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中考数学平行四边形练习题及解析

一、选择题
1．已知，以AB为一边作正方形ABCD，使P、D两点落在直线AB的两侧．当∠APB=45°时，PD的长是( )；

A． B． C． D．5
2．如图，正方形ABCD的边长为2a，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动(不与点A、D重合)，同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动(不与点D、C重合)，点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；②BF平分∠CBE；③当E运动到AD中点时，GH=；④当C△AGB = 时，S四边形GEDF =a2 ，其中正确的是( )

A．①③ B．①②③ C．①③④ D．①④
3．将个边长都为1cm的正方形按如图所示的方法摆放，点分别是正方形对角线的交点，则2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为( )

A． B． C． D．
4．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点(且点P不与点B、C重合)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF中点.设AM的长为x，则x的取值范围是(　　)

A．4≥x＞2.4 B．4≥x≥2.4 C．4＞x＞2.4 D．4＞x≥2.4
5．如图，在正方形ABCD中，点G是对角线AC上一点，且CG=CB，连接BG，取BG上任意一点H，分别作HM⊥AC于点M，HN⊥BC于点N，若正方形的边长为2，则HM+HN的值为（ ）

A． B．1 C． D．
6．如图，在中，，依次是上的五个点，并且，在三个结论：（1）；（2）；（3）之中，正确的个数是（ ）

A． B． C． D．
7．如图，在ABCD中，AD=2AB，，垂足在线段上，、分别是、的中点，连接，、的延长线交于点，则下列结论：①；②：③；④.其中，正确结论的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且BC=2AD，以AB、BC、DC为边向外作正方形，其面积分别为、、，若=3，=8，则的值为（ ）

A．22 B．24 C．44 D．48
9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将沿AE对折至，延长交BC于点G，连接则BG的长（ ）

A．1 B．2 C． D．3
10．如图，点在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为为线段的中点，则的长为（ ）

A． B．
C． D．
二、填空题
11．如图，以RtABC的斜边AB为一边，在AB的右侧作正方形ABED，正方形对角线交于点O，连接CO，如果AC=4，CO=，那么BC=______．

12．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC＝4，∠A＝120°，E是AB的中点，点F在平行四边形ABCD的边上，若△AEF为等腰三角形，则EF的长为_____．

13．已知在矩形中，点在直线上，点在直线上，且当时，________________．

14．如图，在矩形ABCD中，AD＝AB，∠BAD的平分线交BC于点E，DH⊥AE于点H，连接BH并延长交CD于点F，连接DE交BF于点O，下列结论：①∠AED＝∠CED；②OE＝OD；③BH＝HF；④BC﹣CF＝2HE；⑤AB＝HF，其中正确的有_____．

15．如图，在平行四边形ABCD，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①∠BCD＝2∠DCF；②EF＝CF；③S△CDF＝S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)

16．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点，上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．

17．如图，菱形的边长是4，，点，分别是，边上的动点（不与点，，重合），且，若，，与相交于点，当为等腰三角形时，的长为________．

18．如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AD的延长线上一点，且DE＝DC，点P为边AD上一动点，且PC⊥PG，PG＝PC，点F为EG的中点．当点P从D点运动到A点时，则CF的最小值为___________

19．如图，菱形的两个顶点坐标为，，若将菱形绕点以每秒的速度逆时针旋转，则第秒时，菱形两对角线交点的坐标为__________．

20．如图，矩形纸片ABCD，AB=5，BC=3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE，DE分别交AB于点O，F，且OP=OF，则AF的值为______．

三、解答题
21．综合与实践．
问题情境：
如图①，在纸片中，，，过点作，垂足为点，沿剪下，将它平移至的位置，拼成四边形．
独立思考：（1）试探究四边形的形状．
深入探究：（2）如图②，在（1）中的四边形纸片中，在．上取一点，使，剪下，将它平移至的位置，拼成四边形，试探究四边形的形状；
拓展延伸：（3）在（2）的条件下，求出四边形的两条对角线长；
（4）若四边形为正方形，请仿照上述操作，进行一次平移，在图③中画出图形，标明字母，你能发现什么结论，直接写出你的结论．

