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高三数学∙2017秋季

演练方阵
第18讲 圆锥曲线综合

弦长问题

类型一:一般弦长问题
☞考点说明：利用弦长公式求解弦长问题
【易】1．（2017•新课标Ⅱ）若双曲线C：x2a2﹣y2b2=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．233

【中】2．（2016秋•东城区期末）过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A，B两点，它们的横坐标之和等于3，则这样的直线（　　）
A． 有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在

【中】3.（2017秋•昌平区校级期中）已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点F交椭圆于A、B两点，求弦AB的长．

【难】4．（2016秋•朝阳区期末）在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率乘积为，记点P的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）若曲线C上的两点M，N满足OM∥PA，ON∥PB，求证：△OMN的面积为定值．

类型二:中点弦问题
☞考点说明：主要考察“设而不求”的解题思想方法，通常采用点差法求解。
【易】1．（2017秋•月考）已知双曲线C：2x2﹣y2=2，过点P（1，2）的直线l与双曲线C交于M、N两点，若P为线段MN的中点，则弦长|MN|等于（　　）
A．423 B．334 C．43 D．42

【易】2.过椭圆上一点P（-8，0）作直线交椭圆于Q点，求PQ中点的轨迹方程。

【中】3．（2016秋•西城区校级月考）直线l与椭圆x24+y2=1相交于A､B两点，并且线段AB的中点为M（1，12）．
（1）求直线l的方程（用一般式表示）；
（2）求弦长|AB|．

【中】4．（2017秋•人大附中校级期末）过椭圆+=1内点M（2，1）引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在直线的方程．

【中】5．（2017秋•朝阳区校级期末）直线y=kx﹣2与抛物线y2=8x交于A、B两点，且线段AB的中点的纵坐标为2，则k的值是（　　）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．以上都不是

【中】6.（2017•171中学模拟）已知双曲线=1的左右焦点分别为F1，F2，若双曲线左支上有一点M到右焦点F2距离为18，N为F2中点，O为坐标原点，则|NO|等于（　　）
A． B．1 C．2 D．4

【难】7.（2015•西城模拟）过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F引它的一条渐近线的垂线FM，垂足为M，并且交y轴于E，若M为EF的中点，则该双曲线的离心率为（　　）
A．2 B． C．3 D．

面积问题

类型一:简单面积问题
☞考点说明：考察面积公式与圆锥曲线的综合运用
【易】1．（2017秋•丰台区期中）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，圆C的方程为（x+k）2+（y﹣2）2=25（k∈R）．
（1）求椭圆G的焦点坐标与离心率；
（2）求△CF1F2的面积．

【易】2．（2017•石景山区模拟）抛物线y2=4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．4

【中】3．（2017•清华附中模拟）已知抛物线y2=2px的焦点F到其准线的距离是8，抛物线的准线与x的交点为K，点A在抛物线上且|AK|=，则△AFK的面积为（　　）
A．32 B．16 C．8 D．4

【中】4．（2017•昌平区二模）设点A（0，1），B（2，﹣1），点C在双曲线M：﹣y2=1上，则使△ABC的面积为3的点C的个数为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1

【难】5．（2016•人大附中校级模拟）设向量，点P（x，y）为动点，已知．
（1）求点p的轨迹方程；
（2）设点p的轨迹与x轴负半轴交于点A，过点F（1，0）的直线交点P的轨迹于B、C两点，试推断△ABC的面积是否存在最大值？若存在，求其最大值；若不存在，请说明理由．

【难】6．（2017秋•海淀区期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的一个顶点A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与椭圆C交于不同的两点M，N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当△AMN的面积为时，求实数k的值．

类型二:面积最值问题
☞考点说明：考察利用函数单调性或均值不等式求解面积最值问题
【中】1．（2017秋•西城区期中）AB为过椭圆中心的弦，F（c，0）为椭圆的左焦点，则△AFB的面积最大值是（　　）
A．b2 B．bc C．ab D．ac

【中】2．（2016秋•朝阳期末）已知点F1，F2是椭圆C：的焦点，点M在椭圆C上且满足||=2，则△MF1F2的面积为（　　）
A． B． C．1 D．2

【中】3．（2016秋•通州区期末）在平面直角坐标系中，已知点A，B在抛物线y2=4x上，且满足=﹣4，点F是抛物线的焦点，设△OFA，△OFB的面积分别是S1，S2，那么S1•S2等于（　　）
A．2 B． C．3 D．4

【中】4.（2016秋•西城期末）椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，点F到短轴的一个端点的距离等于焦距．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设椭圆C与曲线|y|=kx（k＞0）的交点为A，B，求△OAB面积的最大值．

【难】5．（2015•浙江）已知椭圆x22+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+12对称．
（1）求实数m的取值范围；
（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）．

【难】6．（2017秋•石景山区期末）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）离心率等于，P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值．

【难】7.（2016秋•东城区期末）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且经过点（0，1），四边形MNPQ的四个顶点都在椭圆C上，对角线MP所在直线的斜率为﹣1，且MN=MQ，PN=PQ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求四边形MNPQ面积的最大值．

