF，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴△AEF的周长=3AE=3×2=6．

点评：
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键．

18．（2014•清河区一模）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别是△ABC三边的中点．
求证：四边形ADEF是菱形．

考点：
菱形的判定；三角形中位线定理．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
利用三角形中位线的性质得出DEAC，EFAB，进而得出四边形ADEF为平行四边形．，再利用DE=EF即可得出答案．
解答：
证明：∵D、E、F分别是△ABC三边的中点，
∴DEAC，EFAB，
∴四边形ADEF为平行四边形．
又∵AC=AB，
∴DE=EF．
∴四边形ADEF为菱形．
点评：
此题主要考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的判定和菱形的判定等知识，熟练掌握菱形判定定理是解题关键．

19．（2014春•防城区期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是为E，F，并且DE=DF．求证：四边形ABCD是菱形．

考点：
菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
首先利用已知条件和平行四边形的性质判定△ADE≌△CDF，再根据邻边相等的平行四边形为菱形即可证明四边形ABCD是菱形．
解答：
证明：在△ADE和△CDF中，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°．
又∵DE=DF，
∴△ADE≌△CDF（AAS）
∴DA=DC，
∴平行四边形ABCD是菱形．
点评：
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质以及菱形的判定方法，解题的关键是熟练掌握各种图形的判定和性质．

20．（2014•通州区一模）如图，在四边形ABCD中，AB=DC，E、F分别是AD、BC的中点，G、H分别是对角线BD、AC的中点．
（1）求证：四边形EGFH是菱形；
（2）若AB=1，则当∠ABC+∠DCB=90°时，求四边形EGFH的面积．

考点：
菱形的判定与性质；正方形的判定与性质；中点四边形．菁优网版权所有
分析：
（1）利用三角形的中位线定理可以证得四边形EGFH的四边相等，即可证得；
（2）根据平行线的性质可以证得∠GFH=90°，得到菱形EGFH是正方形，利用三角形的中位线定理求得GE的长，则正方形的面积可以求得．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AD、BC、BD、AC的中点，
∴FG=CD，HE=CD，FH=AB，GE=AB．
∵AB=CD，
∴FG=FH=HE=EG．
∴四边形EGFH是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD中，G、F、H分别是BD、BC、AC的中点，
∴GF∥DC，HF∥AB．
∴∠GFB=∠DCB，∠HFC=∠ABC．
∴∠HFC+∠GFB=∠ABC+∠DCB=90°．
∴∠GFH=90°．
∴菱形EGFH是正方形．
∵AB=1，
∴EG=AB=．
∴正方形EGFH的面积=（）2=．

点评：
本题考查了三角形的中位线定理，菱形的判定以及正方形的判定，理解三角形的中位线定理是关键．

21．（2014•顺义区二模）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE的延长线于F．
（1）求证：四边形BCFE是菱形；
（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．

考点：
菱形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
（1）由题意易得，EF与BC平行且相等，故四边形BCFE是平行四边形．又麟边EF=BE，则四边形BCFE是菱形；
（2）连结BF，交CE于点O．利用菱形的性质和等边三角形的判定推知△BCE是等边三角形．通过解直角△BOC求得BO的长度，则BF=2BO．利用菱形的面积=CE•BF进行解答．
解答：
（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴DE∥BC，BC=2DE．
∵CF∥BE，
∴四边形BCFE是平行四边形．
∵BE=2DE，BC=2DE，
∴BE=BC．
∴□BCFE是菱形；

（2）解：连结BF，交CE于点O．
∵四边形BCFE是菱形，∠BCF=120°，
∴∠BCE=∠FCE=60°，BF⊥CE，
∴△BCE是等边三角形．
∴BC=CE=4．
∴．
∴．

点评：
此题主要考查菱形的性质和判定以及面积的计算，使学生能够灵活运用菱形知识解决有关问题．

22．（2014•祁阳县校级模拟）如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求证：四边形OCED是菱形．
（2）若AB=6，BC=8，求四边形OCED的周长．

考点：
矩形的性质；菱形的判定．菁优网版权所有
分析：
（1）根据矩形性质求出OC=OD，根据平行四边形的判定得出四边形OCED是平行四边形，根据菱形判定推出即可；
（2）根据勾股定理求出AC，求出OC，得出OC=OD=CE=ED=5，相加即可．
解答：
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2OC，BD=2OD，AC=BD，
∴OD=OC，
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是菱形．

（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=6，BC=8，
∴在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=10，
即OC=AC=5，
∵四边形OCED是菱形，
∴OC=OD=DE=CE=5，
∴四边形OCED的周长是5+5+5+5=20．
点评：
本题考查了勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，矩形的性质的应用，主要考查学生的推理能力．

23．（2014•荔湾区校级一模）已知点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD=DE，连结BE交CD于点O，求证：△AOD≌△BOC．

考点：
矩形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据矩形的对边相等可得AD=BC，根据矩形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠E=∠OBC，再求出BC=DE，然后利用“角角边”证明△AOD和△BOC全等即可．
解答：
证明：在矩形ABCD中，AD=BC，AD∥BC，
∴∠E=∠OBC，
∵AD=DE，
∴BC=DE，
在△AOD和△BOC中，
，
∴△AOD≌△BOC（AAS）．
点评：
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定，熟练掌握矩形的对边平行且相等找出三角形全等的条件是解题的关键．

24．（2014•东海县二模）已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BF=DE，
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=2，BF=1，求四边形AECF的面积．

考点：
正方形的性质；菱形的判定与性质．菁优网版权所有
分析：
（1）根据正方形的性质，可得正方形的四条边相等，对角线平分对角，根据 SAS，可得△ABF与△CBF与△CDE与△ADE的关系，根据三角形全等，可得对应边相等，再根据四条边相等的四边形，可得证明结果；
（2）根据正方形的边长、对角线，可得直角三角形，根据勾股定理，可得AC、EF的长，根据菱形的面积公式，可得答案．
解答：
（1）证明：正方形ABCD中，对角线BD，
∴AB=BC=CD=DA，
∠ABF=∠CBF=∠CDE=∠ADE=45°．
∵BF=DE，
∴△ABF≌△CBF≌△DCE≌△DAE（SAS）．
AF=CF=CE=AE
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD=，
BC=AD=2，
EF=BC﹣BF﹣DE=2﹣1﹣1，
四边形AECF的面积=AD•EF÷2
=2
=4﹣2．
点评：
本题考查了正方形的性质，（1）先证明四个三角形全等，再证明四边相等的四边形是菱形；（2）先求出菱形的对角线的长，再求出菱形的面积．

25．（2014•玉溪模拟）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG．
求证：BE=DG．

考点：
正方形的性质；全等三角形的判定与性质．菁优网版权所有
专题：
证明题．
分析：
根据正方形的性质得出CD=CB，CG=CE，∠BCE=∠DCG=90°，再利用全等三角形的判定定理“SAS”，即可得出△BCE≌△DCG，进而得出BE=DG．
解答：
证明：∵四边形ABCD和四边形ECGF都是正方形，
∴在△BCE和△DCG中，
，
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴BE=DG．

点评：
此题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质，正方形性质的考查经常与三角形的全等相结合综合考查，同学们分析问题时应多从这个角度思考．

26．（2014•工业园区一模）已知：如图正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE=CF
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）若∠FDC