22．如图正方形，与相交于点（不与、重合）．

（1）如图（1），当，
①求证：；
②求证：；
（2）如图（2），当，边长，，求的长．
23．如下图1，在平面直角坐标系中中，将一个含的直角三角板如图放置，直角顶点与原点重合，若点A的坐标为，．
（1）旋转操作：如下图2，将此直角三角板绕点O顺时针旋转时，则点B的坐标为 ．
（2）问题探究：在图2的基础上继续将直角三角板绕点O顺时针，如图3，在AB边上的上方以AB为边作等边，问：是否存在这样的点D，使得以点A、B、C、D四点为顶点的四边形构成为菱形，若存在，请直接写出点D所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）动点分析：在图3的基础上，过点O作于点P，如图4，若点F是边OB的中点，点M是射线PF上的一个动点，当为直角三角形时，求OM的长．

24．正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点P是正方形ABCD对角线BD上的一个动点（点P不与点B，O，D重合），连接CP并延长，分别过点D，B向射线作垂线，垂足分别为点M，N．

（1）补全图形，并求证：DM＝CN；
（2）连接OM，ON，判断OMN的形状并证明．
25．如图，在正方形中，是边上的一动点（不与点、重合），连接，点关于直线的对称点为，连接并延长交于点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
（1）求证：；
（2）用等式表示线段与的数量关系，并证明．

26．社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：
如图，，点为边上一定点，点为边上一动点，以为一边在∠MON的内部作正方形，过点作，垂足为点（在点、之间），交与点，试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：
（动手操作，归纳发现）
（1）通过测量图、、中线段、、和的长，他们猜想的周长是长的_____倍．请你完善这个猜想

（推理探索，尝试证明）
为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：
（2）如图，过点作，垂足为点
则

又四边形正方形，
，
则

在与中，
（类比探究，拓展延伸）
（3）如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、、与长度之间的等量关系为 ．

27．如图平行四边形ABCD，E，F分别是AD，BC上的点，且AE＝CF，EF与AC交于点O．
（1）如图①．求证：OE＝OF；
（2）如图②，将平行四边形ABCD（纸片沿直线EF折叠，点A落在A1处，点B落在点B1处，设FB交CD于点G．A1B分别交CD，DE于点H，P．请在折叠后的图形中找一条线段，使它与EP相等，并加以证明；
（3）如图③，若△ABO是等边三角形，AB＝4，点F在BC边上，且BF＝4．则＝ （直接填结果）．

28．在平面直角坐标中，四边形OCNM为矩形，如图1，M点坐标为（m，0），C点坐标为（0，n），已知m，n满足．

（1）求m，n的值；
（2）①如图1，P，Q分别为OM，MN上一点，若∠PCQ＝45°，求证：PQ＝OP+NQ；
②如图2，S，G，R，H分别为OC，OM，MN，NC上一点，SR，HG交于点D．若∠SDG＝135°，，则RS＝______；
（3）如图3，在矩形OABC中，OA＝5，OC＝3，点F在边BC上且OF＝OA，连接AF，动点P在线段OF是（动点P与O，F不重合），动点Q在线段OA的延长线上，且AQ＝FP，连接PQ交AF于点N，作PM⊥AF于M．试问：当P，Q在移动过程中，线段MN的长度是否发生变化？若不变求出线段MN的长度；若变化，请说明理由．
29．如图，锐角，，点是边上的一点，以为边作，使，．
（1）过点作交于点，连接（如图①）
①请直接写出与的数量关系；
②试判断四边形的形状，并证明；
（2）若，过点作交于点，连接（如图②），那么（1）②中的结论是否任然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由．

30．如图，在平行四边形中，的平分线交于点E，交的延长线于F，以为邻边作平行四边形。
（1）证明平行四边形是菱形；
（2）若，连结，①求证：；②求的度数；
（3）若，，，M是的中点，求的长。