垂直问题

类型一:垂直问题
☞考点说明：考察圆锥曲线中线段垂直的应用，一般采用向量法。
【易】1.（2009秋•西城区期末）已知双曲线经过点，其渐近线方程为y=±2x．
（1）求双曲线的方程；
（2）设F1，F2是双曲线的两个焦点，证明：AF1⊥AF2．

【中】2．（2013•西城模拟）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）

A． B． C． D．

【难】3．（2017•清华附中模拟）设F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．
（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值；
（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F2C|=|F2D|？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【难】4．（2016•海淀区校级模拟）P是以F1、F2为焦点的双曲线C：上的一点，已知=0，．
（1）试求双曲线的离心率e；
（2）过点P作直线分别与双曲线两渐近线相交于P1、P2两点，当=﹣，=0，求双曲线的方程．

共线成比例问题

类型一：共线成比例问题
☞考点说明：采用向量方法解决共线比例问题
【易】1．（2017•五中模拟）过双曲线的一个焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为A，与另一条渐近线交于点B，若，则此双曲线的离心率为（　　）
A． B． C．2 D．

【易】2．（2014•房山区二模）直线x=2与双曲线C：x2﹣4y2=8的渐近线交于A，B两点，设P为双曲线上的任意一点，若（a，b∈R，O为坐标原点），则a+b的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） C．（﹣∞，﹣]∪[，+∞） D．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）

【易】3．（2017•朝外模拟）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若，则|QF|=（　　）
A． B．3 C． D．2

【难】4．（2016秋•西城区期末）过椭圆+y2=1右焦点F的直线l与椭圆交于两点C，D，与直线x=2交于点E．
（Ⅰ）若直线l的斜率为2，求|CD|；
（Ⅱ）设O为坐标原点，若S△ODE：S△OCE=1：3，求直线l的方程．

定点定值问题

类型一:定点问题
☞考点说明：根据韦达定理求解定点问题
【中】1．（2017•北京）已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）．过点（0，12）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A，B，其中O为原点．
（1）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（2）求证：A为线段BM的中点．

【中】2．（2015•石景山区一模）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)离心率e=22，短轴长为22．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径的圆是否经过定点（与直线PQ的斜率无关）？请证明你的结论．

【中】3.（2017.昌平期末）已知椭圆的长轴长为6，离心率为，F2为椭圆的右焦点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）点M在圆x2+y2=8上，且M在第一象限，过M作圆x2+y2=8的切线交椭圆于P，Q两点，判断△PF2Q的周长是否为定值并说明理由．

【难】4．（2017•海淀区模拟）已知椭圆经过点P（0，1），离心率为，动点M（2，m）（m＞0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x﹣4y﹣5=0截得的弦长为2的圆的方程；
（Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明：线段ON的长为定值，并求出这个定值．

【难】5．（2017•二中校级模拟）已知椭圆上的动点P与其顶点，不重合．
（Ⅰ）求证：直线PA与PB的斜率乘积为定值；
（Ⅱ）设点M，N在椭圆C上，O为坐标原点，当OM∥PA，ON∥PB时，求△OMN的面积．

类型二:定值问题
☞考点说明：考察计算推理能力
【易】1．（2016•铜陵一模）如图，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为33，点(3，2)为椭圆上的一点．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若斜率为k的直线l过点A（0，1），且与椭圆E交于C，D两点，B为椭圆E的下顶点，求证：对于任意的k，直线BC，BD的斜率之积为定值．

【中】2．（2017•房山区一模）已知椭圆C：x2+4y2=4．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）椭圆C的长轴的两个端点分别为A，B，点P在直线x=1上运动，直线PA，PB分别与椭圆C相交于M，N两个不同的点，求证：直线MN与x轴的交点为定点．

【中】3．（2017秋•丰台区期中）已知椭圆的离心率为，点A（﹣2，0），B（2，0）都在椭圆T上，P为椭圆T上异于A，B的任意一点．以AB为一边作矩形ABCD，且|AD|=|BC|=2b，直线DP，CP分别交x轴于E，F两点．
（1）求椭圆T的方程；
（2）求证：为定值，并求该定值．

【难】4．（2016秋•西城区期末）已知直线l：x=t与椭圆相交于A，B两点，M是椭圆C上一点
（Ⅰ）当t=1时，求△MAB面积的最大值；
（Ⅱ）设直线MA和MB与x轴分别相交于点E，F，O为原点．证明：|OE|•|OF|为定值．

【难】5．（2017•昌平区二模）已知椭圆的离心率为，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．
（1）证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；
（2）证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM|•|PN|，并求出λ的值．

【难】6．（2017秋•昌平区校级期中）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1过点A（2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆C的方程及离心率；
（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

【难】7．（2017•通州区一模）已知点A（﹣2，0）为椭圆C：的左顶点，C的右焦点为F（1，0）．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点F的直线l（不经过点A）与椭圆C交于M，N两点，直线AM，AN分别交直线x=4于点P，Q，判断直线FP，FQ的斜率之积是否为定值，并说明理由．

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