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一、选择题

1．A
解析：A
【解析】
【分析】
过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相于与E，连接BE，由∠APB=45°可得∠EPA=45°，可得△PAE是等腰直角三角形，即可求出PE的长，根据角的和差关系可得∠EAB=∠PAD，利用SAS可证明△PAD≌△EAB，可得BE=PD，利用勾股定理求出BE的长即可得PD的长.
【详解】
过P作PB的垂线，过A作PA的垂线，两条垂线相交与E，连接BE，
∵∠APB=45°，EP⊥PB，
∴∠EPA=45°，
∵EA⊥PA，
∴△PAE是等腰直角三角形，
∴PA=AE，PE=PA=2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠EAP=∠DAB=90°，
∴∠EAP+∠EAD=∠DAB+∠EAD，即∠PAD=∠EAB，
又∵AD=AB，PA=AE，
∴△PAD≌△EAB，
∴PD=BE===2，

故选A.
【点睛】
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关性质并正确作出辅助线是解题关键.
2．A
解析：A
【解析】
【分析】
根据题意很容易证得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形内角为90°，得出AF⊥DE,即可判断①，②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解. ④根据△BAE≌△ADF，即可得到S四边形GEDF 即可求解.
【详解】
①证明：∵E在AD边上(不与A.D重合),点F在DC边上(不与D.C重合).
又∵点E.F分别同时从A. D出发以相同的速度运动，
∴AE=DF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF(SAS)，
∴∠1=∠2，
∵
∴
即

∠BGF是定值；正确.

②无法判断与的大小， BF平分∠CBE；错误.
③当E运动到AD中点时，
点F运动到CD中点，

GH=正确.
④△BAE≌△ADF,
则S四边形GEDF
当C△AGB =时，

S四边形GEDF =a2 ，故S四边形GEDF =a2 ，错误.
故选A.
【点睛】
考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键.
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
根据题意可得，阴影部分的面积是正方形的面积的，已知两个正方形可得到一个阴影部分，则n个这样的正方形重叠部分即为n-1阴影部分的和．由此即可解答.
【详解】
由题意可得一个阴影部分面积等于正方形面积的 ， 即一个阴影部分的面积为
如图，5个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×4，
∴n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和为×（n-1），
∴2019个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为×（2019-1）=．
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，解决本题的关键是得到n个这样的正方形重叠部分（阴影部分）的面积和的计算方法，难点是求得一个阴影部分的面积．
4．D
解析：D
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理求出△ABC是直角三角形，得出四边形AEPF是矩形，求出AM=EF=AP，求出AP≥4.8，即可得出答案．
【详解】

解：连接AP．
∵AB=6，AC=8，BC=10，
∴AB2+AC2=36+64=100，BC2=100，
∴AB2+AC2=BC2，
∴∠BAC=90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP=∠AFP=∠BAC=90°，
∴四边形AEPF是矩形，
∴AP=EF，
∵∠BAC=90°，M为EF中点，
∴AM=EF=AP，
当AP⊥BC时，AP值最小，
此时S△BAC=×6×8=×10×AP，
AP=4.8，
即AP的范围是AP≥4.8，
∴2AM≥4.8，
∴AM的范围是AM≥2.4（即x≥2.4）．
∵P为边BC上一动点，当P和C重合时，AM=4，
∵P和B、C不重合，
∴x＜4，
综上所述，x的取值范围是：2.4≤x＜4．
故选：D．
【点睛】
本题考查了垂线段最短，三角形面积，勾股定理的逆定理，矩形的判定的应用，直角三角形的性质，关键是求出AP的范围和得出AM=AP．
5．A
解析：A
【分析】
连接CH，过G点作GP⊥BC于点P，根据将转化为GP的长，再由等腰直角三角形的性质进行求解即可得解.
【详解】
连接CH，过G点作GP⊥BC于点P，如下图所示：

由题可知：，，
∵
∴
∵CG=CB，
∴
∵四边形ABCD是正方形，正方形的边长为2
∴，
∴
∵GP⊥BC
∴是等腰直角三角形
∴
∴，
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了三角形的面积求法，正方形的性质，等腰直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.
6．B
解析：B
【分析】
先根据平行四边形性质和等腰三角形性质可得是的角平分线，是的角平分线，结论（2）正确．再利用结论（2）可得，即可判断结论（1）（3）错误，
【详解】
解：设，则，
，
，，，
在中，
，
，
∴，
，
同理可得：，
，
∴，

，
故（2）正确；
∵，，
∴，即，
∴
所以与不垂直，故（1）不正确；
∵，，
∴，即，
∴
故（3）不正确；
故选：．
【点睛】
本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理等，证明是的角平分线，是的角平分线是解题关键．
7．C
解析：C
【分析】
由点F是AD的中点，结合ABCD的性质，得FD=CD，即可判断①；先证∆AEF≅∆DHF，再证∆ECH是直角三角形，即可判断②；由EF=HF，得，由，CE⊥CD，结合三角形的面积公式，即可判断③；设∠AEF=x，则∠H=x，根据直角三角形的性质，得∠FCH=∠H=x，由FD=CD，∠DFC=∠FCH=x，由FG∥CD∥AB，得∠AEF=∠EFG=x，由EF=CF，∠EFG=∠CFG=x，进而得到，即可判断④．
【详解】
∵点F是AD的中点，
∴2FD=AD，
∵在ABCD中，AD=2AB，
∴FD=AB=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCF，即：，
∴①正确；
∵AB∥CD，
∴∠A=∠FDH，∠AEF=∠H，
又∵AF=DF，
∴∆AEF≅∆DHF（AAS），
∴EF=HF，
∵，
∴CE⊥CD，即：∆ECH是直角三角形，
∴=EH，
∴②正确；
∵EF=HF，
∴
∵，CE⊥CD，垂足在线段上，
∴,
∴,
∴，
∴③错误；
设∠AEF=x，则∠H=x，
∵在Rt∆ECH中，CF=FH=EF，
∴∠FCH=∠H=x，
∵FD=CD，
∴∠DFC=∠FCH=x，
∵点F，G分别是EH，EC的中点，
∴FG∥CD∥AB，
∴∠AEF=∠EFG=x，
∵EF=CF，
∴∠EFG=∠CFG=x，
∴∠DFE=∠DFC+∠EFG+∠CFG=3x，
∴．
∴④正确．
故选C．
【点睛】
本题主要考查平行四边形和直角三角形的性质定理的综合，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键．
8．C
解析：C
【分析】
根据已知条件得到AB＝，CD＝，过A作AE∥CD交BC于E，则∠AEB＝∠DCB，根据平行四边形的性质得到CE＝AD，AE＝CD＝2，由已知条件得到∠BAE＝90°，根据勾股定理得到BE＝，于是得到结论．
【详解】
∵S1＝3，S3＝8
∴AB＝，CD＝
过A作AE∥CD交BC于E

则∠AEB＝∠DCB
∵AD∥BC
∴四边形AECD是平行四边形
∴CE＝AD，AE＝CD＝
∵∠ABC+∠DCB＝90°
∴∠AEB+∠ABC＝90°
∴∠BAE＝90°
∴BE＝
∵BC＝2AD
∴BC＝2BE＝
∴S2＝
故选：C．
【点睛】
本题考查平行四边形的判定和性质，勾股定理，能正确作辅助线构造直角三角形是解决此题的关键．
9．B
解析：B
【分析】
首先证明AB=AF=AD，然后再证明∠AFG=90°，接下来，依据HL可证明△ABG≌△AFG，得到BG=FG，再利用勾股定理得出GE2=CG2+CE2，进而求出BG即可．
【详解】
解：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD，∠D=∠B=∠BCD=90°，
∵将△ADE沿AE对折至△AFE，
∴AD=AF，DE=EF，∠D=∠AFE=90°，
∴AB=AF，∠B=∠AFG=90°，
又∵AG=AG，
在Rt△ABG和Rt△AFG中，

∴△ABG≌△AFG（HL）；
∴BG=FG（全等三角形对应边相等），
设BG=FG=x，则GC=6-x，
∵E为CD的中点，
∴CE=EF=DE=3，
∴EG=3+x，
∴在Rt△CEG中，32+（6-x）2=（3+x）2（勾股定理），
解得x=2，
∴BG=2，
故选B．
【点睛】
此题主要考查了勾股定理的综合应用、三角形全的判定和性质以及翻折变换的性质，根据翻折变换的性质得出对应线段相等是解题关键．
10．B
解析：B
【分析】
连接BD、BF，由正方形的性质可得：∠CBD=∠FBG=45°，∠DBF=90°，再应用勾股定理求BD、BF和DF，最后应用“直角三角形斜边上中线等于斜边一半”可求得BH．
【详解】
如图，连接BD、BF，

∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴AB=AD=2，BE=EF=3，∠A=∠E=90°，∠ABD=∠CBD=∠EBF=∠FBG=45°，
∴∠DBF=90°，BD=2，BF=3，
∴在Rt△BDF中，DF==，
∵H为线段DF的中点，
∴BH=DF=.
故选B．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形边的关系、勾股定理、直角三角形性质等，解题关键添加辅助线构造直角三角形．
二、填空题

11．8
【分析】
通过作辅助线使得△CAO≌△GBO，证明△COG为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG后，即可求出BC的长．
【详解】

如图，延长CB到点G，使BG=AC．
∵根据题意，四边形ABED为正方形，
∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，
∴∠1+∠2=90°
又∵三角形BCA为直角三角形，AB为斜边，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1＝∠3
∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO＝∠GBO，
在△CAO和△GBO中，

故△CAO≌△GBO，
∴CO＝GO=，∠7=∠6，
∵∠7+∠8=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴三角形COG为等腰直角三角形，
∴CG=，
∵CG=CB+BG，
∴CB=CG－BG=12－4=8，
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
12．3或3或
【分析】
△AEF为等腰三角形，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和30°直角三角形性质、平行四边形的性质可求解．
【详解】
解：当时，如图，过点作于，

是的中点，
，
，，，
，，
，，
，
当时，如图2，
过点作于，过点作于，

图2
在平行四边形中，，，，
，，
，
，，
，，，
，
，，
，
；
当时，如图3，

图3
，
综上所述：的长为或3或．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
13．或
【分析】
根据点在直线上，点在直线上，分两种情况：1.P、Q点位于线段上；2.P、Q点位于线段的延长上，再通过三角形全等得出相应的边长，最后根据勾股即可求解.
【详解】
解：当P点位于线段BC上，Q点位于线段CD上时:
∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC
∵
∴
∴PC=AB=，BP=BC-PC=3-=
∴AP==
当P点位于线段BC的延长线上，Q点位于线段CD的延长线上时:

∵四边形ABCD是矩形

∴∠BAP=∠CPQ，∠APB=∠PQC
∵
∴
∴PC=AB=，BP=BC+PC=3+=
∴AP==
故答案为：或
【点睛】
此题主要考查三角形全等的判定及性质、勾股定理，熟练运用判定定理和性质定理是解题的关键.
14．①②③④
【分析】
①根据角平分线的定义可得∠BAE=∠DAE=45°，可得出△ABE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AEAB，从而得到AE=AD，然后利用“角角边”证明△ABE和△AHD全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DH，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE=∠AED=67.5°，根据平角等于180°求出∠CED=67.5°，从而判断出①正确；
②求出∠AHB=67.5°，∠DHO=∠ODH=22.5°，然后根据等角对等边可得OE=OD=OH，判断出②正确；
③求出∠EBH=∠OHD=22.5°，∠AEB=∠HDF=45°，然后利用“角边角”证明△BEH和△HDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=HF，判断出③正确；
④根据全等三角形对应边相等可得DF=HE，然后根据HE=AE﹣AH=BC﹣CD，BC﹣CF=BC﹣（CD﹣DF）=2HE，判断出④正确；
⑤判断出△ABH不是等边三角形，从而得到AB≠BH，即AB≠HF，得到⑤错误．
【详解】
∵在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AEAB．
∵ADAB，∴AE=AD．
在△ABE和△AHD中，∵，∴△ABE≌△AHD（AAS），∴BE=DH，∴AB=BE=AH=HD，∴∠ADE=∠AED（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED=180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED=∠CED，故①正确；
∵∠AHB（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE=∠AHB（对顶角相等），∴∠OHE=∠AED，∴OE=OH．
∵∠DOH=90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH=67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH=∠ODH，∴OH=OD，∴OE=OD=OH，故②正确；
∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．
在△BEH和△HDF中，∵，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；
由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；
∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；
综上所述：结论正确的是①②③④．
故答案为①②③④．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
15．①②④
【分析】
①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；
②延长EF，交CD延长线于点M，首先根据平行四边形的性质证明，得出，进而得出，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；
③由，得出，从而可判断正误；
④设 ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE和∠AEF，从而判断正误．
【详解】
①∵点F是AD的中点，
∴ ．
∵在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，
，
，
，
∴∠BCD＝2∠DCF，故①正确；
②延长EF，交CD延长线于点M，

∵四边形ABCD是平行四边形，
，
，
∵点F是AD的中点，
∴ ．
在和中，

．
，
，
，
，故②正确；
③∵，
∴ ．

，故③错误；
④设 ，则，
，
，
．
，
，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为 ：①②④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．
16．
【分析】
探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．
【详解】
如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，
在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，
∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），

如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），

如图3中，当点M运动到点B′落在CD时，

DB′（即DE″）＝10﹣1﹣＝（9﹣）（cm），

∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（9﹣）＝（）（cm）．
故答案为：．
【点睛】
本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
17．或
【分析】
连接AC交BD于O，由菱形的性质可得AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，可证四边形BEGF是菱形，可得∠ABG=30°，可得点B，点G，点D三点共线，由直角三角形性质可求BD=4，AC=4，分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解．
【详解】
如图，连接AC交BD于O，

∵菱形ABCD的边长是4，∠ABC=60°，
∴AB=BC=4，∠ABD=30°，AC⊥BD，BO=DO，AO=CO，
∵EG∥BC，FG∥AB，
∴四边形BEGF是平行四边形，
又∵BE=BF，
∴四边形BEGF是菱形，
∴∠ABG=30°，
∴点B，点G，点D三点共线，
∵AC⊥BD，∠ABD=30°，
∴AO=AB=2，BO=，
∴BD=，AC=4，
同理可求BG=BE，即BE=，
若AD=DG'=4时，
∴BG'=BD-DG'=，
∴BE'；
若AG''=G''D时，过点G''作G''H⊥AD于H，
∴AH=HD=2，
∵∠ADB=30°，G''H⊥AD，
∴DG''=2HG''，
∵，
解得：HG''，DG''=2HG''，
∴BG''=BD-DG''=，
∴BE''=，
综上所述：BE为或．
【点睛】
本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
18．
【分析】
由正方形ABCD的边长为4，得出AB=BC=4，∠B=90°，得出AC=，当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，则EG的中点为D，即F与D重合，当点P从D点运动到A点时，则点F运动的路径为DF，由D是AE的中点，F是EG的中点，得出DF是△EAG的中位线，证得∠FDA=45°，则F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，此时CF最小，此时CF=AG=．
【详解】
解：连接FD

∵正方形ABCD的边长为4，
∴AB=BC=4，∠B=90°，
∴AC=，
当P与D重合时，PC=ED=PA，即G与A重合，
∴EG的中点为D，即F与D重合，
当点P从D点运动到A点时，则点F运动的轨迹为DF，
∵D是AE的中点，F是EG的中点，
∴DF是△EAG的中位线，
∴DF∥AG，
∵∠CAG=90°，∠CAB=45°，
∴∠BAG=45°，
∴∠EAG=135°，
∴∠EDF=135°，
∴∠FDA=45°，
∴F为正方形ABCD的对角线的交点，CF⊥DF，
此时CF最小，
此时CF=AG=；
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
19．（-，0）
【分析】
先计算得到点D的坐标，根据旋转的性质依次求出点D旋转后的点坐标，得到变化的规律即可得到答案．
【详解】
∵菱形的两个顶点坐标为，，
∴对角线的交点D的坐标是（2,2），
∴，
将菱形绕点以每秒的速度逆时针旋转，
旋转1次后坐标是（0， ），
旋转2次后坐标是（-2,2），
旋转3次后坐标是（-，0），
旋转4次后坐标是（-2，-2），
旋转5次后坐标是（0，-），
旋转6次后坐标是（2，-2），
旋转7次后坐标是（,0），
旋转8次后坐标是（2,2）
旋转9次后坐标是（0，，
由此得到点D旋转后的坐标是8次一个循环，
∵，
∴第秒时，菱形两对角线交点的坐标为（-，0）
故答案为：（-，0）．
【点睛】
此题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，直角坐标系中点坐标的变化规律，根据点D的坐标依次求出旋转后的坐标得到变化规律是解题的关键．
20．
【分析】
根据折叠的性质可得出DC=DE、CP=EP，由“AAS”可证△OEF≌△OBP，可得出OE=OB、EF=BP，设EF=x，则BP=x、DF=5-x、BF=PC=3-x，进而可得出AF=2+x，在Rt△DAF中，利用勾股定理可求出x的值，即可得AF的长．
【详解】
解：∵将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，
∴DC=DE=5，CP=EP．
在△OEF和△OBP中，
,
∴△OEF≌△OBP（AAS），
∴OE=OB，EF=BP．
设EF=x，则BP=x，DF=DE-EF=5-x，
又∵BF=OB+OF=OE+OP=PE=PC，PC=BC-BP=3-x，
∴AF=AB-BF=2+x．
在Rt△DAF中，AF2+AD2=DF2，
∴（2+x）2+32=（5-x）2，
∴x=
∴AF=2+=
故答案为：
【点睛】
本题考查了翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
三、解答题

21．（1）矩形；（2）菱形；（3）；（4）见解析
【分析】
（1）由平移推出，即可证得四边形是平行四边形，再根据，得到即可得到结论；
（2）由平移推出，证得四边形是平行四边形，根据得到，再根据勾股定理求出AF=5=AD，即可证得四边形是菱形；
（3）先利用勾股定理求出，再根据菱形的面积求出；
（4）在BC边上取点E，连接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四边形AEFD是平行四边形.
【详解】
(1)四边形是矩形，
在中，，，
由平移可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形；
(2)四边形是菱形，
在矩形中， ，，
由平移可知：，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
在，，
∴，
∴四边形是菱形；
(3)连接,
在中，，
，
∴，
∴；

(4)在BC上取一点E，连接AE，平移△ABE得到△DCF，可得四边形AEFD是平行四边形.

【点睛】
此题考查了平行四边形的性质，矩形的判定定理，菱形的判定及性质，平移的性质的应用，勾股定理.
22．（1）①证明见解析；②证明见解析；（2）．
【分析】
（1）过点作交延长线于点，连接，
①由正方形的性质可得，，，即可证明四边形DGHM是平行四边形，可得DM=GH，由可得∠EDM=90°，根据直角三角形两锐角互余的性质可得，利用ASA可证明△ADE≌△CDM，可得DE=DM，即可证明DE=GH；
②由①得DM=DE，根据勾股定理可得EM=DE，利用三角形三边关系即可得结论；
（2）过点作DN//GH交于点，作，交延长线于点，可证明四边形为平行四边形，可得，，根据勾股定理可求出CN的长，利用AAS可证明，可得，，根据平行线的性质∠EDN=45°，根据角的和差故选可得∠MDE=∠EDN，利用SAS可证明，即可证明，设，利用勾股定理可求出x的值，进而利用勾股定理求出DE的值即可得答案．
【详解】
（1）如图（1），过点作交延长线于点，连接，EM，
①∵四边形为正方形，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴DM=GH，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴．

②在中，∠EDM=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∵，
∴．
（2）如图（2），过点作DN//GH交于点，则四边形为平行四边形，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
作，交延长线于点，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴，即，
设，则BE=4-x，
在中，，
解得：，
∴．

【点睛】
本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系及勾股定理，熟练掌握相关性质及判定定理，并正确作出辅助线是解题关键．
23．（1）（，）；（2）存在，点D的坐标为（0，3）或（，1）或（0，-1）；（3）OM=或
【分析】
（1）过点B作BD⊥y轴于D，利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OB，再利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出BD和OD即可得出结论；
（2）根据题意和等边三角形的性质分别求出点A、B、C的坐标，然后根据菱形的顶点顺序分类讨论，分别画出对应的图形，根据菱形的对角线互相平分即可分别求出结论；
（3）利用30°所对的直角边是斜边的一半和勾股定理求出OP和BP，然后根据直角三角形的直角顶点分类讨论，分别画